高三數學數列通項與數列求和蘇教版

1、高三數學數列通項與數列求和蘇教版【本講教育信息】一.教學內容：數列通項與數列求和 二.教學要求：掌握數列的通項公式的求法與數列前n項和的求法。能通過轉化的思想把非等差數列與非等比數列轉化為兩類基本數列來研究其通項與前n項的和。三.教學重點、難點：重點：等差數列與等比數列的求和，及其通項公式的求法。難點：轉化的思想以及轉化的途徑。四.基本內容及基本方法1、求數列通項公式的常用方法有：觀察法、公式法、待定系數法、疊加法、疊乘法、Sn法、輔助數列法、歸納猜想法等；(1)根據數列的前幾項，寫出它的一個通項公式，關鍵在于找出這些項與項數之間的 關系，常用的方法有觀察法、通項法，轉化為特殊數列法等.(2)

2、由Sn求an時，用公式an = Sn-Sn 1要注意n2這個條件，ai應由ai=Si來確定， 最后看二者能否統(tǒng)一.(3)由遞推公式求通項公式的常見形式有：an+1 an= f ( n),亙士 =f(n), an+l= panan+ q,分別用累加法、累乘法、迭代法(或換元法)2、數列的前n項和(1)數列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序 求和法等。求數列的前n項和，一般有下列幾種方法：(2)等差數列的前 n項和公式：Sn= = (3)等比數列的前n項和公式：當q = 1時，Sn=.當qw1時，Sn=.(4)倒序相加法：將一個數列倒過來排列與原數列相加.主要用于倒

3、序相加后對應項 之和有公因子可提的數列求和.(5)錯位相減法：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和.(6)裂項求和法：把一個數列分成幾個可直接求和的數列.方法歸納：求和的基本思想是“轉化”。其一是轉化為等差、等比數列的求和，或者轉化為求自然數的方哥和，從而可用基本求和公式； 其二是消項，把較復雜的數列求和轉化為求不多的幾項的和。對通項中含有(1)”的數列，求前n項和時，應注意討論 n的奇偶性。倒序相加和錯位相減法是課本中分別推導等差、等比數列前n項和用到的方法，在復習中應給予重視?！镜湫屠}】例1.已知數列an, a =5,an =2an+3(n2),證明數列an +3是等

4、比數列，并求an的表達式。證明：an =2an1+3(n 22 ), . an +3=2(an+3)假設存在某個an +3=0 ,則可以推出與 a1 +3=0矛盾。an +-是等比數列。an - 3 =聞 3 2n,：an =2n，2 3。例 2.在數列an中，a1 =1,( n+1) an41=n an ,求 an 的表達式。an 1 ni (n 1)an 1 =阿=二- an n 1a2a3andan12-2-11. an = a1 JI |=1 , 二 一a1a2anNanJl2 3n-1 n n例3.已知下列兩數列an的前n項和Sn的公式，求an的通項公式。(1)Sn =n3 +n-1

5、。 Sn =n2 1(1)解；,芭=才+用-1二/= 1 1&二又一工-，=5 + 料-S -1)- 1) = 3- -3” 2口= D一 137-3H+ZS 之 2且依 暖葡)(2)解門容獻-I flAq=s=CL1=3“ - -i=(a-i) -2-1Jog 1)*兩(理之2且并陽一例4.設數列cn的各項是一個等差數列與一個等比數列對應項的和，若C1=2,02=4, C3=7,C4=12,求通項公式 Cn解：設 cn = a (n - 1)d bqn 4 TOC o 1-5 h z a+b=2q=2a +d +bq =4 d =1n 12-: g = n 2 一a 2d bq =7b =

6、1a 3d bq3 =12a =1例 5.(天津文 20)在數列an中，a1=2, an4 = 4an3n+ 1, nw N(I)證明數列an n是等比數列；(ID求數列an的前n項和Sn ；(I)證明：由題設an書=4an -3n+1,得 *an書(n +1)=4(an n) , n= N .又a 1=1,所以數列ann是首項為1,且公比為4的等比數歹U.(II)解：由(I)可知ann=4n,，于是數列an的通項公式為n TOC o 1-5 h z an =4+n.4n 7 n(n 1) HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 所以數列taj的前n

7、項和8n =+-32例。已知數列：1,仁j, 1144/MqWi前n項的和8n.1解：an= 1 + 一 211 一尸121 =2 1 - 2n.an=2- 0則原數列可以表示為：(2 1)2 - ； 2 -1 ；t 2/(22 .?前 n項和&= (21) +(2-12=2n 1 +- +4 卡+-2 222n1= 2n-2212=2n-21+例7.已知數列an的前n項和 (1)求證：an為等差數歹U； (2)求Sn的最小值及相應的_2Sn= n 9n.n;(3)記數列 an 的前n項和為Tn,求Tn的表達式。解：(1) n = 1 時，ai = Si = - 8n2 時，an= Sn Sn

