高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題09 函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用（解析版）

1、專題09函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用 【方法技巧與總結(jié)】1.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).【題型歸納目錄】題型一：零點(diǎn)問(wèn)題之一個(gè)零點(diǎn)題型二：零點(diǎn)問(wèn)題之二個(gè)零點(diǎn)題型三：零點(diǎn)問(wèn)題之三個(gè)零點(diǎn)題型四：零點(diǎn)問(wèn)題之max，min問(wèn)題題型五：零點(diǎn)問(wèn)題之同構(gòu)法題型六：零點(diǎn)問(wèn)題之零點(diǎn)差問(wèn)題題型七：零點(diǎn)問(wèn)題之三角函數(shù)題型

2、八：零點(diǎn)問(wèn)題之取點(diǎn)技巧【典例例題】題型一：零點(diǎn)問(wèn)題之一個(gè)零點(diǎn)例1已知，函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（1）由題可知：，令當(dāng)，此時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為（2）由題可得：（a）；由（1）可得：當(dāng)時(shí)，所以僅在有一個(gè)零點(diǎn)，滿足要求；當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足要求；當(dāng)時(shí)，又在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則（a），即，綜上，若在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍時(shí)例2已知函數(shù)（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試討論的單調(diào)性；（2）若在上

3、有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（1），是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在遞增綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在遞增（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有唯一解，令，令，可得或時(shí)，時(shí)，時(shí)，在遞增，在，遞減，且時(shí)，時(shí)，或，或所以，的取值范圍，例3已知函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，；，【解答】解：（），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，可得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時(shí)， 且等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)

4、遞減綜上所述：當(dāng) 時(shí)， 在上單調(diào)遞減；在上 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， 在， 和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， 在和， 上單調(diào)遞增；在， 上單調(diào)遞減（）證明：若選，由 （）知， 在上單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減， 上 單調(diào)遞增注意到 在 上有一個(gè)零點(diǎn)；，由 得，當(dāng) 時(shí)，此時(shí) 無(wú)零點(diǎn)綜上： 在 上僅有一個(gè)零點(diǎn)另解：當(dāng)，時(shí)，有，而，于是，所以在沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，于是，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，命題得證若選，則由（）知：在， 上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，此時(shí) 無(wú)零點(diǎn)當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，注意到，取，又易證，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)綜上： 在 上有唯一零點(diǎn)題型

5、二：零點(diǎn)問(wèn)題之二個(gè)零點(diǎn)例4已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（1）由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得或，若，則恒成立，即有在上遞增；若時(shí)，由，可得或；由，可得；即有在，遞增，在，遞減；若，由，可得或；由，可得即有在，遞增；在，遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上遞增；時(shí)，在，遞增，在，遞減；時(shí)，在，遞增；在，遞減（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增，且（1），（2），故在上存在1個(gè)零點(diǎn)，取滿足，且，則（b），故在是也存在1個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，在遞增，不

6、存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，在遞增，又當(dāng)時(shí)，不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)增，在，遞減，在，遞增，極大值（1），故不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為例5已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由于，且，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存

7、在唯一零點(diǎn)，由于，且（由于，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為例6已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（1），時(shí)，則時(shí)，在遞減，時(shí)，在遞增，當(dāng)時(shí)，由得，若，則，故在遞增，若，則當(dāng)或時(shí)，時(shí)，故在，遞增，在遞減；綜上：時(shí)，在遞減，在遞增，時(shí)，在，遞增，在遞減；時(shí)，在遞增；（2）時(shí)，在遞增，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在，遞增，遞減，故當(dāng)時(shí)，取極大值，極大值為，此時(shí)，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，僅有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，故，有2個(gè)零點(diǎn)，解得：，而（1），取，則（b），故在，各有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，的取值范圍

8、是，題型三：零點(diǎn)問(wèn)題之三個(gè)零點(diǎn)例7已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）若方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，當(dāng)時(shí)，所以無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值（2）設(shè)，即，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多有兩個(gè)零點(diǎn)若，則，（僅（1），單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)若，則，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立由（1），得，這與矛盾，所以不可能有三個(gè)零點(diǎn)若，則當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，由（1），得，由及，得，并且，當(dāng)時(shí)，綜上，使有三個(gè)零點(diǎn)的的取值范圍為例8已

9、知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）若方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）函數(shù)的定義域，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，沒(méi)有極大值，由）整理可得，令，則可得，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故時(shí)，函數(shù)取得最小值即，故原方程可轉(zhuǎn)化為，令，則，因?yàn)椋椎卯?dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值（e），由題意可得，與個(gè)交點(diǎn)，則，解可得，故的范圍例9已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：（1），時(shí)，在遞增，時(shí)，令，解得：或，令，解得：，在遞增，在，遞減，在

