高三數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和蘇教版

1、高三數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和蘇教版【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和 二.教學(xué)要求：掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法與數(shù)列前n項(xiàng)和的求法。能通過轉(zhuǎn)化的思想把非等差數(shù)列與非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為兩類基本數(shù)列來研究其通項(xiàng)與前n項(xiàng)的和。三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，及其通項(xiàng)公式的求法。難點(diǎn)：轉(zhuǎn)化的思想以及轉(zhuǎn)化的途徑。四.基本內(nèi)容及基本方法1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法有：觀察法、公式法、待定系數(shù)法、疊加法、疊乘法、Sn法、輔助數(shù)列法、歸納猜想法等；(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出它的一個通項(xiàng)公式，關(guān)鍵在于找出這些項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的 關(guān)系，常用的方法有觀察法、通項(xiàng)法，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列法等.(2)

2、由Sn求an時，用公式an = Sn-Sn 1要注意n2這個條件，ai應(yīng)由ai=Si來確定， 最后看二者能否統(tǒng)一.(3)由遞推公式求通項(xiàng)公式的常見形式有：an+1 an= f ( n),亙士 =f(n), an+l= panan+ q,分別用累加法、累乘法、迭代法(或換元法)2、數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)數(shù)列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序 求和法等。求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法：(2)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式：Sn= = (3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q = 1時，Sn=.當(dāng)qw1時，Sn=.(4)倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加.主要用于倒

3、序相加后對應(yīng)項(xiàng) 之和有公因子可提的數(shù)列求和.(5)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.(6)裂項(xiàng)求和法：把一個數(shù)列分成幾個可直接求和的數(shù)列.方法歸納：求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”。其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的方哥和，從而可用基本求和公式； 其二是消項(xiàng)，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項(xiàng)的和。對通項(xiàng)中含有(1)”的數(shù)列，求前n項(xiàng)和時，應(yīng)注意討論 n的奇偶性。倒序相加和錯位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和用到的方法，在復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視?！镜湫屠}】例1.已知數(shù)列an, a =5,an =2an+3(n2),證明數(shù)列an +3是等

4、比數(shù)列，并求an的表達(dá)式。證明：an =2an1+3(n 22 ), . an +3=2(an+3)假設(shè)存在某個an +3=0 ,則可以推出與 a1 +3=0矛盾。an +-是等比數(shù)列。an - 3 =聞 3 2n,：an =2n，2 3。例 2.在數(shù)列an中，a1 =1,( n+1) an41=n an ,求 an 的表達(dá)式。an 1 ni (n 1)an 1 =阿=二- an n 1a2a3andan12-2-11. an = a1 JI |=1 , 二 一a1a2anNanJl2 3n-1 n n例3.已知下列兩數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的公式，求an的通項(xiàng)公式。(1)Sn =n3 +n-1

5、。 Sn =n2 1(1)解；,芭=才+用-1二/= 1 1&二又一工-，=5 + 料-S -1)- 1) = 3- -3” 2口= D一 137-3H+ZS 之 2且依 暖葡)(2)解門容獻(xiàn)-I flAq=s=CL1=3“ - -i=(a-i) -2-1Jog 1)*兩(理之2且并陽一例4.設(shè)數(shù)列cn的各項(xiàng)是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的和，若C1=2,02=4, C3=7,C4=12,求通項(xiàng)公式 Cn解：設(shè) cn = a (n - 1)d bqn 4 TOC o 1-5 h z a+b=2q=2a +d +bq =4 d =1n 12-: g = n 2 一a 2d bq =7b =

6、1a 3d bq3 =12a =1例 5.(天津文 20)在數(shù)列an中，a1=2, an4 = 4an3n+ 1, nw N(I)證明數(shù)列an n是等比數(shù)列；(ID求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn ；(I)證明：由題設(shè)an書=4an -3n+1,得 *an書(n +1)=4(an n) , n= N .又a 1=1,所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)歹U.(II)解：由(I)可知ann=4n,，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n TOC o 1-5 h z an =4+n.4n 7 n(n 1) HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 所以數(shù)列taj的前n

7、項(xiàng)和8n =+-32例。已知數(shù)列：1,仁j, 1144/MqWi前n項(xiàng)的和8n.1解：an= 1 + 一 211 一尸121 =2 1 - 2n.an=2- 0則原數(shù)列可以表示為：(2 1)2 - ； 2 -1 ；t 2/(22 .?前 n項(xiàng)和&= (21) +(2-12=2n 1 +- +4 卡+-2 222n1= 2n-2212=2n-21+例7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和 (1)求證：an為等差數(shù)歹U； (2)求Sn的最小值及相應(yīng)的_2Sn= n 9n.n;(3)記數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的表達(dá)式。解：(1) n = 1 時，ai = Si = - 8n2 時，an= Sn Sn

