可測(cè)函數(shù)定義以及其簡(jiǎn)單性質(zhì)

1、關(guān)于可測(cè)函數(shù)的定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)第一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“長(zhǎng)度” 問題：怎樣的函數(shù)可使Ei 都有“長(zhǎng)度”(測(cè)度)?第二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1可測(cè)函數(shù)定義例 (1) 零集上的任何函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。注：稱外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)(可取 )， 若 可測(cè)，則稱f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)第三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù)注：Dirichlet函數(shù)是簡(jiǎn)單函數(shù)0 1若

2、 ( Ei 可測(cè)且兩兩不交），f(x)在 每個(gè)Ei上取常值 ci，則稱f(x)是E上的簡(jiǎn)單函數(shù)；第四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)必為可測(cè)函數(shù)對(duì)比：設(shè)f(x)為(a,b)上有限實(shí)函數(shù)， ( ) ( ) ( )f(x) 在 處連續(xù)(對(duì)閉區(qū)間端點(diǎn)則用左或右連續(xù))設(shè)f(x)為E上有限實(shí)函數(shù)，稱f(x) 在 處連續(xù)第五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)定為可測(cè)函數(shù)證明：任取xEfa, 則f(x)a,由連續(xù)性假設(shè)知，( ) x f(x0)+ f(x0) f(x0)- a則G為開集，當(dāng)然為可測(cè)集，且第六張，PPT共五十一頁，

3、創(chuàng)作于2022年6月 R中的可測(cè)子集E上的單調(diào)函數(shù)f(x)必為可測(cè)函數(shù)。aI a x1 x2 由f單調(diào)增知下面的集合為可測(cè)集證明：不妨設(shè)f單調(diào)增，對(duì)任意aR第七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)的等價(jià)描述證明：利用（1）與（4），（2）與（3）互為余集，以及 定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，則 f(x)在E上可測(cè)第八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)前面等式的說明 ( a-1/n a( a a+1/n第九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)反之，若 , f(x)限制在En上是可測(cè)函數(shù)， 則f(x)在E上也是可測(cè)函

4、數(shù)。即:若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù), 可測(cè)， 則f(x)限制在E1上也是可測(cè)函數(shù)；第十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若m (Efg)=0,則稱f(x)=g(x)在E上幾乎處處成立, 記作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性證明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，則m E1=0 從而 g(x)在E1上可測(cè) ，即： 設(shè)f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可測(cè)，則g(x)在E上也可測(cè) 注：用到了可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)另外f(x)在E2上可測(cè)，從而 g(x)在E2上也可測(cè) ，

5、進(jìn)一步g(x)在E=E1 E2上也可測(cè) 。第十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉即:若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù), 則f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍為E上的可測(cè)函數(shù)。a-g(x) r f(x)第十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉即:若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù), 則f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍為E上的可測(cè)函數(shù)。a-g(x) r f(x)第十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022

6、年6月類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則 為可測(cè)集。證明中利用了 Q是可數(shù)集和 R中的稠密集 兩個(gè)性質(zhì) a-g(x) r f(x)第十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則 為可測(cè)集。證明中利用了 Q是可數(shù)集和 R中的稠密集 兩個(gè)性質(zhì) a-g(x) r f(x)第十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)類關(guān)于確界運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉。推論：可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù) （連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù)）。若fn(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。第十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022

7、年6月對(duì)上式的說明：下確界： ( a-1/n a第十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例： R1上的可微函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)是可測(cè)函數(shù)利用了可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù).從而f (x)是一列連續(xù)函數(shù)（當(dāng)然是可測(cè)函數(shù)） 的極限，故f (x)是可測(cè)函數(shù). 證明：由于gn(x)第十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 設(shè)fn是可測(cè)函數(shù)列，則它的收斂點(diǎn)全體和發(fā)散點(diǎn)全體是可測(cè)集.注意：函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于f之間的不同.證明：發(fā)散點(diǎn)全體為 收斂點(diǎn)全體為再第十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系 可測(cè)函數(shù)f(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極

8、限M mM mM mn 0第二十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：設(shè)f(x)是R上連續(xù)函數(shù)，g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則f( g(x)是可測(cè)函數(shù)。證明：要證f( g(x)是可測(cè)函數(shù)，只要證對(duì)任意a， Ef ga=x| f( g(x)a可測(cè)即可,g 可測(cè)f 連續(xù)x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =第二十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 可測(cè)函數(shù)的收斂性第三章 可測(cè)函數(shù) 第二十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)列的幾種收斂定義 一致收斂:注：近似地說一致收斂是函數(shù)列 收斂慢的程度能有個(gè)控制 近

