空間夾角和距離的計算.課件

1、第7課時空間夾角和距離的計算1利用空間向量證明空間中的位置關系若直線l，l1，l2的方向向量分別為v，v1，v2，平面，的法向量分別為n1，n2，利用向量證明空間中平行關系與垂直關系的基本方法列表如下：平行垂直直線與直線l1l2v1v2v1v2(為非零實數(shù))l1l2v1v2v1v20直線與平面(1)lvn1vn10(2)lvxayb其中a，b為平面內(nèi)不共線向量，x，y均為實數(shù)lvn1vn1(為非零實數(shù))平面與平面n1n2n1n2(為非零實數(shù))n1n2n1n202.利用空間向量求空間角(1)直線間的夾角當兩條直線l1與l2共面時，我們把兩條直線交角中不超過90的角叫做當直線l1與l2是異面直線時

2、，在直線l1上任取一點A作ABl2，我們把直線l1和直線AB的夾角叫做 其夾角.兩直線的夾角異面直線l1與l2的夾角(2)平面間的夾角兩個平面所成的二面角的平面角的大小就是這其夾角0，平面1和2的法向量為n1和n2，MRN為兩個平面二面角的平面角，它由n1，n2確定s1，s2 s1，s2 兩個平面的夾角n1，n2 n1，n2 (3)直線與平面的夾角平面外一條直線與它在平面內(nèi)的夾角叫做該直線與此平面的夾角其夾角 .已知直線的方向向量s與平面的法向量n，當s，n時，則=；當s，n時，則.投影3利用空間向量求空間距離(1)空間一點A到直線l的距離的算法框圖如圖d . (2)空間一點A到平面的距離的算

3、法框圖如圖d . 1已知平面內(nèi)有一個點M(1，1,2)，平面的一個法向量為n(6，3,6)，則下列點P中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案：A2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A45 B135C45或135 D90答案：C答案：C答案：45如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，則二面角C1ABC的余弦值為_利用向量的夾角來求異面直線的夾角時，注意區(qū)別：當異面直線的向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的

4、夾角(2010天津卷)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明：AF平面A1ED.利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角【變式訓練】2.如圖(1)，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2.將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖(2)所示(1

5、)求證：BC平面ACD；(2)求BC與平面ABD所成角的正弦值利用空間向量方法求二面角，可以有兩種辦法：一是分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。欢峭ㄟ^平面的法向量來求：設二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)【注意】利用空間向量方法求二面角時，注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱垂直于底面， BAC90，ABAA12，AC1，M、N分別 是A1B1、BC的中點(1)證明：MN平面ACC1A1；(2)求二面角MANB的余弦值解析：依條件可知

6、AB、AC、AA1兩兩垂直，如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系Axyz.【變式訓練】3.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1，(1)證明：ABAC；(2)設二面角ABDC為60，求B1C與平面BCD所成的角的大小利用空間向量解決探索性問題，它無需進行復雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問題的解決更簡單、有效、應善于運用這一方法 如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BCAC2，D為AC的中點(1)求證

7、：AB1面BDC1；(2)若AA13，求二面角C1BDC的余弦值；(3)若在線段AB1上存在點P，使得CP面BDC1，試求AA1的長及點P的位置解析：(1)證明：如圖，連結B1C，交BC1于點O，連結OD，則O為B1C的中點，D為AC中點，ODAB1，又AB1平面BDC1，OD平面BDC1，AB1平面BDC1.(2)AA1平面ABC，BCAC，AA1CC1，CC1平面ABC，則BC平面AA1C1C，CC1AC.如圖，建立空間直角坐標系，則C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)，1用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進

8、行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關系；(3)根據(jù)運算結果的幾何意義來解釋相關問題2若利用向量求角，各類角都可以轉化為向量的夾角來運算(1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.(2)求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n2從近兩年的高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點，題型主要為解答題，難度屬于中等偏高，主要考查向量的坐標運算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角等，同時注重考查學生空間想象能力、運算能力【閱后報告】本題考查了面面垂直及直線PB和平面PCD所成的角，求空間角的主要方法是利用空間坐標系，求解時應注意向量的夾角并不一定是所求空間角，應結合圖形的特點來確定解析：(1)如圖所示，以A為坐標原點，射線AB、AD、AP分別為