ESG取值的組合優(yōu)化與動態(tài)資產(chǎn)定價

1、文獻概述文獻來源：D. Lauria, W. B. Lindquist, S. Mittnik and S. T. Rachev. ESG - Valued Portfolio Optimization and Dynamic Asset Pricing. Preprint version. https:/abs/2206.02854文獻摘要：ESG 評級為社會責任投資提供了一種量化的衡量標準。本文提出了一種將 ESG 評級納入到動態(tài)定價理論中的統(tǒng)一框架。通過引入 ESG 取值的收益率作為傳統(tǒng)的收益率的替代，本文形成一個由回報、風險和 ESG 評分綜合決定組合優(yōu)化框架。該框架保留了組合優(yōu)化中的

2、風險厭惡系數(shù)（），并引入了 ESG 親和系數(shù)（）。利用該框架，本文構造了 ESG 版本的組合優(yōu)化、資本市場線、風險度量、期權定價以及影子無風險利率。文獻評述：本文將 ESG 整合進了動態(tài)資產(chǎn)定價理論之中，構造了 ESG 版本的組合優(yōu)化、資本市場線、風險度量、期權定價以及影子無風險利率，值得戰(zhàn)略、戰(zhàn)術配置投資者參考。說明：為方便起見“ESG-valued XX”一詞在本文中被統(tǒng)一翻譯成“ESG 取值的XX”，或者更簡單“E 值 XX”。引言社會責任投資（socially responsible investing，SRI）是一種倡導在投資和公司層面對環(huán)境和社會產(chǎn)生正向影響的投資理念。雖然 SRI

3、 涵蓋的范圍較廣，但在狹義語境中，它主要是指 ESG 評級（ESG rating）。粗糙地講， ESG 評級的目的在于從環(huán)境、社會和治理三個范疇對任何一家公司進行評分，以期提供公司級別的“可持續(xù)發(fā)展性”排序。ESG 投資方興未艾。例如共同基金和養(yǎng)老基金，當下皆提供與 SRI 相關的金融產(chǎn)品。但在如何將 ESG 整合進投資決策中則有數(shù)量不菲的嘗試。主流的整合方式可以分為三種：（1）排除途徑，（2）納入途徑，（3）經(jīng)驗途徑。前兩種途徑可以被簡單理解為“賞善罰惡”，而第三種途徑則是 “賞善不罰惡”，因此采用此種途徑的資產(chǎn)管理人在尋求更多的風險敞口于 ESG 得分較高的公司的同事，也有可能投資于不那么

4、有道德的企業(yè)實體，詳情參見 Berry et al（2013）。雖然 ESG 投資的背后推動力可以粗糙地分為道德信念和業(yè)績改善，但從文獻角度來看，大家更傾向于從后者為 ESG 投資提供合理性支撐，此處略去不表。ESG 評級經(jīng)常遇到的一個技術問題是不同評級機構之間存在得分差異。Berg et al（2019）分析了六家大型數(shù)據(jù)提供商的 ESG 分數(shù)，最終發(fā)現(xiàn)可以主要歸因于：范圍（scope，占比 56%），由決定 ESG 評級的指標范圍所決定；測量（measurement，占比 38%），由指標的具體計算方式所決定；權重（weight，6%），由 ESG 評級的組合權重所決定。組合優(yōu)化是現(xiàn)代金融

5、理論的基石，而相關理論需要給定回報和風險的測度后才能展開。將 ESG 信息整合進入組合優(yōu)化的最初嘗試是通過負面篩查來實現(xiàn)的。在 Geczy and Guerard（2021）中，作者利用因子模型和 MVO整合了負面篩查信息。隨后有大量研究試圖將 ESG 信息直接整合進組合優(yōu)化。Bilbao et al（2013）等人構建了一個兩階段模型。第一步仍然是計算基于回報和風險的有效前沿，并計算有效前沿上的社會行為滿意指標。第二步則基于第一步的計算，選擇金融和社會行為表現(xiàn)較好的標的來組成投資組合。Hirschberger et al（2013）和 Utz et al（2015）則將可持續(xù)發(fā)展度作為僅次于