9、似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖 象陡的程度能有個(gè)控制fn(x)=xn點(diǎn)點(diǎn)收斂: 記作第二十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1-例：函數(shù)列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上處處收斂到 f(x)=0,但不一致收斂， 但去掉一小測(cè)度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂fn(x)=xn第二十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾乎處處收斂: 記作 (almost everywhere）即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂 即：去掉某個(gè)小（任意?。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂 幾乎一致收斂:記作 (almost uniformly)第二十五張，PPT共五十

10、一頁，創(chuàng)作于2022年6月依測(cè)度收斂: 記作注：從定義可看出， 幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂（除一零測(cè)度集外） 依測(cè)度收斂并不 指出函數(shù)列在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂，其要點(diǎn)在于誤差超過的點(diǎn)所成的集的測(cè)度應(yīng)隨n趨于無窮而趨于零，而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何第二十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月不依測(cè)度收斂依測(cè)度收斂第二十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾種收斂的區(qū)別說明：當(dāng)n越大，取1的點(diǎn)越多，故fn(x)在R+上處處收斂于1 （1）處處收斂但不依測(cè)度收斂n 在R+上處處收斂于 f(x)=1 , 所以fn(x)在R+上不依測(cè)度收斂于1，另外fn不幾乎一致收斂于1第二十八張，P

11、PT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月fn不幾乎一致收斂于f幾乎一致收斂:記作 (almost uniformly)即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂 即：去掉 測(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂 任意 （ ）適當(dāng)小小第二十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月fn不幾乎一致收斂于f即：去掉任意?。ㄟm當(dāng)小）測(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂 不幾乎一致收斂于f(x)=1n第三十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）依測(cè)度收斂但處處不收斂0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30

12、 1f20 1/8 1/4 1 f8第三十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月依測(cè)度收斂但處處不收斂 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3, 說明：對(duì)任何x(0,1 , fn(x)有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1， 一個(gè)恒為0，所以fn(x)在(0,1上處處不收斂；第三十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：函數(shù)列fn(x)=xn 在(0,1)上處處收斂到 f(x)=0,但不一致收斂， 但去掉一小測(cè)度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂收斂的聯(lián)系（葉果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn第三十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月三種收斂的聯(lián)系 即

13、：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂 幾乎處處收斂與幾乎一致收斂（葉果洛夫定理） 設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)， （即：可測(cè)函數(shù)列的收斂 “基本上”是一致收斂）即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂 第三十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月引理：設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)， 證明：由于 為零測(cè)度集， 故不妨令 fn ，f在E上處處有限，從而有：關(guān)于N 單調(diào)減小第三十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂（Lebesgue定理）設(shè)mE+，fn ，f在E

14、上幾乎處處有限且可測(cè)，第三十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 可測(cè)函數(shù)結(jié)構(gòu) Lusin定理 第三章 可測(cè)函數(shù) 第三十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可測(cè)函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù) 可測(cè)函數(shù)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限 （當(dāng)可測(cè)函數(shù)有界時(shí)，可作到一致收斂）問：可測(cè)函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限？可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測(cè)函數(shù) 第三十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月魯津定理實(shí)變函數(shù)的三條原理（J.E.Littlewood） （1）任一可測(cè)集差不多就是開集（至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并） 設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則 使得 m(E-F)0, 使得第四

15、十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)f(x)在F連續(xù)的說明說明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點(diǎn)為 內(nèi)點(diǎn)，從而可取xFi足夠小的鄰域不含其他Fi 中的點(diǎn)函數(shù)在每一塊上為常值，故在每一塊上都連續(xù)， 但函數(shù)在R上處處不連續(xù) 條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：第四十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月魯津定理的證明(2)當(dāng)f(x)為有界可測(cè)函數(shù)時(shí)， 存在簡(jiǎn)單函數(shù)列n(x) 在E上一致收斂于f(x)，由n(x) 在F連續(xù)及一致收斂于f (x) ， 易知f(x)在閉集F上連續(xù)。利用(1)的結(jié)果知第四十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月魯津定理的證明則g(x)為

16、有界可測(cè)函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果 （連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉）(3)當(dāng)f(x)為一般可測(cè)函數(shù)時(shí)，作變換第四十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注：(1)魯津定理推論魯津定理（限制定義域） （即：去掉某個(gè)小測(cè)度集，在留下的集合上連續(xù)）（在某個(gè)小測(cè)度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù)）若f(x)為 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（對(duì)n維空間也成立）則 及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)第四十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月開集的余集是閉集 閉集的余集是開集aibi直線上的開集構(gòu)造 直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè) 互不相交的開區(qū)間的并魯津定理推論證明的說明 魯津定理：設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)， 則 使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)第四十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 對(duì) E=R1 上的a.e.有限的可測(cè)函數(shù)f(x)，一定存在E上的連續(xù)函數(shù)列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E從而 令 ，即得我們所要的結(jié)果。 證明：由魯津定理的推論知再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E，第四十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)上例的說明