8、 1 = 2n 10 an= 2n 10an+1 an = 2814，an是等差數(shù)列.Sn= n2 9n = ( n - 9 ) 22當(dāng)n=4或n=5時，Sn有最小值20.an=2n10 . | an |= | 2n 10 |令 an0 : n5 當(dāng) nW4 時，| an |=102n丁產(chǎn) n(8 書0-2n) =_n249n ,當(dāng) nA 5 時， 2Tn = 一 a1一 a2 一 a3 a4 + a+ a6+ an=(a1+a2+ an) 一 (a1+a2+a3+a4)= Sn 2s4= n2 9n 2X (20) =n29n+40 TOC o 1-5 h z 2 _ . Tn= n +9n

9、n 42.n 9n +40 n 之5例8.求數(shù)列1,1+2,1+2+22,川|1+2+22| + 2n的前99項(xiàng)的和。解：；1 2 22 2n=2n -1.1 (1 2) (1 2 22)川川(1 2 22| 2n。二(21 -1) - (22 -1) III (2n -1)=(21 22 III 2n)-n2n1 -n-2.數(shù)列 1,1 +2,1 +2 +22, |川|1+2+22|+23的前 99 項(xiàng)的和為 210O-101。一 ,1 3 5 7 一例9.試求, ,111HI的前n項(xiàng)和。2 4 8 16初 c 13 5 一 2n 1斛：Sn =- - -.2 4 821c1 3 5 Sn

10、= , - I24 8 162n -1(2).111111(1) (2)得& =+2(| J)2248162n2n -1Sn =32n 32n 1例 10. (1)求和+L| +_J1 3 3 5 5 7(2n -1)(2n 1)(2)已知通項(xiàng)an= 求前n項(xiàng)和。,n ,- -.in 1小一，1111(1)解：，： =(-)(2n -1)(2n 1) 2 2n -1 2n 1(2n -1)(2 n 1)12n 1n2n 1(2) 7 an.S =(、，- 彳)(、3 - 一2) III (一一 - 二)=. n-d-1.例11.已知函數(shù)f (X) =(X1) 2,數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，

11、數(shù)列bn是公比為 q 的等比數(shù)列(qw1),若 a1 = f (d 1), a3=f (d+1), b1 = f (q 1), b3=f (q+1),(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式； 設(shè)數(shù)列cn對任意的自然數(shù)n均有：c1 +c2 +L+Cn =(n+1)an平，求數(shù)列cn的前n b1 b2bn項(xiàng)和Sn.解：(1) a1= (d 2) 2, a3=d2, a3-a1 = 2d即 d2 (d 2) 2=2d,解之得 d=2a1 = 0, an= 2 (n 1)又 b1= (q 2)之，區(qū)=/, b3=b1q2即 q2= (q 2) 2 q2,解之得 q = 31- b1 = 1, bn= 3n

12、 1(2) cn =(n 1)an 1-nan =4n, a =4n 3n4 bnSn=C1 + C2+C3+-+ Cn=4 (1 X 30+2X31 + 3X 32+ nx 3 廣1)設(shè) Sn =1X30+2X 31+3X32+ nx 3 n 13Sn =1 x 31+ 2X 32 + 3X 33+ nx 31(3n -1)-2Sn =1 + 3 + 32+ 33+ 3 亡1 nX3n= -2-3 n - nSn q 3n -Sn= 2n ,3n _143n-3n+ 1【模擬試題】12341.數(shù)列，, 的通項(xiàng)公式是 234510. 、： (3 - 2k)= k 4.數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn

13、 =10n n2 ,則數(shù)列|an )的前20項(xiàng)和為.已知數(shù)列an , a1 =1,an =an1+ n(n之2),則an的通項(xiàng)公式為 5.設(shè)Sn =1 +1 +U| +1 且Sn 8n+=,則n的值為 2 6 12 n(n 1)46.，一. 11求數(shù)列1, ,一1一川IM12 12 3的前n項(xiàng)和。7.8.9.數(shù)列an的前 n項(xiàng)和 Sn =2n -1 ,則 a12 +a22 +IHan2一個數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn =12+34 +用+(1尸n貝U 7十S33+S50 =數(shù)列 1,2 3,4 7 ,61511HH的前n項(xiàng)和為 1610.求和：Sn二1 2x 3x2 IH nxn J11.設(shè) f (x)

14、 =一一4x.已知 f (x) =-, an 4x 2.已知數(shù)列an是公差為列，若函數(shù)f (x) = (x 1 )一二利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的公式的方法，可求得2x ,2f (-5) +f (Y) +|f (0) +| + f (5) + f (6)的值為n*=f(), n=N ，求：a+a2+22007 的值。2008d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q (qC R且qw1)的等比數(shù)2，且 a1 = f (d1), a3= f (d+1), b = f ( q+1), b3= f (q1),求數(shù)列 a 口和 b n的通項(xiàng)公式。nan =(-1)2076250a n(n 1f. an 一25. 66.解:an12 3 川 n n(n 1)1 =2(nn1,Sn1,2 n 1 2n 22007(2008 )產(chǎn) ，a1 =(d _,1 -1)13、解：1 Ja3=(d 1-1)! a1 = 0 -=an = 2n -2.d =220072nJ3121n n -12解；當(dāng)工=附，= 1.當(dāng)工=