10、，遞增，綜上，時(shí)，在遞增，時(shí)，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，若有三個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：，故題型四：零點(diǎn)問(wèn)題之max，min問(wèn)題例10已知函數(shù)，（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線（2）設(shè)在，單調(diào)遞增，求的取值范圍（3）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【解答】解：（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，解得，因此當(dāng)時(shí)，軸為曲線的切線；（2），導(dǎo)數(shù)為，由題意可得在，恒成立，即有的最小值，由的導(dǎo)數(shù)為在遞增，即有最小值為4，則，解得；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故在時(shí)無(wú)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，若，則（1），（1），（1）（1），故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；若，則（1），（1），（1）（1），故不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因

11、此只考慮在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，而，（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值若，即，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)若，即，則在內(nèi)有唯一零點(diǎn)若，即，由，（1），當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)綜上可得：當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)例11已知函數(shù)，（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【解答】解：（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則任意，使得，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（

12、2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上為增函數(shù)且任意，所以，且（1），即，且，解得，所以的取值范圍為，（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，所以在上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸，作出的圖象，可得只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，的零點(diǎn)為，由兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，令，解得，且，若，即時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，若，即時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，若若，即時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)，時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)例12已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用，表示，中較大者，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】

13、解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，單調(diào)遞增， 當(dāng)，單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，在無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（e），（e），若（e），即，則是的一個(gè)零點(diǎn)，若（e），即，則不是的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)只需考慮函數(shù)的零點(diǎn)的情況因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增所以：（）當(dāng)時(shí)，（e），在上無(wú)零點(diǎn)；（）當(dāng)時(shí)，（e），又，所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在遞減，遞增，又因?yàn)椋╡），所以此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)綜上，題型五：零點(diǎn)問(wèn)題之同構(gòu)法例13已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：方法一：由可得，設(shè)，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故（1）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，（1），此時(shí)在區(qū)間

14、內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（1），此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得或1或，且，此時(shí)在單減，單增，單減，單增，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜合知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)方法二：由題意可得，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，令，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，所以例14已知（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍【解答】解：（1），所以，當(dāng)時(shí)，所以在，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以在，上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，使得，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以若，即時(shí)，在，上無(wú)零點(diǎn)，若，即時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上無(wú)零

15、點(diǎn)，綜上當(dāng)時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由，即，即，則有，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以（1），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以例15已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解析：（1）當(dāng)時(shí)，顯然在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增在處取得極小值，無(wú)極大值（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，設(shè)，則，單調(diào)遞增，有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，題型六：零點(diǎn)問(wèn)題之零點(diǎn)差問(wèn)題例16已知關(guān)于的函數(shù)，與，

16、在區(qū)間上恒有（1）若，求的表達(dá)式；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求證：【解答】解：（1）由得，又，所以，所以，函數(shù)的圖象為過(guò)原點(diǎn)，斜率為2的直線，所以，經(jīng)檢驗(yàn)：，符合任意，（2），設(shè)，設(shè)，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以（1），所以當(dāng)時(shí)，令所以，得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即，解得，綜上，（3）當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，令，則，記，則，恒成立，所以在，上是減函數(shù)，則（1），即，所以不等式有解，設(shè)解為，因此當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，是增函數(shù)，（1），則當(dāng)時(shí)，則，因此，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，為偶函?shù)，因此也成立，綜上所述，例17已知函數(shù)（1）如，

17、求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少，證明：【解答】解：（）當(dāng)時(shí)，故當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，從而在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少；（）由條件得：（2），即，故，從而因?yàn)椋詫⒂疫呎归_(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，故，又，即由此可得于是例18已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，由，可得，因?yàn)椋?，所以要證，即證，只需證（2），因?yàn)?，所以?），所

18、以，得證題型七：零點(diǎn)問(wèn)題之三角函數(shù)例19已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【解答】證明：（1）的定義域?yàn)?，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減當(dāng)，時(shí)，于是，單調(diào)遞減，其中，于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞

19、減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，則恒成立，因此函數(shù)在，上無(wú)零點(diǎn)綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)例20已知函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【解答】證明：（1）函數(shù)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，而，存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且，又當(dāng)時(shí)，；，在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間，上存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)

