安徽省黃山市2020屆高三數(shù)學(xué)第二次質(zhì)量檢測試題文(含解析)

1、黃山市2020屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）試題注意事項(xiàng)：答題前，務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致.務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號(hào)后兩位.答第I卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)答第n卷時(shí)，必須使用 0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字跡工整/筆記清晰.做題圖可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出， 確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨水簽字筆描清楚 . 必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效

2、，在試題卷、草稿紙上答題無效.考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交 參考公式：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828一、選擇題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求定義域得集合 A,再解分式不等式得集合B,最后根據(jù)補(bǔ)集定義得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，選A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)定義域、解分式不等式以及集合補(bǔ)集定義，考查基本求解能力, 屬基礎(chǔ)題.已知復(fù)數(shù) z 滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)所在的象限為(A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】 A【解析】【分析】

3、化為的形式，由此確定所在象限 .【詳解】依題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，故選 A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限，屬于基礎(chǔ)題 .設(shè)且，則“”是“”的( )A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】 D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，再判斷充要關(guān)系【詳解】因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí)， ; 當(dāng)時(shí)， ;因此“”是“”的既不充分也不必要條件，選 D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及充要關(guān)系定義，考查基本分析判斷與化解能力，屬基礎(chǔ)題.4.2020 年，曉文同學(xué)參加工作月工資為 7000元，各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的條形圖 . 后

4、來曉 文同學(xué)加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月工資的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的折線圖. 已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛參加工作時(shí)少 200 元，則目前曉文同學(xué)的月工資為 ( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 9500【答案】 C【解析】【分析】 根據(jù)兩次就醫(yī)費(fèi)關(guān)系列方程，解得結(jié)果【詳解】參加工作就醫(yī)費(fèi)為， 設(shè)目前曉文同學(xué)的月工資為，則目前的就醫(yī)費(fèi)為， 因此選 C.【點(diǎn)睛】本題考查條形圖以及折線圖，考查基本分析判斷與求解能力，屬基礎(chǔ)題 .已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線左支于、B 兩點(diǎn)，則 l 斜率的取值范圍為（ ）A.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】 根據(jù)雙曲線漸近線的斜率，求得直線斜

5、率的取值范圍 .【詳解】雙曲線的漸近線為，當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)直線斜率大 于零時(shí)，要與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則需直線斜率；點(diǎn)直線斜率小于零時(shí)，要與雙曲線左支 交于兩點(diǎn)，則需斜率 . 故選 B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查直線和雙曲線交點(diǎn)問題，所以基礎(chǔ)題 .已知向量滿足，且，則在方向上的投影為（ ）A. B. C. D. 【答案】 D【解析】【分析】 先根據(jù)向量垂直得，再根據(jù)向量投影公式得結(jié)果 .【詳解】因?yàn)?，所?因此在方向上的投影為，選 D.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直以及向量投影，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題 .在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的

6、四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面， ，且，為AD的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】 作出異面直線所成的角，利用余弦定理計(jì)算出這個(gè)角的余弦值 .【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，連接，由于分別是中點(diǎn)，是三角形的中位線，故，所以是兩條異面直線 所成的角 . 根據(jù)鱉臑的幾何性質(zhì)可知 . 故，在三角形中，由余弦定理得，故選 C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的余弦值的求法，考查空間想象能力，考查中國 古典數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題 .已知部分圖象如圖，則的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】 先根據(jù)圖象確定的一個(gè)對(duì)稱中心，再根據(jù)周期得

7、所有對(duì)稱中心，最后對(duì)照選項(xiàng)作判斷 . 【詳解】由圖得為的一個(gè)對(duì)稱中心，因?yàn)?, 從而的對(duì)稱中心為 , 當(dāng)時(shí)為，選 A. 【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖象求函數(shù)對(duì)稱中心以及周期，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題程序框圖如圖，若輸入的，則輸出的結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】 執(zhí)行循環(huán)，尋找規(guī)律，最后求和得結(jié)果 .【詳解】執(zhí)行循環(huán)，得，選 C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)流程圖求輸出結(jié)果，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題 .已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且， ，若對(duì)任意的，恒成立，則的最小值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B【解析】【分析】 先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得數(shù)列遞推關(guān)