6、收益和風險之后用于資產(chǎn)篩選的第三維度。Gasser et al（2017）將 ESG 視為經(jīng)典 MVO 優(yōu)化目標的一個線性組成部分。Chen et al（2021）給出了一個三階段模型。第一步通過對 ESG 的數(shù)據(jù)包絡分析得到一個信息含量更高的綜合分數(shù)；第二步則利用第一步的綜合分數(shù)和金融指標，構造了一個受限投資共相（restricted investment universe）；第三步再使用標準的MVO 框架得到最優(yōu)權重組合。Pedersen et a（l 2021）將相對 ESG 分數(shù)整合進了目標函數(shù)，并考慮了環(huán)境和治理分數(shù)對組合業(yè)績的微分沖擊（differential impact）。Sc

7、hmidt（2020）給出了由收益率、平均方差和 ESG 分數(shù)共同決定的資產(chǎn)權重分析。Cesarone et al（2022）將 ESG 作為 MVO 框架的一個硬約束，對不可做空的市場利用數(shù)據(jù)驅(qū)動的風險場景，做了一些數(shù)值模擬，他們發(fā)現(xiàn)在 DJIA、Euro Stocxx 50、 FTSE100、NASDAQ100 和 S&P500 等市場中，只有 DJIA 和 S&P500 才會有高 ESG 超額表現(xiàn)。本文的目的在于構建依據(jù)于 ESG 信息的定價、優(yōu)化以及風險管理的框架。本文將 ESG 視為動態(tài)資產(chǎn)定價理論中的第三維度，即構造“回報-風險-ESG”資產(chǎn)配置理論。我們的工作從整合 ESG 與資

8、產(chǎn)收益率的 E值收益率開始，并逐漸擴展到現(xiàn)代金融理論的其他主要部分，包括但不限于組合優(yōu)化、資本市場線、風險度量、期權定價以及影子無風險利率。ESG 取值的收益率粗糙地講，E 值收益率（ESG-valued return，ER）是資產(chǎn)的收益率和 E 值（ESG score，ES）的某種線性組合。本文主要涉及兩種版本的 E 值，即原始的 E 值和正規(guī)化后的 E 值（normalized ES，NES）。E 值通常是一個非負數(shù)。如果用ESGi,t代表資產(chǎn) i 在 t 時刻的 E 值，那么 NES 即由映射: 0 1,1,ESGi,t (ESGi,t) = i,t給出。在此基礎上，定義 -E 值收益率

9、形如i,t():= i.t + (1 ) rci,t, 0,1,c 0其中ri,t代表資產(chǎn) i 在 t 時刻的收益率，c 需要適當選擇使得 NES 的大小與收益率相對可比，稱為 ESG 親和系數(shù)。例如，由于 E 值通常是年度更新，對于日收益率而言，本文將選擇 c=255。從定義中可以看到，親和系數(shù) 代表了投資者對 NES 的重視程度。為簡單起見，本文總是假設親和系數(shù)的選擇與資產(chǎn) i 和時刻 t 無關。NES 的計算NES 的計算需要注意兩個問題：數(shù)據(jù)填充方法和數(shù)值正規(guī)化方法。從公式上看，E 值收益率的各個組成部分的更新頻率并不一致：E 值通常為年度更新，而收益率則要高頻得多，因此 E 值收益率

10、的計算必然涉及到低頻數(shù)據(jù)向高頻數(shù)據(jù)的填充問題。雖然存在明顯的缺點，但考慮到多方面的原因，本文總是采用最簡單的“前向填充”方法，即若無單期數(shù)據(jù)更新，均使用上期數(shù)據(jù)進行計算。數(shù)值正規(guī)化方法的選擇與 ESG 的值域有很大關系。由于本文使用的 E 值來自 Refinitiv，其取值始終保持在0,100中變動，因此正規(guī)化映射形如：Refi:0,100 1,1, x x 150本文的主要實證數(shù)據(jù)是涵蓋了 30 只股票的 DJIA（Dow Jones Industrial Average）指數(shù)，但是排除了 DOW Inc 公司，因此實際使用的股票數(shù)為 29 只。表 1 和圖 1 分別給出了 DJIA 中 2