20、，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)例21已知函數(shù)求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【解答】證明：（1）因?yàn)椋?，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，所以即在上遞減又，且是連續(xù)函數(shù)，故在上有唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)遞增，在上遞減，故在上存在唯一極大值點(diǎn)（2）因?yàn)椋?，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減由（1）知，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，又，所以，又的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)內(nèi)時(shí)，在內(nèi)遞減，又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)時(shí)，所以，從而在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)例22已知函數(shù)（1）證明：，（2）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過(guò)程【解答】解：（1）證明：

21、因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，所以，所以，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，所以，即在，為減函數(shù)，故，即，故當(dāng)，時(shí)，；（2）由（1）得：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)，時(shí)，即在，為增函數(shù)，即（3），即函數(shù)在，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，即函數(shù)為增函數(shù)，又，（3），即存在使得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，（3），即函數(shù)在，只有1個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)在為偶函數(shù)，綜合可得：函數(shù)在，有1個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，在，無(wú)零點(diǎn)，故函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)題型八：零點(diǎn)問(wèn)題之取點(diǎn)技巧例23已知函數(shù)（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為

22、，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域由得單調(diào)遞減區(qū)間，由得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求得，分討論：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理可作出判斷；當(dāng)時(shí)，可直接代入判斷；當(dāng)時(shí)，有最小值，再分討論可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（），則.由得；由得.所以，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）依題意得， 當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，取且，則，所以，存在唯一，使，符合題意； 當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，與題意不符； 當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.所以.（i）當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，符合題意.（ii）當(dāng)時(shí)，令，則，所以在單調(diào)遞減，由，所以，又，所以無(wú)零點(diǎn)，與題意不符.（iii）當(dāng)時(shí)，顯然，又，使；設(shè)，

23、則，令，則，所以函數(shù)即在單調(diào)遞增，從而，所以在單調(diào)遞增，又，使得，有個(gè)零點(diǎn)，與題意不符.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)在討論時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)是由零點(diǎn)的存在性定理尋找包含零點(diǎn)的區(qū)間.例24已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是函數(shù)在上的唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到在內(nèi)無(wú)變號(hào)根或無(wú)根；設(shè)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的最小值，得到關(guān)于的不等式，解出即可；（3），令，通過(guò)討

24、論的范圍，去掉絕對(duì)值，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定的取值范圍即可【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； （2）由題意可求得，因?yàn)槭呛瘮?shù)在上的唯一的極值點(diǎn)，所以在內(nèi)無(wú)變號(hào)根或無(wú)根. 設(shè)，則，當(dāng)且時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，符合條件.當(dāng)時(shí)，令得，遞減，遞增.所以，即；綜上所述，的取值范圍為 （3）由題意得：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（）當(dāng)時(shí)，則，所以.因?yàn)?，所以，因此在上單調(diào)遞增.（）當(dāng)時(shí)，則，所以.因?yàn)?，即，又，所以，因此在上單調(diào)遞減.綜合（）（）可知，當(dāng)時(shí)，

25、因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即且， 而當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；所以當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是難題例25已知函數(shù)（1）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由已知有，當(dāng)顯然有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)由的符號(hào)研究單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)極值與0的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可知的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）由題設(shè)，若，若，再由導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，根據(jù)，討論、，構(gòu)造中間函數(shù)

26、研究單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，有：若，則，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；若，令，則，有，此時(shí)在上單調(diào)遞增，有，此時(shí)在上單調(diào)遞減，（）當(dāng)，即時(shí)，則，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；（）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則，又時(shí)，時(shí)，由零點(diǎn)存在定理可得：此時(shí)函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（2）設(shè)，設(shè)，由得，在上單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞增，又，此時(shí)關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)，即時(shí)，由（1）知，則，又，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，在內(nèi)，關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解1，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，令，若

27、，故在單調(diào)遞增，則，時(shí)，在單調(diào)遞增，故，即，又，由零點(diǎn)存在定理可知，在，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，綜上，當(dāng)時(shí)關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）討論參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）設(shè)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增且，討論、并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).例26已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.【詳

28、解】解：（1）當(dāng)時(shí)，切線方程為即；（2），.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，.在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).取，使，且，則.即有兩個(gè)不同的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，得或.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即.若或，則；若，則.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即.若時(shí)，若，則.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，.無(wú)零點(diǎn)，不合題意.綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于較難題.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上

29、只有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】(1)存在；極小值(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)是否存在變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)后，判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)性得恒成立，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在上只有一個(gè)零點(diǎn).由此可證結(jié)論正確.(1)由，可得，則，令，其中，可得，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖?，使得，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值(2)由，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，此時(shí)函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，可得，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由 ，令，可得，令則，當(dāng)，可得；當(dāng)，可得，即

