短期聚合風(fēng)險模型課件

1、第三章 短期聚合風(fēng)險模型風(fēng)險理論第一節(jié) 短期聚合風(fēng)險模型的概念 設(shè)N是給定時期中風(fēng)險事故發(fā)生次數(shù)，Xi 是第 i次風(fēng)險事故的損失，則這一時期的總損失為 S=X1+X2+XN 一般情況下，風(fēng)險事故發(fā)生次數(shù)N為隨機變量，因此短期聚合風(fēng)險模型表現(xiàn)為一個隨機過程。 第二節(jié) 短期聚合風(fēng)險模型的特點短期個別風(fēng)險模型與短期聚合風(fēng)險模型的區(qū)別：假設(shè)有10個風(fēng)險載體，標號分別為#1、#2、#10。在1年內(nèi)共發(fā)生5次損失事故。 第 i 次事故 1 2 3 4 5 損失 0.65 1.24 1.19 0.30 2.47 風(fēng)險載體標號 #7 #2 #3 #5 #7 試計算總損失量S。 第二節(jié) 短期聚合風(fēng)險模型的特點個

2、體模型： S=X1+X2+X10其中 Xi為第i個風(fēng)險載體的損失量。S= 第1號個體損失+第2號個體損失 +第10號個體損失 = 0+1.24+1.19+0+0.30 +0+(0.65+2.47)+0+0+0 =5.85聚合模型: S=X1+X2+X5其中 Xi為第i次事故導(dǎo)致的損失量；S=第1次事故損失+第2次事故損失 +第5次事故損失 =0.65+1.24+1.19+0.30+2.47 =5.85教材短期個體風(fēng)險模型書后練習(xí)1（參見課件第2章）X = 拋5次硬幣獲得的正面朝上數(shù)；Y = 拋X個骰子獲得的點數(shù)；求：EY和VarY解1：利用短期個體風(fēng)險模型 理解為：分別拋5個硬幣，對于所拋的每

3、個硬幣，如果朝向就拋一個骰子， 記下點數(shù)W。于是 Y=W1+W2+W3+W4+W5。 其中，Wi是第i個硬幣朝上時拋骰子所獲得的點數(shù)。 W=IB，I=硬幣朝上的值（0或1），q=Pr(I=0)=Pr(I=1)=1/2 B=骰子的點數(shù)（16），P(B=j|I=1)=1/6, j=1,2,6 =EB|I=1=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 EB2|I=1= (1+4+9+16+25+36)/6=91/6 2=VarB|I=1=35/12 EY=5q=5(7/2)(1/2)=35/4 VarY=5q(1-q)+2q=5(47/4)(1/2)(1/2)+(35/12)(1/2)=1085/48

4、解2：利用短期聚合風(fēng)險模型第三節(jié) 總損失S的分布X的k階原點矩為 pk=EXk；X的矩母為Mx(t)=EetX;N的矩母為MN(t)=EetN;S的矩母為MS(t)=EetS;ES=EES|N=EENi=1Xi|N=ENEXi=ENp1=p1EN;VarS=EVarS|N+VarES|N=ENvarX+VarNEX =ENVarX+VarN(E X )2 =(p2-p12)EN+p12VarN;第三節(jié) 總損失的分布練習(xí)1設(shè)理賠次數(shù)N服從幾何分布，即 Pr（N=n）=pqn; n=0,1,2, 其中，p=1-q，0q1。試用個體損失X的矩母表示總損失S的矩母。解MN(t)=EetN=n=0etn

5、Pr(N=n)= n=0 p(qet)n =p n=0(1-qet)(qet)n/(1-qet) =p/(1-qet)MS(t)=MN(lnMX(t)=p/(1-q exp(lnMX(t) =p/(1-qMX(t)全概率=1第三節(jié) 總損失S的分布S的概率分布為： 例題某風(fēng)險載體在確定期間發(fā)生0、1、2、3次損失事故的概率分別為0.1、0.3、0.4和0.2。損失量答1、2和3的概率分別為0.5、0.4和0.1。計算總損失量的分布。 N：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n) 0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x) 0.5 0.4 0.1解 N

6、：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n) 0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x) 0.5 0.4 0.1因N最大為3，X最大為3，所以S最大為9。fS(x)=Pr(S=x)=n=0,1,2,3f*n(x)fN(n)f*n(x)=Pr(X1+X2+Xn=x) =all yx Pr(X1+X2+Xn-1+Xn=x|Xn=y)Pr(Xn=y) =all yx f*(n-1) (x-y) f(y)特別地，f*0(x)=Pr(0=x) 當且僅當x=0時, f*0(0)= 1 f*1(x)=Pr(X1=x) f*2(x)=Pr(X1+X2=x) f*3(