11、9 只股票的年度E 值和 NES。圖 1： Refinitiv ESG 的正規(guī)化表現(xiàn)數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）表 1： DJIA 指數(shù)個股的 Refinitiv ESG 分數(shù)數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）ESG 取值的組合優(yōu)化本報告會用到兩種類型的遍歷指標集合：x = 1,2, , x, x 0(x: x + y) = x, x + 1, , x + y, x, y 0例如5 = 1,2,3,4,5(9: 12) = 9,10,11,12E 值組合優(yōu)化的基本設定如下： 時點：t 回溯窗口： T 0資產(chǎn)池：i I 資產(chǎn)收益率：ri, i I, (t T + 1

12、: t) 場景收益率：rs, s S, i I i,t+1 資產(chǎn)權重： = (1, , I,), (t T + 1: t + 1)從 t 到 t+1 時刻，所有的風險場景 s 共同形成了收益率系綜（ensemble）：t+1rR t+1 = R s= iIi,t+1s t+1: s S一旦選定了風險度量，相應的最優(yōu)化問題就變成：min R t+1 + (1 ) R t+1 s. t. i,t+1 0, i I ii,t+1 = 1i|i,t+1 i,t| 其中 為風險厭惡系數(shù)，三個約束條件分別對應了權重的幺和性，換手率限制和做空限制。ESG 取值的有效前沿與收益率一樣，不同的風險場景 s 同樣

13、也形成了 E 值收益率系綜：t+1Zt+1 = Zs= iIi,t+1si,t+1: s Ss() = i,t + (1 )rsi,t+1ci,t+1需要注意到的是，公式表明我們并不對 NES 進行預測，模型的隨機性完全由傳統(tǒng)收益率決定。而為了估計收益率系綜i,t+1rs: s S本文使用了歷史收益率數(shù)據(jù)ri,: (t T + 1 t),i I結合 ARMA(p,q)-GARCH(1,1)模型進行分析，其中 p,q2。對于風險度量，本文選擇了均值方差模型（mean-variance，MV），以及=0.95 或 0.99 兩種置信水平的mCVaR 。為以示區(qū)別，最優(yōu)權重向量： = (, , )1

14、 I會用標記不同的參數(shù)表明其對應的最優(yōu)化框架。例如() 和 (,)分別代表了只關心收益率 R 和關心 E 值收益率給出的最優(yōu)權重。對于 E值版本的最優(yōu)權重：R (,) = (,)r= (,) r Tt+1iIi,t+1i,t+1t+1t+1Z (, ) = (, ) () = (,) ()Tt+1iIi,t+1i,t+1t+1t+1所以最優(yōu)權重向量對應的 E 值和 NES 為：ESG= ESG (,) = (, )ESGt+1t+1iIi,t+1i,t+1= (, ) = (, )t+1t+1iIi,t+1i,t+1如果設ER = (1, , I) 和 ER = (ij)i,jI為 E 值收益

15、率的樣本均值和方差，那么風險度量為 MV 時組合優(yōu)化為：min(T ER + (1 )T ER)s. t. i 0, i Iii = 1風險度量為 mCVaR 時組合優(yōu)化為min T + (1 ) +1 max(x () , 0),S(1 )ssSi 0, i Is. t. ii = 1 其中i,t+1xs() = is()iI此時規(guī)劃問題的求解，請參見 Rockafellar and Uryasev（2000）。參照連續(xù)收益率的計算方法，最優(yōu)投資組合的組合凈值等于Rcum(t, ) = R (,) P (, ) = P eRcum(t,)t 0t類似可以定義 E 值組合凈值（需要特別強調(diào)的是

16、，該模型并非是投資組合的價格，而是一個 E 值指標！）Zcum(t, ) = Z (,) P(Z)(, ) = P(Z)eZcum(t,)t 0t本節(jié)將通過實證比較 E 值有效前沿與傳統(tǒng)有效前沿的差異，實證數(shù)據(jù)的選擇與前文保持一致。利用 2019 年 12 月 30 日前溯 T=510 日的歷史數(shù)據(jù)，以及總數(shù)為 S=10000 的風險場景（risk scenarios），本文計算了 MV、 mCVaR 0.95和mCVaR 0.99 三種風險度量下的有效前沿， 其中 0,0.01,0.02,0.99，0,0.25,0.5,0.75。為了體現(xiàn) E 值對有限前沿的影響，本文使用兩種不同的坐標體系來