8、 1 = 2n 10 an= 2n 10an+1 an = 2814，an是等差數列.Sn= n2 9n = ( n - 9 ) 22當n=4或n=5時，Sn有最小值20.an=2n10 . | an |= | 2n 10 |令 an0 : n5 當 nW4 時，| an |=102n丁產 n(8 書0-2n) =_n249n ,當 nA 5 時， 2Tn = 一 a1一 a2 一 a3 a4 + a+ a6+ an=(a1+a2+ an) 一 (a1+a2+a3+a4)= Sn 2s4= n2 9n 2X (20) =n29n+40 TOC o 1-5 h z 2 _ . Tn= n +9n

9、n 42.n 9n +40 n 之5例8.求數列1,1+2,1+2+22,川|1+2+22| + 2n的前99項的和。解：；1 2 22 2n=2n -1.1 (1 2) (1 2 22)川川(1 2 22| 2n。二(21 -1) - (22 -1) III (2n -1)=(21 22 III 2n)-n2n1 -n-2.數列 1,1 +2,1 +2 +22, |川|1+2+22|+23的前 99 項的和為 210O-101。一 ,1 3 5 7 一例9.試求, ,111HI的前n項和。2 4 8 16初 c 13 5 一 2n 1斛：Sn =- - -.2 4 821c1 3 5 Sn

10、= , - I24 8 162n -1(2).111111(1) (2)得& =+2(| J)2248162n2n -1Sn =32n 32n 1例 10. (1)求和+L| +_J1 3 3 5 5 7(2n -1)(2n 1)(2)已知通項an= 求前n項和。,n ,- -.in 1小一，1111(1)解：，： =(-)(2n -1)(2n 1) 2 2n -1 2n 1(2n -1)(2 n 1)12n 1n2n 1(2) 7 an.S =(、，- 彳)(、3 - 一2) III (一一 - 二)=. n-d-1.例11.已知函數f (X) =(X1) 2,數列an是公差為d的等差數列，

11、數列bn是公比為 q 的等比數列(qw1),若 a1 = f (d 1), a3=f (d+1), b1 = f (q 1), b3=f (q+1),(1)求數列an, bn的通項公式； 設數列cn對任意的自然數n均有：c1 +c2 +L+Cn =(n+1)an平，求數列cn的前n b1 b2bn項和Sn.解：(1) a1= (d 2) 2, a3=d2, a3-a1 = 2d即 d2 (d 2) 2=2d,解之得 d=2a1 = 0, an= 2 (n 1)又 b1= (q 2)之，區(qū)=/, b3=b1q2即 q2= (q 2) 2 q2,解之得 q = 31- b1 = 1, bn= 3n

12、 1(2) cn =(n 1)an 1-nan =4n, a =4n 3n4 bnSn=C1 + C2+C3+-+ Cn=4 (1 X 30+2X31 + 3X 32+ nx 3 廣1)設 Sn =1X30+2X 31+3X32+ nx 3 n 13Sn =1 x 31+ 2X 32 + 3X 33+ nx 31(3n -1)-2Sn =1 + 3 + 32+ 33+ 3 亡1 nX3n= -2-3 n - nSn q 3n -Sn= 2n ,3n _143n-3n+ 1【模擬試題】12341.數列，, 的通項公式是 234510. 、： (3 - 2k)= k 4.數列 an的前n項和為Sn

13、 =10n n2 ,則數列|an )的前20項和為.已知數列an , a1 =1,an =an1+ n(n之2),則an的通項公式為 5.設Sn =1 +1 +U| +1 且Sn 8n+=,則n的值為 2 6 12 n(n 1)46.，一. 11求數列1, ,一1一川IM12 12 3的前n項和。7.8.9.數列an的前 n項和 Sn =2n -1 ,則 a12 +a22 +IHan2一個數列的前n項和Sn =12+34 +用+(1尸n貝U 7十S33+S50 =數列 1,2 3,4 7 ,61511HH的前n項和為 1610.求和：Sn二1 2x 3x2 IH nxn J11.設 f (x)

14、 =一一4x.已知 f (x) =-, an 4x 2.已知數列an是公差為列，若函數f (x) = (x 1 )一二利用課本中推導等差數列前 n項和的公式的方法，可求得2x ,2f (-5) +f (Y) +|f (0) +| + f (5) + f (6)的值為n*=f(), n=N ，求：a+a2+22007 的值。2008d的等差數列，數列bn是公比為q (qC R且qw1)的等比數2，且 a1 = f (d1), a3= f (d+1), b = f ( q+1), b3= f (q1),求數列 a 口和 b n的通項公式。nan =(-1)2076250a n(n 1f. an 一25. 66.解:an12 3 川 n n(n 1)1 =2(nn1,Sn1,2 n 1 2n 22007(2008 )產 ，a1 =(d _,1 -1)13、解：1 Ja3=(d 1-1)! a1 = 0 -=an = 2n -2.d =220072nJ3121n n -12解；當工=附，= 1.當工=