橢圓、雙曲線、拋物線的等角定理與一競賽題

1、橢圓、雙曲線、拋物線的等角定理X 2已知雙曲線 y2 =1，過N（t，0）的直線l父雙曲線于A、B兩點，問是否存在X軸上的一點P，使得斜率kpA + kpB = o?3解：存在這樣的一點p （-, 0）使得題設(shè)成立方法下面通過作圖驗證基本步驟:1、在x軸上找到（t3 , 0）點，在y軸上找到（0,1）點1、連接時，以O(shè)為圓心，BD長為半徑畫圓，與X軸的交點就是E （*，0）2、分別度量B、E的縱、橫坐標(biāo)并把標(biāo)簽改成b、a,計算構(gòu)造點及軌跡&幾煎板，未命名卜 乂忤呵 WLU iiiiFlLyyisg Ssuj活函茴i_i迪j帶刖凹_ |占XA*N=-51.55.a =1.73、Xo5=1.00、

2、Z/cos(mZGOH_ 2.79、XZ/ bta1(/712GO卜9 =-1.2、XXX 0).過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M證明：點M的縱坐標(biāo)為定值；是否存在定點0使得無論AB怎樣運動，都有ZAQP = ZBQP ?證明你的結(jié)論.(2007,全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽)解：(1)略(2)方法一：假設(shè)存在這樣一點Q使得ZAQP = ZBQP成立.設(shè) A(x , j ),B(x , j ), Q(x ,y ) 1122 匕 00因為AP = BP(k 0)，所以a、P、B三點共線，且P在A、B之間故可設(shè)直線AB的方程為j = kx + 8代入拋物線方程并整理得x 2 4kx 32

3、 = 0則 x + x = 4kxx = 32所以J + J = k (x + x ) +16 = 4k 2 +16 1212y. y = (kx. + 8)(kx + 8) = 64又 ZAQP = ZBQP o tan ZAQP = tan ZBQP所以k k k kAQ PQ = PQ BQ1 + k k1 + k kAQ PQPQ BQ。k k+ k k k k k 2 = k - k+ kk2 kk kAQ PQ AQ BQ PQ BQ PQ PQ BQ AQ PQ AQ BQ BQ TOC o 1-5 h z O (k+ k) 2k+ 2k k k (k+ k)k 2= 0AQ B

4、Q PQ AQ BQ PQ AQ BQ PQo (k+ k)(1 k2) = 2k (1 k k )AQ BQ PQPQ AQ BQ而y y y y y 8 k = o, k = o, k = AQ x x BQ x x PQ x TOC o 1-5 h z 10200所以772kx x + (8 一 y 一 kx )(x + x ) 一 2(8 一 y )xk + k =1 200120 0AQ BQ(x x )(x 一 x )j j yy y(y +y) + y2 k k = 120120AQ BQ (x x )(x x )一(y 0 一8)2 +16 y 0 96)從而式可化為Lx k

5、2 + 4(8 + y )k + 2x (8 y )1 x 20I 0000=2(8 y )x ky k2 + 4x k + (x 2 y 0000004x (x2 + y 2 64)k2 + 32x2 +12y x2 4(8+y )(8y )2 k+64x (8y ) = 00000000000由k的任意性可知4x (x 2 + y 2 64) = 032x 2 +12y x 2 4(8 + y )(y 8)2 = 0 00 00064 x0(8 y0) = 0ly A 8解得J%=0 y = 80故存在點Q(0,-8)使得無論A、B怎樣運動，都有ZAQP = /BQP方法二:存在點Q（0,-8）使得無論A、B怎樣運動，都有ZAQP = ZBQP下面通過作圖驗證基本步驟： 1、畫出拋物線%2 = 4j，并找到P（0，8）,及滿足題意的任意的A、B略幾何畫板-未命名UI U. I回11t 牛（B 普回顯示 構(gòu)造 藏度量（M） 麴g勤I繪圖窗