17、呈現(xiàn) E 值有效前沿：SpanZ , Z ,ESG 3 SpanR, R,ESG 3為行文簡單，上述兩種坐標分別為 E 值坐標和傳統(tǒng)坐標。圖 2： E值坐標中的 E值有效前沿數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：E 值有效前沿在 E 值坐標 SpanZ, Z, ESG 中的形態(tài)（第一排），以及在平面SpanZ , Z中的投射（第二排），從左到右分別對應于 M V，mCVaR0.95 和 mCVaR0.99 三種風險度量。E 值坐標中的 點的分量為(Z , Z , ESG )。t+1t+1t+1圖 2 展示的是 E 值坐標下的 E 值有效前沿?？梢钥吹剑瑢τ谳^大的 ， ESG*或者

18、Z 的數(shù)值會隨著 的提升而快速提升。例如，圖 2（a）中 的 =0.5 或者 0.75 時顯得尤為明顯。從 E 值收益率的公式可以看到，正相關于Z ，但與Z 負相關，這是因為 E 值的“前向填充”使得 E 值收益率的波動性主要由資產(chǎn)收益率貢獻，但 的提高會減少收益率在 E 值收益率中的權重，因此兩者呈現(xiàn)負相關性。圖 3 展示的是傳統(tǒng)坐標下的 E 值有效前沿。傳統(tǒng)有效前沿對應于 =0 時的 E 值有效前沿，與 E 值坐標類似，圖像上呈現(xiàn)出 ESG*伴隨著 的提升而提升的現(xiàn)象。但是這一結論并不具備普適性，它與時間窗口的選擇關系密切。雖然 較高時R與 呈現(xiàn)正相關性，然而對于任意固定的 ，當 上升時R

19、和R會雙雙呈現(xiàn)出非線性的下降趨勢。這種趨勢在底平面SpanR ,R 中雖然較難觀察，但從傳統(tǒng)坐標可以看到，其背后的主要原因仍然是 ESG*的增加造成的。圖 3： 傳統(tǒng)坐標中的 E值有效前沿數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：E 值有效前沿在傳統(tǒng)坐標SpanR , R , ESG中的形態(tài)（第一排），以及在平面SpanR , R 上的投射（第二排），從左到右分別對應于 M V，mCVaR0.95和mCVaR0.99三種類型的風險度量。傳統(tǒng)坐標中的點的分量為 (R , , ESG )。t+1t+1t+1以 2019 年 12 月 30 日和 2019 年 12 月 31 日為例，我們

20、將分析新舊時點的 E 值對最優(yōu)權重組合的影響。圖 4 展示了 E 值更新產(chǎn)生的相對差異。具體來說，舊的 E 值對應了s() = i,t + (1 )rsi,t+1ci,t+1s() (, )i,t+1而新的 E 值對應了s() = i,t+1 + (1 )rsi,t+1ci,t+1s() (,)i,t+1進而最優(yōu)權重組合的 ESG*為i,t+1ESG = ESG(,) = (, )ESGi,t+1iI定義相對差異（relative difference，RD）為RD(, ) =|ESG ESG| ESG圖 4： 不同風險度量的 RD 表現(xiàn)數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：風險

21、度量從左到右分別為 M V，mCVaR0.95和mCVaR0.99，RD 的計算時點為 2019 年 12 月31 日，E 值對應時點為 2018 年 12 月 31 日和 2019 年 12 月 31 日。從圖 4 可以看出，E 值的更新產(chǎn)生的 RD 變化小于 5%，這表明 E 值最優(yōu)權重向量相對穩(wěn)健。更進一步，RD 指標負相關于 ，并且在 較高時，這種負相關性越強（見圖 4（a）。對于 MV，RD 通常在 00.1 時即快速衰減，這是因為 *的分量會隨著 的提升迅速集中。對于 mCVaR，圖 4 則展示出 RD 在 0，平均換手率則伴隨著的增加而減少。這主要可以歸咎于 MV 框架下解的穩(wěn)健

