電動力學(xué)高教第三版5精品課件

1、難點 矢勢的展開和電偶極輻射公式的導(dǎo)出1、電磁場的矢勢和標勢的引入、規(guī)范不變性 2、達朗貝爾方程，推遲勢及其物理意義3、矢勢的展開和電偶極輻射 主要內(nèi)容第五章 電磁波的輻射引言 變化的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。電磁場以波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。 本章主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射。一. 電磁輻射 與靜電場引入電勢、靜磁場引入標勢相似，為了便于求解普適的場方程，在變化情況下仍然可以引入勢的概念。但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標勢與靜場情況有很大的不同。二. 引入矢勢和標勢求解電磁輻射問題 變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場，電磁場又反過來影響電荷、電

2、流分布。空間電磁場的分布就是在這一對矛盾相互制約下形成的。變化的電荷電流分布一般具有邊界，因此在求解時要考慮它們的邊界條件和邊值關(guān)系。但是，一般情況下這種的邊界很復(fù)雜，使得電荷、電流分布無法確定，因此使得求解問題無法進行。在本章我們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問題。三輻射問題的本質(zhì)也是邊值問題5.1 電磁場的矢勢和標勢 本節(jié)從電磁場滿足的麥克斯韋方程出發(fā)引入矢勢、標勢，然后討論電磁輻射問題（僅討論均勻介質(zhì)）。 由于 ，與靜磁場相同，可以引入矢量勢函數(shù)（矢勢） ，使得一用勢描述電磁場（1）矢勢的引入注意： 與靜磁場不同，引入的矢勢與時間有關(guān)； 意義與靜磁場情況相同，即： 在變化電磁場情況，

3、，不能象靜電場那樣直接引入標量勢函數(shù)。（2）標勢的引入引入標量勢函數(shù)二規(guī)范變換和規(guī)范不變性與靜場相同，對于給定的電磁場其矢勢和標勢不唯一，可以有不同的矢勢和標勢描述同一個電磁場。1矢勢和標勢的不唯一性規(guī)范：給定一組 稱為一種規(guī)范；2規(guī)范變換兩種規(guī)范間變換關(guān)系：規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。 和 對應(yīng)同一個電磁場規(guī)范不變性：在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動力學(xué)方程保持不變的性質(zhì)。規(guī)范場：具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。當勢作規(guī)范變換時，場量E、B均保持不變，即場具有“規(guī)范不變性”。場量E、B不變意味著電磁場中所有物理量和物理規(guī)律都保持不變，也就是說，“客觀規(guī)律與勢的特殊規(guī)范選擇無關(guān)

4、”。經(jīng)典電動力學(xué)中，勢是作為描述電磁場的一種方法而引入的，規(guī)范不變性是對這種描述方法所加的要求，而在量子力學(xué)中，規(guī)范不變性是一條重要的原理，因而勢的地位遠比在經(jīng)典電動力學(xué)中重要。不僅在電磁相互作用中，而且在其它基本相互作用中，規(guī)范不變性是決定相互作用形式的一條基本原理。傳遞這些相互作用的場稱為“規(guī)范場”，電磁場是人們熟知的一種較為簡單的規(guī)范場。 為了減少勢函數(shù)選取的任意性，對 的取值加以限制，作為確定勢的輔助條件稱為規(guī)范的條件。在不同的問題中可采用不同的輔助條件。 庫侖規(guī)范規(guī)范條件：3兩種規(guī)范 在庫侖規(guī)范下，電場表達式中 為橫場， 縱場。因此，電場的橫場部分完全由 決定，而縱場部分則完全由 決

5、定。在這種情況下， 由電荷的瞬時分布求解，與靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。庫侖規(guī)范下 滿足的方程：證明： 洛侖茲規(guī)范規(guī)范條件：后面將看到洛侖茲規(guī)范下， 所滿足的方程具有高度的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)變性，有很重要的理論意義。洛侖茲規(guī)范下 滿足的方程：證明：將 ， 代入麥克斯韋方程三達朗貝爾方程1 真空中的勢函數(shù)滿足的方程并利用：得到勢函數(shù)滿足的方程可見 滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的 在時刻 的值由電荷在時刻 的分布給出，其解為庫侖勢。2 庫侖規(guī)范下的勢函數(shù)方程3洛侖茲規(guī)范下的勢函數(shù)方程以上方程稱為達朗貝爾方程洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它們求出的

6、 及 均為波動形式，反映了電磁場的波動性。 反映了電磁場的波動性 兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立求出一個解，另一個解就迎刃而解。在下一節(jié)我們將看到，洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需要時間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。例：求單色平面電磁波的勢。洛侖茲規(guī)范下：單色平面電磁波在沒有電荷，電流分布的自由空間中傳播，因而洛侖茲規(guī)范下的勢方程（達朗貝爾方程）變?yōu)辇R次波動方程：其平面波解為：（A0、0為常數(shù)）則由洛侖茲規(guī)范：電場和磁場為：即使對A加上任意縱向部分A ，也不會影響E、B的值 這說明對平面波，即使有洛倫茲條件后，A和仍非唯一確定