30、在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖谑沟?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以存在使得，即是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)中，分段討論并利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理求解是解題關(guān)鍵.2已知函數(shù)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，(1)求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷單調(diào)性得其最小值；（2）對(duì)進(jìn)行二次求導(dǎo)，分為，和三種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理得結(jié)果.(1)因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增

31、，所以(2)由題設(shè)：所以，令，因?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由（1）知只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，故存在，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則所以沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以存在滿足，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，先證：，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且所以，所以時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值主要是通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，若導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的制定

32、可考慮判別式、零點(diǎn)分布等知識(shí)，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)主要依據(jù)為函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的情形，難點(diǎn)在與端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)的判定.3已知函數(shù)f(x)2lnxx，g(x)（a1）(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)，討論h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，h(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，h(x)有唯一的零點(diǎn)【解析】【分析】（1）求出，利用或可得答案；（2）求出，分、討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值可得答案.(1)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.(2)，當(dāng)時(shí)，令且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，h(x)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令或，當(dāng)時(shí)，單

33、調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，h(x)在上有唯一的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，h(x)在（0，）上單調(diào)遞增，注意到，h(x)在（2，6）上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，h(x)在上有唯一的零點(diǎn)，綜上：當(dāng)時(shí)，h(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，h(x)有唯一的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題求零點(diǎn)問(wèn)題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出在處有最小值并判斷的正負(fù)，構(gòu)造函數(shù)利用零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明存在零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.4設(shè)(1)當(dāng)b=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍.【答案】(1)

34、單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是(2)【解析】【分析】（1）代入，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分類討論參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值點(diǎn)，因有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故極大值小于0，或者極小值大于0，進(jìn)而求解參數(shù)的取值范圍.(1)解:當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)x變化時(shí)，變化情況如下：1+00+極大值極小值所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在上單調(diào)增，此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=0，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，變化情況如下：1+00+極大值極小值故當(dāng)時(shí)，或，解得：；當(dāng)時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，變化情況如下：1+00+極大值極小值故當(dāng)時(shí)，或，解得：；綜上所述：的取值范圍是.

35、【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理5已知函數(shù)，(1)若，分析f（x）的單調(diào)性；(2)若f（x）在區(qū)間（1，e）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)是上單調(diào)遞減函數(shù)；(2).【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合放縮法進(jìn)行求解即可；（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.(1)且，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，因此有，設(shè)，時(shí)，即（取等號(hào)的條件是），是上的單調(diào)遞減函數(shù)；

36、(2)在區(qū)間上能成立，且，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，因此有，設(shè)，則，設(shè)，則在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故，亦即單調(diào)遞減，在區(qū)間上值域?yàn)?，?shí)數(shù)的范圍是 .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、放縮法是解題的關(guān)鍵.6已知函數(shù)（其中a，b為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)根【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得，由題知，解方程得解.（2）令， 分三種情況討論：當(dāng)，時(shí) 的零點(diǎn)情況；令，分兩種情況討論：當(dāng)，時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，借助單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理，判斷的零點(diǎn)情況，進(jìn)而得證.(1)因?yàn)?，所以因?yàn)榈膱D象在處

37、的切線為，所以解得(2)令函數(shù)，定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，由知在上單調(diào)遞增，又且函數(shù)連續(xù)不間斷，所以，有綜上所述，函數(shù)在有唯一的零點(diǎn)，且在上恒小于零，在上恒大于零令函數(shù)，討論如下：當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得因?yàn)椋?，即函?shù)在單調(diào)遞增又因?yàn)椋院瘮?shù)在存在唯一的零點(diǎn)，所以方程在上有唯一的零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，法一：由（1）易證在上恒成立事實(shí)上，令，則因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立從而，所以方程在上無(wú)零點(diǎn)綜上所述，方程有且只有一個(gè)實(shí)根法二：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以方程在上無(wú)零點(diǎn)綜上所述，方程有且只有一個(gè)實(shí)根【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而

38、函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本題第一問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性，并借助零點(diǎn)存在性定理研究方程的實(shí)根，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7已知函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)，根據(jù)給定條件，求出在上恒成立的a的范圍作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的最小值大于0即可作答.(1)由求導(dǎo)得：，即，因在區(qū)間上是增函數(shù)，則，恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，即；當(dāng)時(shí)，而，則，所以的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，令，則，因此函數(shù)即在上單調(diào)遞增，而，則存在，使，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，而，即有，因此，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為(或)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”是否可以取到8已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，先求的導(dǎo)函數(shù) ，所以切線的斜率 ，然后再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出答案即