數學建模 簡單優(yōu)化模型

1、第三章 簡單(jindn)的優(yōu)化模型-靜態(tài)(jngti)優(yōu)化模型3.1 存貯模型3.2 生豬的出售時機 3.3 森林救火3.4 消費者的選擇3.5 生產者的決策3.6 血管分支3.7 冰山運輸共六十一頁 現實世界(shji)中普遍存在著優(yōu)化問題. 建立(jinl)靜態(tài)優(yōu)化模型的關鍵之一是根據建模目的確定恰當的目標函數. 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法. 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(不是函數).簡單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化)共六十一頁3.1 存貯(cn zh)模型問 題配件廠為裝配線生產若干種產品，輪換產品時因更換設備要付生產準備費，產量大于需求時要付貯存(zhcn)費. 該廠生產能力非常大，即所需數量

2、可在很短時間內產出.已知某產品日需求量100件，生產準備費5000元，貯存費每日每件1元. 試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（生產周期），每次產量多少，使總費用最小.要求不只是回答問題，而且要建立生產周期、產量與需求量、準備費、貯存費之間的關系.共六十一頁問題分析(fnx)與思考 每天生產(shngchn)一次, 每次100件,無貯存費,準備費5000元.日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元. 10天生產一次, 每次1000件，貯存費900+800+100 =4500元，準備費5000元，總計9500元. 50天生產一次,每次5000件, 貯存費4900+4800+10

3、0 =122500元，準備費5000元，總計127500元.平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產一次,平均每天費用最小嗎?每天費用5000元共六十一頁 這是一個(y )優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數.顯然(xinrn)不能用一個周期的總費用作為目標函數.目標函數每天總費用的平均值. 周期短，產量小 周期長，產量大問題分析與思考貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產量，使總費用（二者之和）最小.共六十一頁模 型 假 設1. 產品(chnpn)每天的需求量為常數 r；2. 每次生產(shngchn)準備費為 c1, 每天每件產品貯存費為 c2；3. T天生產一次（周期

4、）, 每次生產Q件，當貯存量 為零時，Q件產品立即到來（生產時間不計）；建 模 目 的設 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費用的平均值最小.4. 為方便起見，時間和產量都作為連續(xù)量處理.共六十一頁模 型 建 立0tq貯存量表示(biosh)為時間的函數 q(t)TQrt=0生產(shngchn)Q件，q(0)=Q, q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標函數）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2共六十一頁模型(mxng)求解求 T 使模型(mxng)解釋定性分析敏感性分析參數c1,c2, r的微小變化對T,Q的影響T對c1的(相對)敏感度

5、c1增加1%, T增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或r增加1%, T減少0.5%共六十一頁經濟批量訂貨(dng hu)公式（EOQ公式） 用于訂貨(dng hu)供應情況:不允許缺貨的存貯模型模型應用T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次訂貨費 c1, 每天每件貯存費 c2 , T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨.思考: 為什么與前面計算的C=950元有差別?共六十一頁允許缺貨(qu hu)的存貯模型ABOqQrT1t當貯存量降到零時仍有需

6、求r, 出現缺貨，造成(zo chn)損失.原模型假設：貯存量降到零時Q件立即生產出來(或立即到貨).現假設：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足.T周期T, t=T1貯存量降到零一周期總費用一周期貯存費一周期缺貨費共六十一頁每天總費用平均值（目標(mbio)函數）一周期總費用求 T ,Q 使為與不允許缺貨的存貯模型(mxng)相比，T記作T, Q記作Q.允許缺貨的存貯模型共六十一頁不允許(ynx)缺貨模型記允許缺貨(qu hu)模型不允許缺貨共六十一頁允許(ynx)缺貨模型OqQrT1tT注意(zh y)：缺貨需補足Q每周期初的存貯量R每周期的生產量R （或訂貨量）Q不允許缺

7、貨時的產量(或訂貨量) 共六十一頁存 貯 模 型 存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產計劃的重要理論基礎(jch), 也有實際應用. 建模中未考慮生產費用(fi yong), 為什么?在什么條件下可以不考慮(習題1)? 建模中假設生產能力為無限大(生產時間不計), 如果生產能力有限(大于需求量的常數), 應作怎樣的改動(習題2)?共六十一頁3.2 生豬的出售(chshu)時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設備(shbi)，估計可使80kg重的生豬體重增加2kg.問題市場價格目前為8元/kg，但是預測每天會降低 0.1元，問生豬應何時出售?如果估計和預測有誤差，對結果有何影響?分析投入

8、資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大.共六十一頁求 t 使Q(t)最大10天后出售(chshu)，可多得利潤20元.建模及求解(qi ji)生豬體重 w=80+rt出售價格 p=8gt銷售收入 R=pw資金投入 C=4t利潤 Q= RC估計r=2，若當前出售，利潤為808=640（元）t 天出售=10Q(10)=660 640g=0.1=pw 4t共六十一頁敏感性分析(fnx)研究(ynji) r, g微小變化時對模型結果的影響. 估計r=2，g=0.1 設g=0.1不變 t 對r 的（相對）敏感度 生豬每天增加的體重 r 變大1%，出售時間推遲3%.

