不確定度教程

1、一、內(nèi)容提要：測量不確定度的評定。二、重點(diǎn)難點(diǎn)：掌握測量不確定度常用方法和應(yīng)用實(shí)例。大綱要求：1、掌握標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評定方法2、掌握合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算方法3掌握測量不確定度應(yīng)用實(shí)例一、測量不確定度的評定1測量模型的建立被測量指的是作為測量對象的特定量。在實(shí)際測量的很多情況下，被測量Y(輸出量)不能直接測得，而是由N個其他量XI，X2,，XN(輸入量)通過函數(shù)關(guān)系f來確定的：Y=f(XI,X2，XN)(5.51)上式表示的這種函數(shù)關(guān)系，就稱為測量模型，或測量過程的數(shù)學(xué)模型。測量模型f代表所使用的測量程序和評定方法，它描述如何從輸入量Xi的值求得輸出量Y的值。輸入量XI，X2,，XN本身可看

2、做被測量，也可能取決于其他量，甚至包括系統(tǒng)效應(yīng)的修正值和修正因子，因此，函數(shù)關(guān)系式f可能非常復(fù)雜，以至于不能明確地表示出來。當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型有時也可能簡單到Y(jié)=X例如：用卡尺測量工件的尺寸，工件的尺寸就等于卡尺的示值。數(shù)學(xué)模型不是惟一的。采用不同的測量方法和不同的測量程序，就可能有不同的數(shù)學(xué)模型。例如：一個隨溫度t變化的電阻器兩端的電壓為V,在溫度為tO時的電阻為R0,電阻器的溫度系數(shù)為a,則電阻器的損耗功率P(輸出量或被測量)取決于V,RO,a和t(輸人量)，即：P=f(V,RO,a,t)=V2/R01+a(t-tO)(5.5-2)同樣是測量該電阻器的損耗功率P,我們也可采用測量其端電壓和流經(jīng)

3、電阻的電流I來獲得，則P的數(shù)學(xué)模型就變成：P=f(V,I)=VI(5.53)數(shù)學(xué)模型可用已知的物理公式求得，也可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，有時甚至只能用數(shù)值方程給出。如果數(shù)據(jù)表明，f未能將測量過程模型化至測量所要求的準(zhǔn)確度，則必須在f中增加其他輸入量，即增加影響量。例如：在電阻功率的測量中，增加電阻上已知的溫度非均勻分布、電阻溫度系數(shù)的非線性關(guān)系、電阻值與大氣壓力的關(guān)系等，直至測量結(jié)果滿足要求。在輸入量Xl,X2,，XN中，一類是當(dāng)前直接測定的量，其值和不確定度得自于單一觀測、重復(fù)觀測，或依據(jù)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)整等，并可能涉及儀器讀數(shù)的修正值，以及諸如環(huán)境溫度、大氣壓力、濕度等影響量修正值的確定。而另一類則是從

4、外部引入的量，例如：與已校準(zhǔn)的測量標(biāo)準(zhǔn)、有證參考物質(zhì)相關(guān)的量，或從手冊中查出的參考數(shù)據(jù)等。設(shè)式(5.5-1)中被測量Y的估計(jì)值，即輸出估計(jì)值為y,輸入量Xi的估計(jì)值，即輸入估計(jì)值為xi,則有：y=f(x1,x2.,xN)(5.5-4)在此，輸入值是經(jīng)過對模型中所有主要系統(tǒng)效應(yīng)的影響修正的最佳估計(jì)值。否則，須將必要的修正值作為獨(dú)立的輸入量引人測量模型中。對于一隨機(jī)變量，可以使用其分布方差或方差的正平方根，即標(biāo)準(zhǔn)差，來量度其值的分散性。與輸出估計(jì)值或測量結(jié)果y相關(guān)的測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)，是被測量Y的標(biāo)準(zhǔn)差，它是通過與輸入估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)差，即標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)來確定的。與估計(jì)值相聯(lián)系的標(biāo)準(zhǔn)

5、不確定度具有與估計(jì)值相同的量綱。在有些情況下，使用相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即估計(jì)值的測量不確定度除以估計(jì)值的模，可能更為適當(dāng)，它的量綱為1.當(dāng)估計(jì)值等于0時，相對不確定度的概念不適用。2輸入估計(jì)值測量不確定度的評定(1)概述與輸入估計(jì)值相關(guān)的測量不確定度，采用“A類”或采用“B類”方法評定。(2)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定當(dāng)在相同的測量條件下，對某一輸入量進(jìn)行若干次獨(dú)立的觀測時，可采用標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定方法。假定重復(fù)測量的輸入量Xi為量Q.若在相同的測量條件下進(jìn)行n(n1)次獨(dú)立的觀測，量Q的估計(jì)值為各個獨(dú)立觀測值qj(j=1,2,，n)的算術(shù)平均值與輸入估計(jì)值相關(guān)的測量不確定度可按以下方法之一評定