22、性問題。對于 mCVaR 0.99情況，除開較大的(, )參數(shù)，最優(yōu)權重組合的 ETL95 和ETR95都會明顯少于基準組合；而 MV 情況則恰恰相反。對于 MV，ETL95 的數(shù)值始終要大于 ETR95，但兩者的差在較大的情況下會隨著的增加而減少。所有最優(yōu)權重組合的 MDD 都會優(yōu)于基準組合。對于固定的 mCVaR 0.99，MDD 會隨著的增加而衰減。最優(yōu)權重組合的平均 ESGS 大于基準組合；其 ESGS 的方差在mCVaR 0.99上也會更小，但在 MV 上則劣于基準組合。圖 7 在mCVaR 0.99下， = 0.7， 0,0.25,0.5,0.75的最優(yōu)權重組合的組合凈值和 E 值

23、組合凈值進行了刻畫。圖中同時列出了有換手率限制和沒有換手率限制的情況。在沒有換手率約束的情況下，最優(yōu)權重組合的組合凈值和 E 值組合凈值都優(yōu)于基準組合。在有換手率約束的情況下，基準組合在 Covid-19 流行前表現(xiàn)更好，但是疫情后 = 0.7， 0.5,0.75則表現(xiàn)出了相對于基準組合強勁的組合凈值恢復姿態(tài)。相應的最優(yōu)權重組合的 E 值則呈現(xiàn)分層現(xiàn)象，特別是 2020 年 1 月 1 日后 E 值出現(xiàn)了明顯的跳躍（參見表 1）。圖 7： 最優(yōu)權重組合與切線組合的組合凈值和 E值數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：回測區(qū)間為 2017 年 01 月 03 日至 2020 年 1

24、2月 30 日，風險度量分別為 MV 和0.99。圖（a-d）為 = 0.7時最優(yōu)權重組合的組合凈值和 E 值組合凈值，此處的風險度量為mCVaR0.99，其中（a）和（b）為換手率無限制模型，（c）和（d）的日度換手率約束為 0.4%。（e）和（f）為切線組合在日度換手率約束為 0.4%下的表現(xiàn)。所有的圖都和基準組合進行了比較。在表 3 中，我們對最優(yōu)權重組合的矩估計進行了匯總，包括：均值、中位數(shù)、標準差（Std）、偏度（Skew）、超額峰度（ExKurt）。可以看到，相對于 MV，固定時，均值、中位數(shù)以及標準差隨著的增長速度要更強，偏度和超額峰度則伴隨著的增長而下降。表 3： 不同風險度量

25、下最優(yōu)權重組合的矩估計數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：回測區(qū)間為 2017 年 01 月 03 日至 2020 年 12月 30 日，風險度量分別為 MV 和0.99。表 4： 不同風險度量下最優(yōu)權重組合的 RRR數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：回測區(qū)間為 2017 年 01 月 03 日至 2020 年 12月 30 日，風險度量分別為 MV 和mCVaR0.99。表 4 中計算了最優(yōu)投資組合的一些經(jīng)典的 RRR：Sharpe 比率（SR）、 Sortino 比率、STAR、Rachev 和 Gini 系數(shù)。總體上看，MV 場景中的 RRR表現(xiàn)強于 m

26、CVaR 場景中的 RRR，而且相對于基準組合 RRR 都有一定程度的提升。ESG 切線組合平面SpanZ ,Z 上的 E 值有效前沿將給出 E 值切線組合，以及 相應的 E 值版本的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）、證券市場線（SML）和兩基金分離定理，而這些推廣的核心在于如何確定 E 值無風險利率。需要注意的是，與前面基于收益率和 E 值收益率的最優(yōu)權重組合不同，此時的切線組合的權重只與親和系數(shù)有關： = ()顯然，E 值無風險利率也應該遵循一般資產(chǎn) E 值收益率的構造方式。和上一節(jié)一樣，本文利用 10 年期的美國國債利率作為通常的無風險利率，并且將其對應的 E 值設置為 100。這樣操作主要

27、是依據(jù)簡潔性的考慮，因為賦予國債利率任何的 E 值都沒有直接選取極大 E 值更有說服力。最終，E 值切線組合將會 E 值坐標下的(0,f,t() 和相應的有效前沿共同確定。需要注意到的是，有效前沿為參數(shù)(, , t)所決定，而整個有效前沿只依賴于(, t)。圖 7 同樣展示了風險度量為mCVaR 0.99時，不同水平下切線組合的 E 值組合凈值。當 0時，帶換手率約束的切線組合相比于無換手率約束的 = 0.7組合具備相當?shù)母偁幜?。圖 8： 切線組合的E值組合凈值數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：（a-d）圖為mCVaR0.99下的 E 值組合凈值，回測區(qū)間為 2017 年 0