8、系式，根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式得再根據(jù)裂項(xiàng)相 消法求，最后根據(jù)最值得結(jié)果 .【詳解】因?yàn)?，所以，相減得，因?yàn)椋?，又，所?, 因?yàn)?，所?,因此， ,從而 , 即的最小值為，選 B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列定義、等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，考查綜合分析求 解能力，屬中檔題 .一空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為邊長為 1的等腰直角三角形， 則此空間幾何體的表面積是（ ）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)各表面形狀求表面積 .【詳解】幾何體為如圖四面體，其中所以表面積為，選 D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四面體表面積，考查空間想

9、象能力與綜合分析求解能力，屬中 檔題.已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)， ，又，所以為偶函數(shù)，從而等價(jià)于，因此選 B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題 二、填空題（將答案填在答題紙上）已知橢圓，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長為直徑作圓；以右頂點(diǎn)為圓心，橢圓的長軸長為 直徑作圓，則圓與圓的公共弦長為 .【答案】【解析】【分析】 先根據(jù)條件得圓與圓的方程，再聯(lián)立方程組解得

10、交點(diǎn)坐標(biāo)，即得結(jié)果 . 【詳解】由題意得圓： ，圓：， 相減得，因此圓與圓的公共弦長為【點(diǎn)睛】本題考查圓方程與公共弦長，考查基本分析求解能力，屬基本題 .定義在上的函數(shù)滿足，若，且，則 .【答案】 4【解析】【分析】 先化簡的表達(dá)式，然后計(jì)算的表達(dá)式，結(jié)合的奇偶性可求得的值 . 【詳解】依題意，故為奇函數(shù) . 故，所以 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題 .若整數(shù)x, y滿足不等式組，則的最小值為 【答案】【解析】【分析】畫出可行域，由此判斷出可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，依題意只取坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn) . 由圖可知，在點(diǎn)處，目標(biāo)

11、函數(shù) 取得最小值為 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，要注意不等式等號(hào)是否能取得，還要注意為 整數(shù)，屬于基礎(chǔ)題 .滿足，則面積的最大值為 .【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得，設(shè) AB 邊上的高再根據(jù)條件得之間等量關(guān)系，最后根據(jù)三角形面積公式以及 基本不等式求最值 .【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，設(shè) AB 邊上的高則 , 因?yàn)?，所?, 因?yàn)? 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以面積，即面積的最大值為 【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、三角形面積公式以及基本不等式求最值 . ，考查綜合分析求解能 力，屬難題 .三、解答題 (本大題共 6 小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . )已知數(shù)

12、列的前項(xiàng)和， .(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(n)令，數(shù)列的前 n項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意的，都有.【答案】(I) () . (n)見證明【解析】【分析】(I)根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系可得，(n)根據(jù)裂項(xiàng)相消法求，即證得結(jié)果.【詳解】(I)因?yàn)?；當(dāng)時(shí)，由 - 得，故又因?yàn)檫m合上式，所以() .(n)由(I)知，所以.【點(diǎn)睛】本題考查由和項(xiàng)求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題如圖，直三棱柱中，是的中點(diǎn)，且，四邊形為正方形（I）求證：平面；（n）若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（I）見證明（n）【解析】【分析】（I）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（n）根據(jù)等

13、體積法求高，即得結(jié)果 .【詳解】（I）連接，交于點(diǎn)，再連接，由已知得，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又平面，平面，平面.（n）v在直三棱柱中，平面平面，且為它們的交線，又，.平面，又平面，且.同理可得，過作，則面，且 .設(shè)到平面的距離為 ， 由等體積法可得：，即，即.即點(diǎn)到平面的距離為 .【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理以及等體積法，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19.2020 年全國“兩會(huì)”， 即中華人民共和國第十三屆全國人大二次會(huì)議和中國人民政治協(xié)商 會(huì)議第十三屆全國委員會(huì)第二次會(huì)議，分別于2020 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召開 . 為了了解哪些人更關(guān)注“兩會(huì)”，