7、x)=Pr(X1+X2+X3=x)例題（續(xù)）xf*0f*1f*2 =f*ff*3= f*2 *ffS(x)01.00.0 0.00.100010.5 0.50.150020.4 0.40.250.220030.1 0.1 0.400.1250.215040.260.3000.164050.080.3150.095060.010.1840.040870.0630.012680.0120.002490.0010.0002N=n0123-Pr(N=n)0.10.30.40.2-練習(xí)1N服從幾何分布，即 Pr（N=n）=pqn，n=0,1,2, p=1-q,0q0試證明：MS(t)=p+q p/(p-

8、t)答案答案(續(xù))0的矩母指數(shù)分布(=p)的矩母第四節(jié) N的分布的選擇事故發(fā)生次數(shù)N的分布 對于EN=VarN的情形,選N服從泊松分布; 對于VarNEN的情形,選N服從負二項分布. （1）對于N服從泊松分布的情形: 稱S服從復(fù)合泊松分布 ES=EES|N=EX=p1 VarS=VarES|N+EVarS|N =VarN EX+EN VarX =(EX)2VarN+VarXEN = p12+ (p2-p12) = p2當S復(fù)合泊松時: ES= p1VarS= p2第四節(jié) N的分布的選擇當S服從復(fù)合 泊松分布時， MS(t)=MN(lnMX(t)=exp(elnMx(t)-1) =exp(MX(

9、t)-1)第四節(jié) N的分布的選擇（2）N服從參數(shù)為的泊松分布，而的概率密 度為 u(), 0 則 EN=EEN| =E； VarN=EVarN| +VarEN| =E+Var。 MN(t)=E(etN)=EEetN| =Eexp(et -1)=M(et - 1)練習(xí)2對于總損失量S=X1+X2+XN，已知1）X的分布為 x f（x） 1 p 2 1-p2）服從泊松分布，參數(shù)為1/p；3）當=時，N服從泊松分布，參數(shù)為；4）N與Xi 相互獨立；5）Var（S）=19/2求：p。答案Var(S)=Var(E(S| )+E(Var(S| ) =Var(p1)+E(p2) =(p1)2Var()+p2

10、E() p1=(1)(p)+(2)(1-p)=2-p; P2=(1)2(p)+(2)2(1-p)=4-3p; Var()=1/p; E()=1/p答案（續(xù)）(2-p)2(1/p)+(4-3p)(1/p)=19/2p2-16.5p+8=0(p-16)(p-0.5)=0p=16(舍)，p=1/2第五節(jié) X的分布的選擇因為第五節(jié) X的分布的選擇 可見，X的分布的選擇將決定卷積運算的難度和復(fù)雜程度。 所以，應(yīng)當盡量選擇方便卷積運算的分布。 通常選擇X為離散型隨機變量。第六節(jié) 復(fù)合泊松分布的性質(zhì) 從上節(jié)的討論看，通常選擇X為離散性隨機變量將方便運算；對于N服從泊松分布的情況，我們可以有哪些方法計算呢？

11、1）卷積法； 2）利用復(fù)合泊松分布的一些特性（本節(jié)介紹）； 3）其他方法。第六節(jié) 復(fù)合泊松分布的性質(zhì) 定理： 如果S1、S2、Sm是相互獨立隨機變量，Si是參 數(shù)、分布函數(shù)Fi(x), ( i=1,2,m) 的復(fù)合泊松分布隨機變 量。 則，S=S1+S2+Sm 是復(fù)合泊松分布隨機變量，且其 參數(shù)和分布函數(shù)分別為定理證明思考題本定理中，請選擇：1）Fi(x) 是哪個隨機變量的分布函數(shù)？2）F(x) 是哪個隨機變量的分布函數(shù)？3）i 是哪個隨機 變量的泊松分布參數(shù)？4） 是哪個隨機 變量的泊松分布參數(shù)？ （A）總損失S （B）Si對應(yīng)的個體損失X （C）S對應(yīng)的個體損失X （D）Si 對應(yīng)的損失次

12、數(shù)N （E）S 對應(yīng)的損失次數(shù)N答案本定理中，1）Fi(x)是什么隨機變量的分布函數(shù)？ 答：Si對應(yīng)的個體損失X （B）2）F(x) 是哪個隨機變量的分布函數(shù)？ 答：S對應(yīng)的個體損失X （C）3）i 是哪個隨機 變量的泊松分布參數(shù)？ 答：Si對應(yīng)的損失次數(shù)N （D）4）是哪個隨機 變量的泊松分布參數(shù)？ 答：S對應(yīng)的損失次數(shù)N （E） 要點由于總損失S的分布性質(zhì)通常難以直接描述，所以當S服從復(fù)合泊松分布時，就用其對應(yīng)的損失次數(shù)N的參數(shù)、個體損失X的分布函數(shù)來描述S的分布性質(zhì)。練習(xí)3S1服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)為=3，f(1)=f(2)=f(3)=1/3；S2服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)為=2，f(1)=

