2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析剖析

1、 2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）,-8）-2iA.2+T5B.4+T5C.2+2T5D.5參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共40分）TOC o 1-5 h z（5分）（2015北京）復(fù)數(shù)i（2-i）=（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-y0,則a2+a30B.若a1+a30,則若a1+a20,C.若若0a1a2，則a2；D.若a10（5分）（2015北京）如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB,則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（A.xl-1x0B.xl-1x1C.xl-1x1D.xl-1x0）的一條漸近線為，Kx+y=0,則a=_.且JII（5分）（20

2、15北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線p（cosB+T虧sinB）=6的距離為ciTOC o 1-5 h z（5分）（2015北京）在厶ABC中，a=4，b=5，c=6，貝=.smC（5分）（2015北京）在厶ABC中，點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,EN=NC，若MN=xAB+yAC,貝9x=_，y=.fok_xl若a=1，則f（x）的最小值為；若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.三、解答題（共6小題，共80分）（13分）（2015北京）已知函數(shù)f（x）=12sincos-i龍sin（I）求f（x）的最小正周期；（II）求f（x）在區(qū)間-n，0上的最小值.16.（13分）（2015北京）

3、A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：A組：10,11，12，13，14，15，16B組；12,13,15,16,17,14,a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從A,B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.（I）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；（II）如果a=25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率；（III）當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）17.（14分）（2015北京）如圖，在四棱錐A-EFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF丄平面EFCB，EFBC,BC=4，EF=2a，ZEBC=ZFCB=6

4、0，O為EF的中點(diǎn).（I）求證：AO丄BE.（II）求二面角F-AE-B的余弦值；（III）若BE丄平面AOC，求a的值.1+18.（13分）（2015北京）已知函數(shù)f（x）=ln1-x(I)求曲線y=f（X）在點(diǎn)（0,f（0）處的切線方程;(II)3求證，當(dāng)xG（0，1）時(shí)，f（x）3(III)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）對(duì)xG（0，1）恒成立，求k的最大值.19.（14分）（2015北京）已知橢圓C：豈+乙=1（ab0）的離心率烷點(diǎn)P（0，1）/b22和點(diǎn)A（m，n）（mH0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.（I）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m,n表示）；（II）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)

5、于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N,問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得ZOQM=ZONQ?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.20.(13分)(2015北京)已知數(shù)列an滿足:aGN*,a136,且an+1=2anJ2an_36,歸18(n=1,2,),記集合M=anGN*.若a1=6，寫(xiě)出集合M的所有元素；如集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù);求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.答案:1、解：原式=2i-i2=2i-(-1)=1+2i；故選：A.-y3,s=-2,i=2,x=-2,y=2,k=2不滿足條件k3,s=-4,i=0,x=-4,y=0,k=3滿足條件k3,退出循環(huán)，

6、輸出（-4,0）,故選：B.4、解：mua,mB得不到aB，因?yàn)閍,B可能相交，只要m和a,B的交線平行即可得到mB；aB，mua,m和B沒(méi)有公共點(diǎn)，：mB，即aB能得到mB；故選B.5、解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：0A丄面ABC,AC=AB,E為BC中點(diǎn),mB”是aB”的必要不充分條件.EA=2,EC=EB=1,OA=1,可得AE丄BC,BC丄OA,_運(yùn)用直線平面的垂直得出：BC丄面AEO,AC=1豆OE=15:Sabc=沈2x2=2,5oac=saoab=*況:x1=bco=X2x5=.：5.故該三棱錐的表面積是2+2T豆故選：C.6、解：若a1+a20,則2a1+d0,a2+a3=2a

7、1+3d2d,d0時(shí)，結(jié)論成立，即A不正確;若a1+a20,則2a+dV0,a2+a3=2a1+3d2d,dVO時(shí)，結(jié)論成立，即B不正確；an是等差數(shù)列，0aa2,即C正確;若a10,貝9(a2-a1)(a2-a3)=-d2log2(x+1)的x范圍是-1xlog2(x+1)的解集是xl-1x1；故選C.8、解：對(duì)于選項(xiàng)A,消耗1升汽油，乙車行駛的距離比5小的很多，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最小，故B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C,甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，里程為80千米，燃油效率為10，故消耗8升汽油，故C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)樵谒俣鹊陀?0千米/小時(shí)

8、，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正確.9、解：(2+x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=c/5-xr,所求x3的系數(shù)為:屈2乙40.10、故答案為：40.2解：雙曲線蘭5-y2=1的漸近線方程為y=2由題意可得丄=13，a解得a=I故答案為：導(dǎo).解：點(diǎn)P(2，辛)化為P3).直線p(COS0+方sinB)=6化為藍(lán)+冋-6=0.11+3-6|點(diǎn)P到直線的距離d=1.&+布)2故答案為：1.解：ABC中，a=4，b=5,c=6，.16+25-36125+36-163TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark26 o Current Document .cosC=,

9、cosA=2X4X582X5X64sinC=,sinA=, HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 84.2x2Tx7.A44813、故答案為：1.解：由已知得到MN=MC+CM*過(guò)曲*證(應(yīng)-疋)=AB-|a6由平面向量基本定理，得到x=,y=-g；故答案為：CI-14、解：當(dāng)a=1時(shí),f(X)pK-l,xl4(z-1)(z-2)當(dāng)x-1,當(dāng)x1時(shí)，f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x-)2-1,2當(dāng)1x函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=|時(shí)，f(x)min=f(弓)=-】，設(shè)h(x)=2x-a，g(x)=4(x-a)