14、某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在1575歲之間的200人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如下圖所示，把年齡落在區(qū)間 15， 35）和35 ， 75內(nèi)的人分別 稱為“青少年人”和“中老年人” .經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年人”和“中老年人”的人數(shù)之比為 19:21 其中“青少年人”中有 40人關(guān)注“兩會(huì)” ， “中老年人”中關(guān)注“兩會(huì)”和不關(guān)注兩會(huì)”的人數(shù)之比是 2:1.（I）求圖中的值；（H）現(xiàn)采用分層抽樣在25 , 35）和45 , 55）中隨機(jī)抽取8名代表，從8人中任選2人，求2 人中至少有1個(gè)是“中老年人”的概率是多少 ？（川）根據(jù)已知條件，完成下面的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)果判斷 ：能否有99.9%

15、的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注“兩會(huì)”？關(guān)注不關(guān)注合計(jì)青少年人中老年人合計(jì)【答案】（I）（H）（川）見解析【解析】【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖列方程，解得結(jié)果，（n）根據(jù)枚舉法以及古典概型概率公式求結(jié)果，（川）先根據(jù)條件列 2X2列聯(lián)表，再根據(jù)公式求卡方，最后對(duì)照數(shù)據(jù)作判斷【詳解】（I）由題意得，解得（n）由題意得在25,35）中抽取6人，記為，在45,55）中抽取2人，記為.則從8人中任取2人的全部基本事件（共28種）列舉如下：記2人中至少有1個(gè)是“中老年人”的概率是，則 .（川）2X2列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)青少年人405595中老年人7035105合計(jì)11090200

16、所以有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注“兩會(huì)”.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、古典概型概率以及卡方公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題在中，且.以所在直線為軸，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(I)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程 ；(n)已知定點(diǎn)，不垂直于的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，若直線關(guān)于直線對(duì)稱，求面積的取 值范圍.【答案】(I)； (n).【解析】【分析】(I)利用正弦定理化簡已知條件，根據(jù)橢圓的定義求得軌跡方程.(II )設(shè)出直線方程為,代入的軌跡方程，寫出判別式和韋達(dá)定理，根據(jù)直線關(guān)于軸對(duì)稱，列方程，化簡后求得直線 過，求得的表達(dá)式，并利用單調(diào)性求得面積的取值范圍【詳解】

17、解：(I)由得：，由正弦定理所以點(diǎn)C的軌跡是：以為焦點(diǎn)的橢圓 (除軸上的點(diǎn)),其中，則，故軌跡的軌跡方程為.(n)由題，由題可知，直線的斜率存在，設(shè)的方程為，將直線的方程代入軌跡的方程得：.由得，且直線關(guān)于軸對(duì)稱，艮卩.化簡得：，,得那么直線過點(diǎn)，所以面積:設(shè),顯然，S在上單調(diào)遞減,【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理，考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積公 式，綜合性較強(qiáng)，屬于難題 .已知函數(shù)，直線： .（I）設(shè)是圖象上一點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線的斜率，若在上存在極值，求的取值范圍；（n）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線是曲線的切線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（川）試確定曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

18、并說明理由【答案】，（川）見解析【解析】【分析】（I）先根據(jù)斜率公式列再求導(dǎo)數(shù)及其零點(diǎn)，最后根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果，（n）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，最后根據(jù)切線過（0， -1 ）點(diǎn)列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得的值；（川）先變量分離，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù) .【詳解】（i）t,.，解得.由題意得：，解得 .（n）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線是曲線的切線，令切點(diǎn)，切線的斜率切線的方程為，又切線過（0,-1 ）點(diǎn)，解得，（川）由題意，令，得令, ,由,解得 在（ 0,1 ）上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, , 又時(shí),；時(shí),時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn)；時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn)； 時(shí)，沒有交點(diǎn) . 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值以及零點(diǎn)，考查綜合分析求解能力， 屬難題 .選修 4 4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 設(shè)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位，原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，曲線的參數(shù)方 程為(是參數(shù)) ，直線的極坐標(biāo)方程為(I)求曲線的普通方程和直線的參數(shù)方程；(n)設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線相交于兩