全等三角形重要題型(手拉手模型、截長補(bǔ)短、中線倍長)

1、全等三角形重要題型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個等頂角的等腰三角形或正方形組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的模型。模型如下：例1.如圖在直線 ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形ABD與 BCE ,連結(jié)AE與CD ,證明:ABE DBC AE DCAE與DC之間的夾角為60AGBDFBEGBCFBBH 平分 AHC GF/AC變式精練1:如圖兩個等邊三角形ABD與BCE ,連結(jié)AE與CD ,證明(1) ABE DBCAE DCAE與DC之間的夾角為60AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H , BH平分 AHC變式精練 2：如圖兩個等邊三角形ABD與 BCE,連結(jié) AE與CD,證明(1) ABE DBCAE DCAE

2、與DC之間的夾角為60(4 ) AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H , BH平分 AHC例2：如圖，兩個正方形 ABCD與DEFG，連結(jié)AG,CE ,二者相交于點(diǎn)H問：(1) ADGCDE是否成立？AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度?HD是否平分 AHE ?例3：如圖兩個等腰直角三角形 ADC與EDG ,連結(jié)AG,CE ,二者相交于點(diǎn)H問：(1) ADGCDE是否成立？AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度？HD是否平分 AHE ?例4：兩個等腰三角形ABD與 BCE,其中AB BD, CB EB, ABD CBE ，連結(jié)AE與CD ,問：(1) ABEDBC是否成立？AE是否與C

3、D相等？AE與CD之間的夾角為多少度?HB是否平分 AHC?要點(diǎn)二：截長補(bǔ)短法若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí)，通?？紤]截長補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形。1、截長法：在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短法：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線 段，或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段。.如圖 2-1 , AD/ BC,點(diǎn) E在線段 AB上，/ ADEM CDE / DCEN ECB.求證：(1) CD=AD+BC.(2) AE = BE.如圖，在 ABC中，/ BAC=60 , AD是/ BAC=

4、60 的平分線，且 AC=AB+BD,求/ ABC的度數(shù)。.已知，如圖3-1 , / 1 = /2, P為BN上一點(diǎn)，且 PD BC于點(diǎn)D, AB + BC = 2 BD .求證：/ BAP廿 BCP=180 .如圖，AB= 2AC AD= BD, AD平分/ BAG 求證：AC CD.5.已知：在 ABC中，AB= AG / BAC= 90 , / ABD= / CBD CH BD 的延長線于 E.求證：BA 2CE.交AC于F.求證：BE CF.已知 CD=AB / BDA=/ BAR.在四邊形 ABCD, AB/ DG段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系EFABD第14題圖AE是ABD的中線

5、，求證：/ C=Z BAEABCEDCE為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE=Z EAF, AF與DC的延長線相交十點(diǎn) F。試探究線 ,并證明你的結(jié)論A6.如圖，AD為 ABC的中線，DE平分 BDA交AB于E, DF平分 ADCD要點(diǎn)二：中線倍長法若遇到三角形的中線或類中線（與中線有關(guān)的線段），通常考慮倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形。【例1】已知：ABC中，AM是中線.求證：AM ab AC).【練1】在 ABC中,AB 5, AC 9,則BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【練2】如圖所示，AC BC EC FC .在 ABC的AB邊上取兩點(diǎn)E、F ,使AE BF ,連接CE、CFEF【例2

6、】 如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F , AF EF , 求證：AC BE .【練1】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn)，且BE AC,延長BE交AC于F ,求證：AF EF【練2】如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF II AD交CA的延長線于點(diǎn) F ,交AB 于點(diǎn)G ,若BG CF ,求證： AD為 ABC的角平分線.【練3】如圖所示，已知 ABC中，AD平分 BACE、F 分別在 BD、AD 上.DE CDEF AC .求證：EF / AB【例3】已知BEAM為ABC的中線, CF EF .AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于F .求證:【練1】在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿足 DFE 90 .若AD 3 ,BE 4,則線段DE的長度為.【練2】在 ABC中，點(diǎn) D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn) M、N分別為 AB、AC上的點(diǎn)，且 MD ND.(1)若 A 90 ,以線段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三 角形、直角三角形或鈍角三角形？(2)如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2 ,求證 AD2 1 AB2 AC24例4 AB, E為AB的中點(diǎn)，連接CE、CD