高三數(shù)學(xué)立體幾何中的最值問題復(fù)習(xí)

1、突破立體幾何之立體幾何中的最值問題考點(diǎn)動向高考試題將趨于關(guān)注那些考查學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的題目，而幾何問題中的最值與范圍類問題， 既可以考查學(xué)生的空間想象能力， 又考查運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的能力，因此，將是有中等難度的考題.此類問題，可以充分考查圖形推理與代數(shù)推理，同時往往也需要將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化， 比如求一些最值時，向平面幾何問題轉(zhuǎn)化， 這些常規(guī)的降 維操作需要備考時加強(qiáng)關(guān)注與訓(xùn)練.例1如圖6 1 , 在直三棱柱 ABCAB1cl中，底面為直角三角形， /ACB=90； AC =6, BC=CCi = & .P是BCi上一動點(diǎn)，則 CP + PA的最小值為.解析考慮將立體幾何問題

2、通過圖形變換，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解答.解連結(jié)A1B ,沿BC1將ACBG展開與 ABG在同一個平面內(nèi)，如圖6 2所示，連 AC ,則AC的長度就是所求的最小值.通過計(jì) 算可得/AC1c =90、又/BC1C =45故 /ACiC =135)由余弦定理可求得 AC =5近.例2如圖6 3,在四棱錐 PABCD中， PA_L底面A B C D / DAB為直角， A B/ C D AD=2CD, EA FB 分別為 PC, CD的中點(diǎn).(I)試證：CD_L平面BEF；(II)設(shè) PA =k AB ,且二面角 E -BD -C的平面角大于30 ,求k的取值范圍.解析 對(I),可以借助線面垂直的判定

3、定理，或者借助平面的法向量及直線的方向向量解答；對(II),關(guān)鍵是確定出所求二面角的平面角.解法1 (I)證：由已知DF JAB且/DAB為直角， 故ABFD是矩形，從而CD，BF .又PA，底面 ABC D, CD AD ,故由三垂線定理知 CD PD . 在4PDC中，E , F分別為PC , CD的中點(diǎn)，故 EF II PD，從而 CD，EF ,由此得 CD，面 BEF .(II)連接AC交BF于G ,易知G為AC的中點(diǎn),連接EG ,則在 PAC中易知EG / PA .又因PA，底面ABCD，故EG，底面ABCD .從而/ EHG為二面角E -BD -C的平面角.在底面ABCD中，過G作

4、GH BD ,垂足為H ,連接EH ,由三垂線定理知 EH BD ,設(shè) AB = a , 則在 PAC 中，有一 1 1 .EG =-PA=-ka .以下計(jì)算GH ,考慮底面的 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 22平面圖(如圖6 5),連接GD,因C11 Sd =BD&H =GBDF ,22故 GH =GB-F .在 4ABD 中，因 AB =a , BDAD =2a，得 BD =匾. HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1 _而 GB =FB = AD = a DF

5、 = AB2，1ka -從而得GH =Gt=a = v5a因此tanEHG =里=弓=立匕 BD 5a 5GH 52a5故k0知/EHG是銳角，故要使/EHGa30：必須3k tan 30 =，23解之得,k的取值范圍為k2”15解法2 (I)如圖6 6,以A為原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB=a，則易知點(diǎn) A, B, C, D, F的坐標(biāo)分別為 A(Q0,0), B(a,0,0), C(2a,2a,0), D(0,2a,0), F(a,2a,0).從而 DC =(2a,0,0), BF =(0,2a,0) , DCF = 0 ,故

6、DC _L BF .設(shè)PA =b,則P(00 , b，而E為PC中-，_ b 一 點(diǎn)， 故 E a, a, I , 從而 2-bB E 0, , a . DCgBE = 0 ,故 2zyEA OBx圖6 6C(II)設(shè)E在xOy平面上的投影為過G作GH _L BD垂足為H ,由三垂線定理知D C_L B.Ent加 CD，面85 .E a, a2EH _LBD .從而 /EHG 為二面角 EBDC 的平面角.由 PA = kgAB 得 P(0,0, ka),G(a, a,0).設(shè) H(x, y,0),則 GH =(x-a, y a,0), BD = (a,2a,0),由 GH 5D =0得a(x

7、 -a) +2a( 丫-2)=0,即*一2丫 = 一2.又因BH= = (x-a, y,0),且BH與BDy的方向相同，故 土一a即 2x + y=2a.由解得x4y = -a ,從而 GH =52 21 八二二a, a,0 , GHI 55 JtanEHG =-EGGHka25a5tan30由 k A0知/EHG 是銳角，由/EHG a30 得tan EHG故k的取值范圍為kA245.15規(guī)律小結(jié)立體幾何中的最值與范圍， 需要首先確定最值或范圍的主體，確定題目中描述的相關(guān)變 動的量，根據(jù)必要，可確定是利用幾何方法解答， 還是轉(zhuǎn)化為代數(shù)(特別是函數(shù))問題解答.其 中的幾何方法，往往是進(jìn)行翻折變

8、換， 這時可以想象實(shí)際情形， 認(rèn)為幾何體是利用硬紙等折成的，可以動手翻折的，在平時做練習(xí)時，不妨多動手試試，培養(yǎng)自己的空間想象能力，在考試時就可以不動手，動腦想就可以了.特別注意變動的過程，抓住變動的起始與終了等特 殊環(huán)節(jié).考點(diǎn)誤區(qū)分析(1)這類問題容易成為難點(diǎn)， 關(guān)鍵是學(xué)生的空間想象能力缺乏，或者對問題的轉(zhuǎn)化方向不明確.因此，要注意常見的轉(zhuǎn)化方向，如化立體幾何問題為平面幾何問題，或化立體幾 何問題為代數(shù)問題等，根據(jù)題目特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)對題目所描述的情形沒有清醒的認(rèn)識也是造成錯解的主要原因，注意產(chǎn)生量的變化的主要原因是什么，相關(guān)的數(shù)量和位置關(guān)系都做怎樣的變化， 抓住問題的關(guān)鍵，才能順利 解

9、決問題.同步訓(xùn)練1 .如圖6 7,在直三棱柱 ABCAB1cl中， AB=BC=、/2, B4=2, . ABC =90 , E,F 分別為AAGB的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從 E到F兩 點(diǎn)的最短路徑的長度為 .2 -.有兩個相同的直二棱枉，局為 一，底面二 a角形的三邊長分別為 3a,4a,5a(a 0).用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍.如圖6 8 ,正四面體ABCD的棱長為1,棱AB /平面口，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面口內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是.參考答案1 .解析1分另1J將 AA1B1C1沿AB1折到平面 ABB1A上；將AA1B1C1沿AC1折到平面ACGA上；將BCCiBi沿BBi折到平面ABBA上；將BCGB沿CCi折到平面ACGA上，比較其中EF長即可.答案3_222 .解析可知，全面積最小的是四棱柱面積為24a2 +28 ,全面積最小的是三棱柱 TOC