10、(x-2a)若在x0，并且當(dāng)x=1時(shí)，h(1)=2-a0，所以0a1，且a1,所以ga1,Ci若函數(shù)h(x)=2x-a在x1時(shí)，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，h(x)與x軸無(wú)交點(diǎn)，g(x)無(wú)交點(diǎn)，所以不滿足題意(舍去)，當(dāng)h(1)=2-a2時(shí)，g(x)的兩個(gè)交點(diǎn)為x1=a,x2=2a，都是滿足題意的,綜上所述a的取值范圍是令a2.C15、解：(I)f(x)=sin寺噸-衛(wèi)血(1-COSX)V2V2sinx-22=sinxcos+cosxsin-442=sin(x+-)則f(x)的最小正周期為2n；(II)由-nx18 7T兀Wx+,444RTTT

11、E則當(dāng)x=-時(shí)，sin(x+)取得最小值-1,44則有f(x)在區(qū)間-n,0上的最小值為-1-16、解：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人，由題意可知P(A：)=P(B，i=1，2，7ii7事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天等價(jià)于“甲是A組的第5或第6或第7個(gè)人甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率p(a5ua6ua7)=p(a5)+p(a6)+p(a7)3=7；設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)，則c=a4b1ua5b1ua6b1ua7b1ua5b2ua6b2ua7b2ua7b3ua6b6ua7b6，P(C)=p(a4b1)+p(a5b1)+p(a6b1)p+(a7

12、b1)+p(a5b2)+p(a6b2)+p(a7b2)+p(a7b3)+p(a6b6)+p(a7b6)=10P(A4B)=10P(A4)P(B)=414149(III)當(dāng)a為11或18時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等.17、證明：(【AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，AO丄EF，平面AEF丄平面EFCB，AOu平面AEF，AO丄平面EFCBAO丄BE.(II)取BC的中點(diǎn)G,連接OG,EFCB是等腰梯形，OG丄EF,由(I)知AO丄平面EFCB,OGu平面EFCB,OA丄OG,建立如圖的空間坐標(biāo)系，_則OE=a,BG=2,GH=a,BH=2-a,EH=BHtan60=.:則E(a,0,0

13、),A(0,0,Ma),B(2,血匹一&),0),EA=(-a,0,Ja),BE=(a-2,-(戈,0),設(shè)平面AEB的法向量為門=(x,y,z),fn-EA=Oln-BE=0-ax+-/3az=0(a-2)藍(lán)+鹿2)y=0令z=1,則x=13,y=-1,即門=03,-1,1),平面AEF的法向量為（0,1,0）,TOC o 1-5 h z則cos=-|m|n|5即二面角F-AE-B的余弦值為戈；5(III)若BE丄平面AOC,貝yBE丄OC,即祝0C=0,VBE=(a-2,-(2R,0),農(nóng)=(-2,価(2-a),0),BE0C=-2(a-2)-3(a-2)2=0,解得a=.18、解答：(1

14、)因?yàn)閒(x)=ln(l+x)-ln(1-x)所以f；(x)=v-+t-F(0)=21+x1_X又因?yàn)閒(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=2x.3證明：令g(x)=f(x)-2(x+),貝9o2x4g(x)=f(x)-2(1+x2)=1-X2因?yàn)間(x)0(0VxV1),所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.所以g(x)g(0)=0,xG(0,1),3即當(dāng)xG(0,1)時(shí)，f(x)2(x+).3由(2)知，當(dāng)k對(duì)xG(0,1)恒成立.3當(dāng)k2時(shí)，令h(x)=f(x)-,貝9kx4-(k-2)h(x)=f(x)-k(1+x2)=一1-x2所以當(dāng)0 x2時(shí)，f(

15、x)并非對(duì)xG(0,1)恒成立.19、綜上所知，k的最大值為2.b=lcV2解:(I)由題意得出=_9_a2=b2+c解得：a=12,b=1,c=1VP(0,1)和點(diǎn)A(m,n),-1n1n1/.PA的方程為：y-1=x,y=0|-t_LITl時(shí)，xM=T刁mAM(,0)1-n(II)V點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)A(m,n)(mHO)A點(diǎn)B(m,-n)(mH0)V直線PB交x軸于點(diǎn)N,N(斗,0),V存在點(diǎn)Q，使得ZOQM=ZONQ,Q(0,yQ),tanZOQM=tanZONQ,學(xué)嚴(yán)，即丫2.,+n2=1XMyQZ20、2V2-2yQ=2，Vq-故V軸上存在點(diǎn)Q，使得ZOQM-ZONQ,2anJ2an_36,解:(I)若a1=6，由于an+1=Q(0,衛(wèi))或Q(0,-1)an18故集合M的所有元素為6,12,an+1=(n=1,2,)，可歸納證明對(duì)任意nk,an是3的倍數(shù).(II)因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由2anJ2a_36,如果k=l,M的所有元素都是3的倍數(shù)；如果k1,因?yàn)閍k=2ak_,或ak=2ak_-36，所以2ak是3的倍數(shù)；于是ak-1是3的倍數(shù)；類似可得，ak_2,，幻都是3的倍數(shù)；從而對(duì)任意n1，an是3的倍數(shù)；綜上，若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則集合M的所有元