9、rt共六十一頁敏感性分析(fnx)估計r=2，g=0.1研究 r, g微小變化(binhu)時對模型結果的影響. 設r=2不變 t 對g的（相對）敏感度 生豬價格每天的降低g增加1%，出售時間提前3%. gt共六十一頁強健(qingjin)性分析保留生豬(shngzh)直到每天收入的增值等于每天的費用時出售.由 S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計 , 再作計算.研究 r, g不是常數時對模型結果的影響. w=80+rt w = w(t)p=8gt p =p(t) 若 (10%), 則 （30%） 每天收入的增值 每天投入的資金 利潤共六十一頁3.3 森林(snln)救火森林失火后，

10、要確定派出消防隊員的數量.隊員多，森林損失小，救援費用(fi yong)大；隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數量.問題分析問題記隊員人數x, 失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 時刻t森林燒毀面積B(t). 損失費f1(x)是x的減函數, 由燒毀面積B(t2)決定. 救援費f2(x)是x的增函數, 由隊員人數和救火時間決定.存在恰當的x，使f1(x), f2(x)之和最小.共六十一頁 關鍵是對B(t)作出合理的簡化(jinhu)假設.問題(wnt)分析失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形

11、.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比較困難,轉而討論單位時間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度).共六十一頁模型(mxng)假設 3）f1(x)與B(t2)成正比，系數c1 (燒毀單位(dnwi)面積損失費） 1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數 (火勢蔓延速度). 2）t1tt2, 降為x (為隊員的平均滅火速度). 4）每個隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用c3 .假設1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比.面積 B與 t2 成正比dB/dt與 t 成正比共六十一頁模型(mxng)建立bOt1tt2假設1）目標(mbio)函數

12、總費用假設3）4）假設2）共六十一頁模型(mxng)建立目標(mbio)函數總費用模型求解求 x使 C(x)最小結果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數bOt1t2t共六十一頁模型(mxng)應用c1,c2,c3已知, t1可估計(gj), c2 x c1, t1, x c3 , x 結果解釋c1燒毀單位面積損失費, c2每個隊員單位時間滅火費, c3每個隊員一次性費用, t1開始救火時刻, 火勢蔓延速度, 每個隊員平均滅火速度.為什么? ,可設置一系列數值由模型決定隊員數量 x共六十一頁3.4 消費者的選擇(xunz)背景(bijng)消費者在

13、市場里如何分配手里一定數量的錢，選擇購買若干種需要的商品. 根據經濟學的一條最優(yōu)化原理“消費者追求最大效用” ，用數學建模的方法幫助消費者決定他的選擇. 假定只有甲乙兩種商品供消費者購買， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.共六十一頁當消費者購得數量分別為x1, x2的甲乙兩種商品時，得到的效用可用函數u (x1, x2)度量(dling)，稱為效用函數.效用函數 利用(lyng)等高線概念在x1, x2平面上畫出函數u 的等值線, u (x1, x2)=c 稱為等效用線等效用線就是“ 實物交換模型”中的無差別曲線，效用就是那里的滿意度. Ox2u(x1,x2) = cx1c增加 一族單

14、調減、下凸、互不相交的曲線. 共六十一頁效用(xioyng)最大化模型 p1, p2甲乙(ji y)兩種商品的單價, y消費者準備付出的錢 x1, x2 購得甲乙兩種商品數量QABy/p2y/p1x1x2幾何分析 x2u(x1,x2) = cx1Oc增加u(x1, x2) = c 單調減、下凸、互不相交.在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函數u(x1, x2)最大. AB必與一條等效用線相切于Q點 (消費點).Q (x1, x2) 唯一.消費線AB共六十一頁模型(mxng)求解引入拉格朗日乘子構造函數與幾何分析得到(d do)的 Q 一致等效用線u (x1, x2)=c的斜率 消費