6、：(a)值qj的實(shí)驗(yàn)方差s2(q)是概率分布方差的估計(jì)值，可按下式計(jì)算其(正)平產(chǎn)根稱申實(shí)驗(yàn)林均值的實(shí)帝牛特均值7方差的最住f擁鼠龕由邊給出的乎其(正)平方領(lǐng)稱為平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)淮差。與輸入估計(jì)值至相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度即均值5實(shí)驗(yàn)標(biāo)推差：礙歹)=頭了(5.5-8)值得注意的是，一般而言，當(dāng)重復(fù)測量次數(shù)n較小(n例5.5-1對一等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)的有效面積進(jìn)行測量。在各種壓力下，測得10次活塞有效面積S0與工作基準(zhǔn)活塞面積Ss之比Li如下：TOC o 1-5 h z0.2506700.2506730.2506700.2506710.2506750.2506710.2506750.2506700.250

7、6730.250670則其最佳估計(jì)值,即測量結(jié)果L為：巴=/10=0:250672-LI驗(yàn)標(biāo)灌(毀班或橙叮球得L的箱準(zhǔn)不確定度為：譏;匚)二成Z)=汨歷=0.茨3敵10亠(b)對于特性比較明確且處于統(tǒng)計(jì)控制之下的測量過程來說，使用所獲得的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差sp來描述分散性，可能比采用通過有限次數(shù)的觀測值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差更為合適。sp為測量過程長期的組內(nèi)方差平均值的平方根。在此情況下，若輸入量Q的值由非常有限的n次獨(dú)立觀測值的平均值求得，則平均值的方差可按下式估計(jì)：s2何)=呂：5(5.5-9)根據(jù)該值，按式(5.5-8)即可求出標(biāo)準(zhǔn)不確定度。例5.5-2在實(shí)行量塊的測量保證方案時，為使實(shí)驗(yàn)處于控制狀態(tài)

8、，要以核查標(biāo)準(zhǔn)量塊來建立單個量塊的標(biāo)準(zhǔn)差。若第1次核查時的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為sl=0.015ym，第2次核查時的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s2=0.013ym，則兩次核查的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差sp為0.014ym(條件為兩樣本標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異)。若以sp核查標(biāo)準(zhǔn)量塊的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差，用以考察任一次測量(設(shè)兩次的測量次數(shù)均為n=6)，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)為：s2=$；血(5.5-9)(3)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定是用不同于對觀測列統(tǒng)計(jì)分析的方法，來評定與輸入量Xi的估計(jì)值xi相關(guān)的不確定度。即根據(jù)所有可獲得的關(guān)于xi可能變異性的信息，做出科學(xué)的、經(jīng)驗(yàn)的判斷，來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)。用于不確定度B

9、類評定的信息來源一般包括：以前的觀測數(shù)據(jù)；對有關(guān)材料和儀器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)；生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件；校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)；手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度;規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性限。運(yùn)用所掌握的信息進(jìn)行測量不確定度的B類評定，要求有一定的知識、經(jīng)驗(yàn)和技巧。適當(dāng)評出的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，可與A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度一樣可靠。B類不確定度評定的最常用方法有以下四種：(a)已知擴(kuò)展不確定度和包含因子如輸入估計(jì)值xi來源于制造部門的說明書、校準(zhǔn)證書、手冊或其他資料，其中同時還明確給出其擴(kuò)展不確定度U(xi)及包含因子k的大小，則與輸入估計(jì)值相關(guān)

10、的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)為：u(xi)=U(xi)/k(5.510)例5.5-3校準(zhǔn)證書上指出，標(biāo)稱值為1kg的砝碼的實(shí)際質(zhì)量m=1000.00032g,并說明按包含因子k=3給出的擴(kuò)展不確定度U=0.24mg.則由該砝碼導(dǎo)致的測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u(m)為：u(m)=0.24mg/3=80yg相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：urel(m)=u(m)/m=80 x10-9(b)已知擴(kuò)展不確定度和置信水平的正態(tài)分布如果給出xi在一定置信水平p下的置信區(qū)間的半寬，即擴(kuò)展不確定度Up,除非另有說明，一般按正態(tài)分布來評定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)，即：u(xi)=Up/kp(5.5-11)其中，kp置信水平p下的包

11、含因子。正態(tài)分布的置信水平p(置信概率)與包含因子kp之間存在著下表所示的關(guān)系。表5.5-1正態(tài)分布下置信水平p與包含因子kp間的關(guān)系p(%)5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763例5.5-4校準(zhǔn)證書上給出標(biāo)稱值為100的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻Rs在23C時為：Rs(23C)=(10.000740.00013)0同時說明置信水平p=99%。由于U99=O.13m0，按表5.5-1，kp=2.576,故其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Rs)=O.13m0/2.576=5Oy0。(c)其他幾種常見的分布除了正態(tài)分布外，其他常見的分布有t分布、均勻分布、反正弦分布