13、f(2)=1/2；求S1+S2分布對應(yīng)的f(2)。答案根據(jù)本章定理， f(x)=(i/ )fi(x) f(1)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5;f(2)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5;f(3)=(3/5)(1/3)+(2/5)(0)=1/5.練習(xí)4S為總損失量，損失次數(shù)N的概率分布為： N=n Pr（N=n） 0 0.5 1 0.25 2 0.25 損失量服從泊松分布(參數(shù)為2)。求S的方差。答案Var(S)=E(N)Var(X)+(E(X)2Var(N) E(N)=(0)(0.5)+(1)(0.25)+(2)(0.25)=0.75 E(N2)=(0)

14、(0.5)+(1)(0.25)+(4)(0.25)=1.25 Var(N)-1.25-(0.75)2=0.6875 E(X)=2 Var(X)=2Var(S)=(0.75)(2)+(2)2(0.6875)=4.25練習(xí)5 個體損失量服從正態(tài)分布，參數(shù)為100和32。 災(zāi)害次數(shù)N的分布為 n Pr（N=n） 0 0.50 1 0.20 2 0.20 3 0.10 求總損失量超過100的概率. 解答Pr(S100)=Pr(S100|N=0)Pr(N=0)+Pr(S100|N=1)Pr(N=1) +Pr(S100|N=2)Pr(N=2)+Pr(S100|N=3)Pr(N=3)Pr(S100|N=0)

15、=0For N=1,2,3 Pr(S100|N=n)= Pr(X1+X2+Xn100)=Pr(Sn100) = Pr(N(0,1)(100-n)/(n2)1/2) = 1-(100-n)/(n2)1/2) = 1- (100-100n)/(9n)1/2)Pr(S100|N=1)=1- (0)=0.5Pr(S100|N=2)=1- (-23.57) 1.0 (23.574)Pr(S100|N=3)=1- (-38.49) 1.0 (23.574) Pr(S100)=(0.5)(0.2)+(1)(0.2)+(1)(0.1)=0.4練習(xí)6先拋一個各側(cè)面且標有數(shù)字1、2的均勻硬幣，記下出面的數(shù)字N，然

16、后拋各側(cè)面標有0、1的N個均勻硬幣，記下出現(xiàn)正面的數(shù)量S。求S的分布、均值和方差。解N：1，2； X：0，1；S：0，1，2P(S=0)= P(N=1)P(X=0)+P(N=2)P(X=0)P(X=0)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=3/8P(S=1)= P(N=1)P(X=1) +P(N=2)P(X=0)P(X=1)+P(N=2)P(X=1)P(X=0) =(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=1/2P(S=2)=P(N=2)P(X=1)P(X=1)=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8E(S)=0(3/8)+1(1/

17、2)+2(1/8)=3/4E(S2)=0(3/8)+1(1/2)+4(1/8)=1Var(S)=1-(3/4)2=7/16或E(N)=1(1/2)+2(1/2)=3/2 E(N2)=1(1/2)+4(1/2)=5/2 Var(N)=5/2-(3/2)2=1/4E(X)=1/2 E(X2)=1/2 Var(X)=1/4E(S)=E(N)E(X)=(3/2)(1/2)=3/4Var(S)=Var(N)E(X)2+E(N)Var(X)=(1/4)(1/2)2+(3/2)(1/4)=7/16 問題設(shè) a1,a2,am 是m個不同的實數(shù)； N1,N2,Nm是相互獨立的隨機變量； Ni (i=1,2,m)

18、 是參數(shù)為i 的泊松分布隨機變量。問： 服從什么分布？解答答案（續(xù)）代入上頁推導(dǎo)結(jié)果答案（續(xù)）本練習(xí)的總結(jié)由該例子可以看出，任何離散型總損失量S都可以寫成如下形式： S=x1N1+x2N2+xmNm 其中 x1,x2,xm 為個體損失量的離散值； N1,N2,Nm為對應(yīng)損失量的發(fā)生次數(shù)； 問題對于上頁的討論，如果令 N=N1+N2+Nm那么1）N是什么？2）N服從什么分布？回答N=N1+N2+NmN是總集中損失次數(shù)的和，即與S對應(yīng)的損失次數(shù)。而Ni是子集中損失次數(shù)的和，即與Si=xiNi對應(yīng)的損失次數(shù)。實際上，S 就是總損失。S=X1+X2+XNS=x1N1+x2N2+x3N3以上兩式以不同方