7、，還剩下一些規(guī)范變換自由度。對此規(guī)范自由度，我們可選擇最簡單的規(guī)范條件，即取A只有橫向部分A， （垂直于波矢量k ）此時有：自由空間的平面波電磁場只依賴于矢勢A的橫向分量A則上式表明，實際上只要給定A，就可確定單色平面電磁波。若采用庫侖規(guī)范條件 ，自由空間中勢方程為：當全空間沒有電荷分布時，庫侖場的標勢 =0，則矢勢：將A代入庫侖規(guī)范，得到庫侖規(guī)范下A的勢方程仍是齊次波動方程，其解的形式為：上式說明，A只取橫向分量A = A即可以上說明，取庫侖規(guī)范后，A只有橫向部分A = A ，縱向部分A 為零。通過上面的例子可看到：庫侖規(guī)范的特點是：標勢描述庫侖作用，可直接由電荷分布求出；矢勢A只取橫向分量

8、即可，恰好足夠描述輻射電磁波的兩種獨立偏振。場量只依賴于矢勢A就可算出。洛侖茲規(guī)范的特點是：標勢和矢勢A構(gòu)成的勢方程具有對稱性。矢勢A的縱向部分和標勢的選擇還可有任意性，即存在多余的自由度。 盡管如此，洛侖茲規(guī)范在相對論中顯示出協(xié)變性，為后面四維空間電磁場矢勢與標勢的統(tǒng)一，以及理論探討和實際計算都提供了很大方便。因此，本書以后都采用洛侖茲規(guī)范。方程中 為已知。若 較復(fù)雜，直接得到一般解比較困難。本節(jié)先從一個點電荷出發(fā)，然后由迭加原理得到解。一. 標勢和矢勢滿足的達朗貝爾方程的解標勢的達朗貝爾方程1. 點電荷在空間激發(fā)的標勢設(shè)點電荷處于原點， ，該電荷輻射的勢滿足5.2推遲勢考慮對稱性取球坐標，

9、且 與 無關(guān)。標勢的達朗貝爾方程化為：令 這類似于一維波動方程，其解可以表示為： 當 時，代表向外傳播的球面波代表向內(nèi)收斂的球面波與點電荷電勢類比有：由于討論輻射問題若點電荷不在原點而在空間 點：可以證明上述解的形式滿足式2. 連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢3. 矢勢 的解 由于 滿足的方程形式上與 滿足的方程一樣，類比得到 的解：二. 證明 、 滿足洛侖茲條件證：令0電荷守恒定律1推遲勢 勢函數(shù)在空間 點， 時刻的值依賴于 時刻的電荷、電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了 。具有這樣特性的勢稱為推遲勢。三推遲勢及其物理意義 空間點 ， 時刻的電磁場由 時刻的電荷、電流分布決定。也就是說電荷

10、、電流產(chǎn)生的物理作用在經(jīng)歷了時間 后才到達觀察點，即場的傳遞需要時間，而相互作用的傳播速度在真空中為C。 2電磁相互作用需要時間5.3 電偶極輻射 本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運動，且電荷體系線度遠遠小于電荷到觀測點的距離的情況。電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。計算輻射場的一般計算公式若電流是一定頻率的交變電流當電流分布給定時，計算輻射場的基礎(chǔ)是推遲勢：上式表示一種時諧波。與穩(wěn)恒電流磁場相比，A(x)附加了一個因子e ikr ，稱為推遲相因子，它表示電磁波傳到場點時有相位滯后kr。由

11、洛侖茲條件，可求出標勢 ：由此可見，由矢勢A可完全確定電磁場?；蛴呻姾墒睾愣?，對一定頻率的交變電流情形有：這時電磁場也是時諧電磁場：矢勢的展開式展開需注意三個線度：在電流、電荷分布區(qū)域以外， =J =0電荷分布區(qū)域的線度l ，它決定積分區(qū)域內(nèi) 的大小波長 =2/k 的線度源區(qū)到場點的距離 r感應(yīng)區(qū)（過渡區(qū)）：r ，電磁場的行為很復(fù)雜，一般不詳細研究這一區(qū)域。本節(jié)研究小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。所謂小區(qū)域是指： l ，l ，電磁波脫離了場源后的傳播區(qū)域，通常接收電磁波的地方離發(fā)射系統(tǒng)很遠，這類問題屬于遠場，我們主要討論這一區(qū)域。這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場與靜場性質(zhì)類似。近場區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）：遠場矢勢的一般展開式選坐標原點在電流分布區(qū)域內(nèi)，則 與l 同數(shù)量級。由圖可知：因為 ，所以分母中的 可以舍去，但是要注意，相因子中的 不能輕易舍去。原因：電偶極輻射近似公式可以僅取積分中的第一項，有：電偶極輻射公式展開式各項對應(yīng)于各級電磁多極輻射。電偶極輻射的電場強度和磁感應(yīng)強度考慮遠區(qū)條件 ， ，即 ， 在 條件下偶極輻射的磁感應(yīng)強度為：所以有：相當于利用選球坐標，讓 沿 軸，則：討論：（1）電場沿經(jīng)線振蕩，磁場沿緯線振蕩，傳播方向、