15、線AB的斜率共六十一頁結果(ji gu)解釋效用函數的構造(guzo)等效用線u (x1, x2)=c 所確定的函數 x2(x1)單調減、下凸. 解釋條件中正負號的實際意義充分條件當商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數最大. 邊際效用商品數量 增加一個單位時效用的增量 共六十一頁效用函數u(x1,x2)幾種(j zhn)常用的形式 購買兩種商品費用(fi yong)之比與二者價格之比的平方根成正比, 比例系數是參數與之比的平方根. u(x1,x2)中參數 , 分別度量甲乙兩種商品對消費者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛 .共六十一頁 購買兩種商品費用(fi yong)之比只取決于,

16、 與價格無關. u(x1,x2)中, 分別度量(dling)兩種商品的效用或者偏愛.實際應用時根據對最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數，并由經驗數據確定其參數.效用函數u(x1,x2)幾種常用的形式共六十一頁效用(xioyng)最大化模型應用舉例 例1 征銷售稅還是(hi shi)征收入稅 政府從消費者身上征稅的兩種辦法: 銷售稅 根據消費者購買若干種商品時花的錢征稅 收入稅 根據消費者的收入征收所得稅 利用圖形從效用函數和效用最大化的角度討論 征稅前設甲乙兩種商品的單價為p1, p2，消費者準備花的錢為y, 等效用線為u (x1, x2)=c，消費點為Q(x1, x2) .共六十一頁l1Q1

17、B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1, x2) =cOx2x1l 例1 征銷售稅還是(hi shi)征收入稅 對甲商品(shngpn)征銷售稅, 稅率為p0 征稅前的消費點Q 消費線AB1, B1在B的左邊 AB1與l1相切于Q1(x1*, x2*) 若改為征 收入稅 政府得到的銷售稅額 p0 x1* 征收的稅額與銷售稅額 p0 x1*相同 消費線A2B2與l2相切于Q2, 可證B2在B1的右邊. l2在l1上？l2在l1下？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函數值將大于Q1, 對消費者來說征收入稅比征銷售稅好. 共六十一頁例2 價格補貼(bti)給生產者還是消費者政府為鼓勵商品的生產或

18、者(huzh)減少消費者的負擔所采取的兩種價格補貼辦法： 把補貼款直接給生產者 把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價 鼓勵商品生產,對消費者無影響 讓甲商品價格漲到p1+p0, 補貼消費者多花的錢 p0 x1*,使仍達到消費點Q lQABu (x1, x2) =cOx1x2lQABx1x2補貼前的消費點Q 消費線 過Q, 與l相切于Q 的效用函數值大于Qx1 x2* 對消費者更有利 對甲商品生產不利共六十一頁3.5 生產者的決策(juc)背景(bijng)根據經濟學的又一條最優(yōu)化原理“生產者追求最大利潤” ，用數學建模的方法幫助生產者或供銷商做出決策.生產者或供銷商根據產品的成本和產值決定投入，按照

19、商品的銷售情況制訂價格. 在市場經濟中“消費者追求最大效用”，生產者呢？共六十一頁最大利潤(lrn)模型 x產品產量f (x) 邊際產值 x變化一個(y )單位時產值的改變量 c(x) 邊際成本 x變化一個單位時成本的改變量最大利潤在邊際產值等于邊際成本時達到. 假定產品可以全部銷售出去變成收入 f(x) 產值(收入), c(x) 成本 利潤 達到最大利潤的產量 x*共六十一頁在產品可以全部銷售出去的條件(tiojin)下確定商品價格，使利潤最大. 產量(chnling)x等于銷量，數量無限制. 收入與x 成正比，系數 p 即價格. 成本與 x 成正比，系數 c 即邊際成本. 銷量x 依于價格

20、 p, x(p)是減函數.簡化假設求p使 r(p) 最大最優(yōu)定價模型 利潤共六十一頁c / 2 成本(chngbn)的一半b 彈性系數價格上升(shngshng)1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）a 絕對需求( p很小時的需求)b p* a p* a, b可由p和x的統計數據作擬合得到 利潤達到最大的定價利潤最優(yōu)定價模型 共六十一頁投資費用一定下的產值(chnzh)最大模型 x1, x2 甲乙(ji y)產品的產量c1, c2 甲乙產品的單位成本s總投資費用f (x1, x2) 產值函數 在條件 下求x1, x2使產值 f (x1, x2) 最大. QABs/c2s/c1x1x2x2