19、式度量總損失。第六節(jié) 復(fù)合泊松分布的性質(zhì)定理：對于 S=x1N1+x2N2+xmNm如果S服從復(fù)合泊松分布，且其參數(shù)為，個體損失概率為 X=x x1 x2 . xm Pr(X=x) p(x1) p(x2) . P(xm)則，(1) N1，N2，Nm相互獨立；(2) Ni 服從泊松分布，參數(shù)為p(xi)，i=1,2,m 定理證明（證明結(jié)論2）（1）N的分布：泊松分布，參數(shù)為。 MN(t)=exp(et-1)（2）Ni的分布： Ni含義是 N次事故中，發(fā)生損失量為xi的次數(shù)。 顯然，Ni服從二項分布。 但注意N是隨機變量，所以實際上Ni在N確定的條件下才服從 二項分布。即 Ni|N=n bin（n

20、，pi）。 pi=p(xi)定理證明（只證明第2個結(jié)論）于是， 到底Ni服從什么分布？回答：Ni以N為條件服從二項分布；Ni獨立服從泊松分布；練習(xí)7總損失量S服從復(fù)合泊松分布，且 S=1N1+2N2+3N3已知 (1) ES=56； (2)VarS=126； (3)E(S-E(S)3=314；求：2=E（N2）答案答案(續(xù)）S=1N1+2N2+3N3X=1,2,3 對應(yīng)概率為f(1),f(2),f(3)根據(jù)定理，2=E(N2)= f(2)答案(續(xù)） E(S)= p1 Var(S)= p2 E(S-E(S)3= p3 p1=E(X)=1f(1)+2f(2)+3f(3)=56/ p2=E(X2)=

21、1f(1)+4f(2)+9f(3)=126/ p3=E(X3)=1f(1)+8f(2)+27f(3)=314/ f(2)=11= 2推論1若x1,x2,xm只取正整數(shù)，記i=p(i), i=1,2,則總損失S的概率分布的遞歸公式為實際上，上限為x和m中的較小者。練習(xí)總理賠額S服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)為=1，個體理賠額為1,2的概率分別為1/4,3/4。對于x=0,1,2,計算S的概率分布f(x)=Pr(S=x)解答解法1：利用模型S=X1+X2+XN f(0)=Pr(N=0)=e-1 f(1)=Pr(N=1)Pr(X=1)=(1/4)e-1 f(2)=Pr(N=1)Pr(X=2)+Pr(N=2)

22、Pr(X=1)Pr(X=1) =(25/32)e-1解答解法2：利用模型S=N1+2N2 1= p(1)=1/4; 2= p(2)=3/4 f(0)=Pr(N1=0) Pr(2N2=0)=e-1/4e-3/4=e-1 f(1)=Pr(N1=1)Pr(2N2=0)=(1/4)e-1/4e-3/4= (1/4)e-1 f(2)=Pr(N1=0)Pr(2N2=2)+Pr(N1=2)Pr(2N2=0) =e-1/4(3/4)e-3/4+(1/32) e-1/4 e-3/4 =(25/32) e-1解答解法3：利用f(x)的遞歸公式 1= p(1)=1/4; 2= p(2)=3/4 f(0)=Pr(N=

23、0)=e-1 f(1)= 1f(0)= (1/4)e-1 f(2)= (1/2)1f(1)+ 2f(0)=(25/32) e-1練習(xí)總損失S服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)=5，損失額只能是1或2，且S的分布為 x 0 1 2 f(x) e-5 3.5e-5 7.625e-5計算損失額X的分布。解答推論2若x1,x2,xm只取正整數(shù)，且損失次數(shù)N的分布滿足其中a和b為N的分布參數(shù)，則總損失S的概率分布為常見的參數(shù)為（a,b）的分布分布Pr(N=n)參數(shù)a參數(shù)泊松ne- /n! ; n=0,1,0二項(mn)pn(1-p)m-n ; n=0,1,.-p/(1-p)(m+1)p/(1-p)幾何(1-p)np ; n=0,1,1-p0負二項(r+n-1n)pr(1-p)n ; n=0,1,1-p(r-1)(1-p)練習(xí)損失次數(shù)服從幾何分布，參數(shù)p=0.2，損失額X的分布為 x 0 1 2 p(x) 0.2 0.3 0.5 計算總損失額S的Pr(S4)。解答第七節(jié) 總損失量S分布的近似定理：如果S為由和f(x)確定的復(fù)合泊松分布，則當時，的分布收斂于標準正態(tài)分布。 練習(xí)8S1服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)1=1，f1(1)=0.75,f1(5)=0.25;S2服從復(fù)合泊松分布，參數(shù) 2=1，f2(3)=0.5,f2(7)=0.5；S1、