解析幾何31.柱面方程的建立

1、2柱面和錐面1.柱面方程的建立定義：一條直線l 沿著一條空間曲線 C 平行移動(dòng)時(shí)所形成的曲面稱(chēng)為柱面， l 稱(chēng)為母線，C 稱(chēng)為準(zhǔn)線。母線設(shè)一個(gè)柱面的母線方向?yàn)関(l) ，準(zhǔn)線(, y, z, y, z準(zhǔn)線 C 的方程為, y(yz ) 在此柱面上M 在某一條母線上。點(diǎn)0 (z0設(shè)母線與 C（準(zhǔn)線）交于，于是有F(x , y, z0G(x , y, z x x0000 u00lmn消去 xyz0 ，得(x lu(x luy muz nu) 0Fnu) 0Gymuz消去 u，得柱面方程。t tt若所給的準(zhǔn)線為 a，柱面的參數(shù)方程為： xftlumn y ga ， u+ zh2.圓柱面 點(diǎn)的柱面坐標(biāo)

2、定義：有一條對(duì)稱(chēng)軸l ，柱面上每一點(diǎn)到軸的距離都相等，稱(chēng)為圓柱面。這個(gè)距離稱(chēng)為 柱面的半徑。在與對(duì)稱(chēng)軸的垂直方向做截面，與圓柱面的交線為 ，故準(zhǔn)線可取成一個(gè)圓 C。設(shè)圓柱面的半徑 r，母線方向?yàn)?(l) 以及 柱面v的對(duì)稱(chēng)軸l0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)0 (, yz0點(diǎn)( , y z 在此圓柱面上 M 到軸l0 的距離等于 r，M 0即 r 。v圓圓圓半徑為r對(duì)稱(chēng)軸為z的圓柱面 r 2普通方程為cos sin 參數(shù)方程0 2 ,u+，） 稱(chēng) 為 點(diǎn) M三 元 數(shù) 組（的 柱 面 坐 標(biāo) 。3.柱面方程的特點(diǎn)定理：若一個(gè)柱面的母線平行于zxy軸（或軸，或軸），則它的方程中不含 z（或 x，或 y），反之一個(gè)三元

3、方程如果不含 z（或 x，或 y），則它一定表示一個(gè)母線平行于 z 軸（活 x 軸，或 y 軸）的柱面。z x 22y 1為例 1：求1： a 2b 2z 0準(zhǔn)線，母線于面z軸平行的柱Oyxx2y2 1 為準(zhǔn)線，母線于 z 軸平例 2：求：22ab2z 0行的柱面zoyxx 2 2 py3：求3 ： 例為準(zhǔn)線，母線于z 軸平行z 0的柱面zoyx通稱(chēng)為二階柱面例 4：方程( 1)2 (4)2 9 代表什么曲面？2 0 代表什么曲面？例 5：方程4.錐面方程的建立定義：在空間中，由曲線 C 上的點(diǎn)與不在 C 上的一個(gè)定點(diǎn) M 0連線組成的曲面稱(chēng)為錐面。M 0 稱(chēng)為頂點(diǎn)，C 稱(chēng)為準(zhǔn)線，C 上的點(diǎn)與

4、 M 0 的連線稱(chēng)為母線。設(shè)一個(gè)錐面的頂點(diǎn)為 M 0 (x , yz0，準(zhǔn)線 C 的方程為, y, z) 0(。, y, z頂點(diǎn)點(diǎn) M（x，y，z）在此錐面上 M 在一條母線上。1 (, z1, y0z1使得 M 1 在直設(shè)準(zhǔn)線上有一點(diǎn)線上。0 xF (,G(, z11x1于是有 yz1 得 (yu z消去,F ( xG( x0z0 )uy0 y y ( z z0 )u) 0 (z z0 )u) 0u, zy0 ( y y,)uz再消去 u 得到 x，y，z 的方程，即錐面的方程。x6z 02 y例：求頂點(diǎn)為 P0 的錐面方程。,0,1) ，準(zhǔn)線為：x y z 15.圓錐面定義：如果錐面的每一條母線與軸l 夾的銳角都相等，稱(chēng)為圓錐面。這個(gè)銳角稱(chēng)為錐面的半頂角。已知頂點(diǎn)的坐標(biāo)和軸 l 的方向向量 v 以及半頂角, 或 點(diǎn) M（x，y，z）在圓錐面上 v0, coscosv0例： 求直線 l1 ： x 1 ty t, z 2t 繞直線 l2 ：x y z 旋轉(zhuǎn)而成的曲面。圓6.錐面方程的特點(diǎn)定義：如果 F（tx，ty，tz）= t n F（x，y，z）對(duì)于任意的 x，y，z 屬于 D 及 t（ 0 ）成立，則稱(chēng) F（x，y，z=0 為 x，y，z 的 n 次方程。定理：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程是關(guān)于 x， y，z 的齊次方程。反之 x，y