12、、三角分布、梯形分布、兩點(diǎn)分布等。若只知道輸入量的估計(jì)值xi分散區(qū)間的上限和下限分別為a+和a-(例如測量儀器的出廠指標(biāo)、溫度范圍、由自動數(shù)據(jù)簡化引起的舍入或截?cái)嗾`差)，則只能保守一些假定輸入量Xi在上、下限之間的概率分布為均勻(矩形)分布。按照上述情況(b)的做法，輸入估計(jì)值xi及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)分別為：xi=(a+a-)/2(5.5-12)u2(xi)=(a+-a-)2/12(5.5-13)如果上、下限之差用2a表示，即a+-a-=2a，貝U：或：例5.5-5手冊中給出純銅在20C時的線膨脹系數(shù)a20(Cu)為16.52x10-6C-1,并說明此值的變化范圍不超過0.40 x10-

13、6C-1.保守一些假定a20(Cu)在此區(qū)間內(nèi)為均勻分布，則線膨脹系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(a)為:u(a)=0.40 x10-6C-1/1.73=0.23x10-6C-1.(d)由重復(fù)性限或再現(xiàn)性限求不確定度在規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中，按規(guī)定的測量條件，當(dāng)明確指出輸入量的兩次測得值之差的重復(fù)性限r(nóng)或再現(xiàn)性限R時，如無特殊說明，則輸入估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：u(xi)=r/2.83(5.5-16)或u(xi)=R/2.83(5.5-17)這里，重復(fù)性限r(nóng)或再現(xiàn)性限R的置信水平為95%，并作為正態(tài)分布處理。3輸出估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算(1)當(dāng)全部輸入量彼此獨(dú)立或不相關(guān)時，與輸出估計(jì)值

14、y相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，由下式得出：I植朋曲模型函數(shù)f關(guān)于式中，是與輸入估計(jì)值恐相恙的標(biāo)準(zhǔn)不確定度對于寫輸出關(guān)的標(biāo)彳隹不確定度的貢熨屮幽非皿f企是與輸;恐相闢急謡數(shù)，它等于在羅7古廿謹(jǐn)h的偏導(dǎo)數(shù)曲曲3曰血Ci=靈敏系數(shù)ci表示輸出估計(jì)值y隨輸入估計(jì)值xi的變化而變化的程度。它可以從模型函數(shù)f按式(5.5-20)評定，或采用數(shù)值方法計(jì)算，即分別計(jì)算因輸入估計(jì)值xi的+u(xi)和-u(xi)的變化而引起的輸出估計(jì)值y的變化，所得的y值之差除以2u(xi)即為ci的值。有時，可以通過實(shí)驗(yàn)，例如分別在xi土u(xi)重復(fù)測量，找出輸出估計(jì)值y的變化以求出ci的值。如果模型函數(shù)f是輸

15、入量xi的和或差，也就是說y和x的函數(shù)關(guān)系是和差的函數(shù)關(guān)系,用公式表達(dá)即：f隱莊，幣天小=工也(5.5-21J-則輸岀估撫值應(yīng)是相應(yīng)的輸;計(jì)值的和或差,即：八工刃殆、(5*式中，P即為賣敏再智戯靜出估用1相蒸的嶺赫進(jìn)祐蘇為:粛富秒込)優(yōu)習(xí)冷女無翻數(shù)騎X量x鐮棘，即師砂*匚二亠小總，國適丁附川執(zhí)疋總之口好5-24)則輸出1W值讎相應(yīng)的輸Xf古計(jì)值輝或甌即：滬=c口xfi.5.5炮52-1在這種情況下，靈敏系數(shù)等于piy/xi，如果采用相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度w(y)=u(y)/IyI和w(xi)=u(xi)/IxiI的話，可以得到與式(5.5-23)類似的表達(dá)式：w2(y)=V.(xj)(5.5-26)

16、LT(2)當(dāng)兩個輸入量Xi和Xk之間有一定程度的相關(guān)性時，即它們之間不是相互獨(dú)立的，那么，其協(xié)方差也應(yīng)作為不確定度的一個分量來考慮。在以下情況下，與兩個輸入量xi和Xk的估計(jì)值相關(guān)的協(xié)方差可以認(rèn)為是零或影響非常小：(a)輸入量Xi和Xk相互獨(dú)立，例如，它們是在不同的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中重復(fù)而且非同時測得的，或它們分別代表獨(dú)立進(jìn)行的不同評定所得出的量；(b)輸入量Xi和Xk中的一個可作為常量看待；(c)研究表明，輸入量Xi和Xk之間沒有相關(guān)性的跡象。有時，可以通過改變測量程序來避免發(fā)生相關(guān)性，或者使協(xié)方差減小到可以忽略不計(jì)的程度。例如：通過改變所使用的同一臺標(biāo)準(zhǔn)器等。4.擴(kuò)展不確定度的評定擴(kuò)展不確定度是確定測量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。實(shí)際上，擴(kuò)展不確定度是將輸出估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)擴(kuò)展了k倍后得到的，這里的k稱為包含因子。即：U=ku(y)(5.527)k值一般為2,有時為3,這取決于被測量的重要性、效益和風(fēng)險。當(dāng)可以賦予被測量正態(tài)分布，且與輸出估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性足夠高時，包含因子k=2,這代表擴(kuò)展不確定度的包含概率約為95%。擴(kuò)展不確定度是測量結(jié)果取