28、1 月 03 日至 2020 年 12月 30 日。圖（e）為不同水平下切線組合與 DJIA 之間的 E 值組合凈值之差。t圖 8 展示了風險度量為mCVaR 0.99的切線組合的 E 值組合凈值P(Z)()。作為對比，我們同時展示了 EWBH 和 DJIA 的 E 值組合凈值。嚴格地講，在計算 DJIA 的 E 值組合凈值時，由于只涉及 29 只股票，因此 E 值計算涉及的股票權重會和指數(shù)的本身權重略有調(diào)整：w DJIA = wDJIA/(1 w DJIA )iiDOW即需要排除 DOW Inc 公司的權重。事實上，EWBH 和 DJIA 指數(shù)的 E 值組合凈值表現(xiàn)非常近似，但是伴隨著的提升

29、，切線組合的表現(xiàn)和它們的表現(xiàn)則呈現(xiàn)巨大差別。表 5： 不同風險度量下切線組合的 RRR數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：回測區(qū)間為 2017 年 01 月 03 日至 2020 年 12 月 30 日。表 5 展示了不同取值時的切線組合的業(yè)績、矩和 RRR。當較大時，切線組合的表現(xiàn)遠超基準組合。除了 Gini 系數(shù)，伴隨著的增大，切線組合所有的 RRR 都優(yōu)于基準組合。平均換手率則隨著的增大而減小。ESG 期權估值本節(jié)考慮 E 值對期權定價模型的影響。依據(jù)附錄中的方法，任給時刻 t，考慮一系列的到期日 t+T，T Tmin, Tmax，執(zhí)行價格K Kmin, Kmax， 并且

30、使用 E 值切線組合作為相應期權的底層資產(chǎn)。實證部分的設定與前文類似，此處選擇了 2019 年 12 月 30 日的數(shù)據(jù)。另外本節(jié)也對比了 E值的 DJIA 指數(shù)作為底層資產(chǎn)時的定價效果。本節(jié)主要關心的是兩種不同的底層資產(chǎn)上的期權的表現(xiàn)。此處期權的具體值由 T 和 E 值貨幣（ESG-moneyness）tM = K/PZ共同決定。其中M 0.5,1.5,T 15,252圖 9： 不同底層資產(chǎn)對應的 E值期權價格數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：第一排為歐式看多期權，第二排為歐式看空期權，棕色曲面以 E 值的 DJIA 為底層資產(chǎn)，藍色曲面以mCVaR0.99風險度量下的 E

31、 值切線組合為底層資產(chǎn)。第三排為不同水平下兩種底層資產(chǎn)對應的期權價格的差。圖 9 反映的是兩種不同基準的看多期權和看空期權的差(mCVaR0.99)(T, K, ) (DJIA)(T, K, )cc(mCVaR0.99)(T, K, ) (DJIA)(T, K, )pp可以看到，對于 = 0，期權價差幾乎為零。隨著的增加，期權價差主要發(fā)生在行權價格更偏價內(nèi)（into-the-money）的情況。E 值切線組合由于擁有較高的 E 值，因此會產(chǎn)生向高 E 值標的的傾斜，從而生成更高的期權價格。會因為久期的差異，而在看多和看空期權上產(chǎn)生不同的效果；對于一個常數(shù)的價內(nèi) K，看多期權會隨著 T 同向變化

32、，而看空期權恰恰相反。圖 10 展示了兩種底層資產(chǎn)對應的隱含波動率（implied volatility，VI）曲面。對于 = 0的價內(nèi)期權，IV 顯示，DJIA 給出的曲面（橙色）在短久期上要高于切線組合，長久期上則完全相反。的提升會使得兩個曲面同時上升，但他們的差會減少，而“波動率微笑”將更陡峭。圖 10： 不同底層資產(chǎn)對應的 E值隱含波動率數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：棕色曲面以 E 值的 DJIA 為底層資產(chǎn)，藍色曲面以mCVa R0.99風險度量下的 E 值切線組合為底層資產(chǎn)。E 值影子無風險利率無風險利率的存在性通常是現(xiàn)代金融理論的隱含假設之一。然而，沒有無風