21、f(x1,x2) = vx1Ov增加等產值線f (x1, x2)=v單調減、下凸、互不相交.幾何分析 投資線AB必與一條等產值線相切于Q點.與效用最大化模型類似下凸稀缺產品的產值更高 共六十一頁投資費用(fi yong)一定下的產值最大模型 最優(yōu)解(x1, x2)滿足(mnz) 在條件 下求x1, x2使產值 f (x1, x2) 最大. 用拉格朗日乘子法求條件極值邊際產值當兩種產品的邊際產值之比等于它們的價格之比時，產值達到最大. 共六十一頁產值最大與費用最小的對偶(du u)關系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) 投資費用(fi yong)一定的產值最大模型 g(s,c)給

22、定的單位成本c下費用不超過s的最大產值. 產值一定的投資費用最小模型 s(v,c)給定的單位成本c下產值不低于v的最小費用. 對偶極值問題 只要解決其中之一, 另一個就迎刃而解 成本函數是簡單的線性函數 c(x). 產值函數f(x) 在實際生產過程中常常難以確定. 共六十一頁從成本(chngbn)函數確定產值函數的圖解法產值(chnzh)最大與費用最小對偶關系的應用 Qf (x) vlABOx1x2 給定v和c求得最小費用s(v,c)=s 畫出直線AB: cx=sx=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的點在AB上方, 且AB上有一點Q位于l: f (x)=v上 改變c重

23、復上述過程, 得到一系列不同斜率的直線 區(qū)域f (x)v在直線上方, 其邊界是等產值線l: f (x)=v 包絡線 改變v重復上述過程, 得到一系列等產值線 共六十一頁3.6 血 管 分 支背景(bijng)機體提供能量(nngling)維持血液在血管中的流動.給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動的阻力.消耗能量與取決于血管的幾何形狀.在長期進化中動物血管的幾何形狀已經達到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度.問題共六十一頁模型(mxng)假設一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于(chy)同一平面.血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動.血液給血管壁的能量隨管

24、壁的內表面積和體積的增加而增加，管壁厚度d近似與血管半徑r成正比.qq1q1ABBCHLll1rr1q=2q1r/r1, ?考察血管AC與CB, CB共六十一頁黏性流體(lit)在剛性管道中運動 pA,C壓力(yl)差， 黏性系數克服阻力消耗能量E1 提供營養(yǎng)消耗能量E2 管壁內表面積 2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設qq1q1ABBCHLll1rr1共六十一頁模型(mxng)建立qq1q1ABBCHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機體為血流提供(tgng)能量共六十一頁模型(mxng)求解qq1q1ABBCHLll1rr1共六十一頁模型(mxng)

25、解釋生物學家：結果(ji gu)與觀察大致吻合大動脈半徑rmax, 毛細血管半徑rmin大動脈到毛細血管有n次分岔 觀察：狗的血管血管總條數推論n=？共六十一頁3.7 冰山(bngshn)運輸背景(bijng) 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊. 專家建議從9600km遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水. 從經濟角度研究冰山運輸的可行性.建模準備1. 日租金和最大運量船 型小 中 大日租金（英鎊） 最大運量（m3）4.06.28.05105106107共六十一頁2. 燃料(rnlio)消耗（英鎊/km）3. 融化(rnghu)速率（m/天）與南極距離 (km)船速(k

26、m/h) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積(m3)船速(km/h) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準備共六十一頁建模目的(md)選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用(fi yong)最低，并與淡化海水的費用(fi yong)比較.模型假設 航行過程中船速不變，總距離9600km. 冰山呈球形，球面各點融化速率相同. 到達目的地后,每立方米冰可融化0.85m3水.建模分析目的地水體積運輸過程融化規(guī)律總費用目的地冰體積初始冰山體

27、積燃料消耗租金船型, 船速船型船型, 船速船型共六十一頁第t天融化速率模型(mxng)建立1. 冰山融化(rnghu)規(guī)律 船速u (km/h)與南極距離d(km)融化速率r(m/天）r是 u 的線性函數d4000時u與d無關航行 t 天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd共六十一頁1. 冰山(bngshn)融化規(guī)律 冰山初始半徑R0，航行t天時半徑冰山初始體積t天時體積總航行(hngxng)天數選定u,V0, 航行t天時冰山體積到達目的地時冰山體積共六十一頁2. 燃料(rnlio)消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料(rnlio)消耗 q1(英鎊/km)q1對u線性, 對lgV 線性選定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英鎊/天)燃料消耗總費用共六十一頁 V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運送(yn sn)每立方米水費用 冰山初始體積(tj)V0的日租金 f(V0)（英鎊）航行天數總燃料消耗費用拖船租金費用冰山運輸總費用共六十一頁冰山到達目的地后得到(d do)的水體積3. 運送(yn sn)每立方米水