33、險利率的金融市場亦被學術界研究過。在 Black（1972，1995）的一系列開創(chuàng)性的工作中，他提出了一個不依賴于無風險利率存在的 CAPM模型，而后引入的影子無風險利率（shadow riskless rate，SRR），其本質(zhì)上是一種關于固定收益衍生品的期權。針對 SRR，Rachev et al（2017）提供了另外一種視角，該指標被定義為一組風險證券的某個永續(xù)期權，同時還給出了相應的解析表達式。考慮 N 種風險資產(chǎn)由 N-1 維 Brownian 運動決定：dPi,t = dt + dB, i NPi,tiijjN1j,t為了消除套利機會，我們考慮如下價格平減過程dt = tdt +

34、jjN1dBj,t使得Pi,tt, i N成為鞅。Ito 引理告訴我們，上述平減過程存在唯一等于i + + ijj = 0, i NjN1給出的方程組有解。如果將其改寫成矩陣形式 11,11,N1 12,12,N1 ,11 = 2 1N,1N,N1 ,N1N那么 Cramer 法則即給出了相應的無風險利率的解析式rf = = det det 其中1 = 1 11,12,1N,11,N1 2,N1 N,N11 2 = 1,12,11,N12,N1 NN,1N,N1因此對于 E 值 SRR，我們只需要計算相應的 E 值收益率和資產(chǎn)與 Brown運動的協(xié)方差即可。實證部分的設定與前文保持一致。在 2

35、017 年 01 月 03 日到 2020 年 12月 31 日的回測區(qū)間內(nèi)，我們使用了長度為 2 年的移動窗口來估計 E 值均值和方差。對于 DJIA 中的 29 只股票，我們得到相應的(,)其中資產(chǎn)的排序遵循 E 值收益率方差衰減原則。為了得到 28 個 Brown運動，我們將利用協(xié)方差矩陣的 Cholesky 分解 = LLT并將LT的最后一列替換為它自己的最后兩列的和來完成估計。本節(jié)計算了 0,0.25,0.5,0.75的 SRR，參見圖 11。可以看到 Covid-19的沖擊改變了 SRR 曲線之間的相對位置和分化程度，但沖擊結束之后不同 SRR 又開始呈現(xiàn)分化。圖 11： E值影子

36、無風險利率數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）。注：回測區(qū)間為 2017 年 01 月 03 日至 2020 年 12 月 30 日。圖（a）DJIA 中 29 只股票決定的SRR，圖（b）SRR 的信息比率。注意到價格平減過程的標準差被定義為 = ( 21/2,j)jN1因此可以定義 SRR 的信息比率（information ratio，IR）如下IRSRR() = /最后我們在圖 12 中展示了IRSRR指標的均值和方差之間的關系。圖 12： E值 SRR 的信息比率數(shù)據(jù)來源：Lauria et al（2022）討論與總結本文介紹了一種將 E 值整合進動態(tài)資產(chǎn)定價理論的框架。該

37、框架主要參數(shù)有二：傳統(tǒng)的風險厭惡系數(shù) 0,1以及 ESG 親和系數(shù) 0,1。本文將該框架應用于組合優(yōu)化、風險測度、期權定價和影子無風險利率的計算上。盡管 E 值收益率與呈現(xiàn)線性依賴，但可以看到最終結果往往呈現(xiàn)為高度的非線性依賴。毫無疑問的是，本文的框架與 E 值的具體選擇是無關的，因此當我們使用不同的 E 值進行論證時，結果勢必會產(chǎn)生一定的差異。從技術上看，一個整合了 E 值的動態(tài)資產(chǎn)定價框架需要解決如下問題：E 值需要和收益率相對可比：一方面，E 值需要上下有界，例如對于NES 而言取值一般為：, +, 0 0, s S sqs = 1sqs P(Z,s)()ef,tT = P(Z)t+Tt

38、其中ps代表的是 s 在中的概率，例如對于等可能情況，我們有ps = 1/S因此最終有期權價格公式c(t,T, K) = q max(P(Z,s)() K, 0) ef,tT ssSt+Tp(t, T, K) = q max (K P(Z,s)(),0) ef,tT ssSt+T參考文獻Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., and Heath, D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance 9, 3 (1999), 203228Berg, F., Koelbel, J. F., and Rigobo

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