高三數(shù)學(xué)專題講座復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載如10年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講座導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的應(yīng)用應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的相關(guān)問題，已成為當(dāng)今高考的必考內(nèi)容，這類考題在試卷中所占分?jǐn)?shù)比例也隨著教育的發(fā)展其分值也不斷增大，僅全國卷(I)卷中，用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)問題的考題有三道，共有分?jǐn)?shù) 29分，約占全試卷分?jǐn)?shù)的 20%,有關(guān)專家認(rèn)為：由于導(dǎo)數(shù)在工農(nóng)業(yè)生 產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用，已成為大學(xué)各專業(yè)課程的不可缺少的基礎(chǔ)課內(nèi)容，所以今后的高考也將作為學(xué)生必須加強(qiáng)的考試內(nèi)容。為了讓2009屆考生能成功地應(yīng)對該知識點的考試，我們特成本稿供同學(xué)們參考。根據(jù)2009年的考試大綱，我們預(yù)計湖南卷利用導(dǎo)數(shù)的考題將會在15% 20%之間，其考題難度可能與 09年持平，綜合

2、2008年或者2009年理二科試卷，各省市命題點可能落在 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和求參變量的取值范圍、求函數(shù)參變量的值與在反指定區(qū)間內(nèi)的極值、利用導(dǎo)數(shù)法解函數(shù)證明題與應(yīng)用題、利用導(dǎo)數(shù)法求解解析幾何問題等七種題型上。 現(xiàn)在我們來依一舉例說明。一、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和求參變量的取值范圍、這類題型是2008年命題概率最大的一類， 討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的解題步驟通常有三步： 首先是對函數(shù)求導(dǎo)、 其次是求f(x)0或f(x)0的區(qū)間，再判斷函數(shù)的增減性。 而求函數(shù)參變量的取值范圍的解題方法是：想方設(shè)法利用求導(dǎo)法建立導(dǎo)函數(shù)不等式或不等式組來求解。例1、全國理19.(本小題滿分12分)已知函數(shù) f

3、 (x) =x3+ax2+x+1, a R R .(I)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；、叱一、2 21L- (n)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 -內(nèi)是減函數(shù)，求 a的取值范圍.I 33；32解：(1) f(x)=x +ax +x+1 求導(dǎo):2 V 2 ot 2a 1 a 3f (x) =3x +2ax+1=3x+ I0, f (x)在R上遞增而當(dāng)a2 3時,f(x)=0求得兩根為x = 3工33即 f (x)在 |-0,魂一 a _3 遞增， a -3 ,a -3 遞減, I 3 J l 33)學(xué)習(xí)必備歡迎下載 TOC o 1-5 h z 又 f(x)在區(qū)間-,-i內(nèi)是減函數(shù)， ,33.1 211 -

4、a 一 Ja2 -3 -a + Ja2 -3一 一,一一尸 ,133、33,-a -Va2 -3 / 2332 2- 733,且 a 3解得：a -一a14才 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 33二、求函數(shù)參變量的值與在指定區(qū)間內(nèi)的極值、求函數(shù)多元參變量的值的主體思路是根據(jù)已知條件直接得到參數(shù)之間的關(guān)系式或者利用導(dǎo)函數(shù)條件與圖象性質(zhì)得到特殊關(guān)系、然后得方程或方程組求解。而在指定區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的極值時，則需首先要討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，特殊情況還需在給定條件范圍內(nèi)構(gòu)造新的函數(shù)，然后通過討論新的構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，找到構(gòu)造函數(shù)的增減區(qū)間，進(jìn)而找到該函數(shù)的極

5、值點，再求得函數(shù)的極值。例2. ( 08福建文21).已知函數(shù)f (x) = x3+mx2+nx-2的圖像過點(-1, -6),且函數(shù)g(x)= f(x)十6x的圖像關(guān)于y軸對稱。(1)求m,n的值及函數(shù)y = f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a0,求函數(shù)y= f (x)在區(qū)間(a1,a+1)內(nèi)的極值。解：(1)由函數(shù)f (x)圖像過(-1,-6),得m-n=-3,由 f (x) =x3 +mx2 +nx - 2,得：f (x) =3x2 +2mx + n2m 6而g(x)=3x2+(2m+6)x+n圖像關(guān)于y軸對稱，所以： -2M3 =0，即m=-3,代入得n=0于是 f (x) = 3x2-

6、6x=3x(x-2).由 f (x)得 x2 或 x0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0), (2, +8)；由 f (x)0 得 0Vx2,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).(n )由(I )得 f (x)=3x(x-2),令 f (x) = 0 得 x=0 或 x=2.當(dāng)x變化時，f (x)、f(x)的變化情況如下表：X(-8.0)0(0,2)2(2,+ )f (x)+0一0十f(x)學(xué)習(xí)必備歡迎下載極大值極小值由此可得：當(dāng)0a1時，f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極大值f(O)=-2，無極小值；當(dāng)a=1時，f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值；當(dāng)1a3時，f(x)在(a-1,a+

7、1)內(nèi)無極值.綜上得：當(dāng)0a1時，f(x)有極大值2,無極小值，當(dāng)1a3時，f(x)無極值.2例3 (08湖南理21)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)- -p(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若不等式(1 +1)n4a e對任意的nw N*都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)) n求ct的最大值.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(1,也),f (x)=一2 一 一2 一2ln(1 x) x 2x 2(1 x) ln(1 x) - x - 2x21 x (1 x)2(1 x)設(shè) g(x) =2(1 +x)ln(1 +x) x2 -2x,貝U g (x) = 2ln(1 + x) 2x.“ 一一

8、一2-2x令 h(x)=2ln(1 +x)2x4Uh (x)=_2=x當(dāng)1x0, h(x)在(-1, 0)上為增函數(shù),當(dāng)x0時，h(x)0, h(x)在(0,收)上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而 h(0)=0，所以g(x) 0(x#0),函數(shù)g(x)在(-1,y)上為減函數(shù) 于是當(dāng)1cxg(0) =0,當(dāng) x0 時，g(x)cg(0)=0.所以，當(dāng)-1 x0, f (x)在(-1, 0)上為增函數(shù).當(dāng)x0時，f(x)0, f(x)在(0,收)上為減函數(shù).故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,).(n)不等式(1 -)n an11We等價于不等式(n+a

9、)ln(1 +一)1知,學(xué)習(xí)必備歡迎下載1a -1ln(1 -) n一 n.11設(shè) G(x) = ,xw(0,1,則ln(1 x) xG (x)=2 -(1 x)ln (1 x) x(1 x) ln2(1 x) -x2x2(1 x) ln 2(1 x)2由(i)知，ln2(1+x)一xW0,即(1+x)ln 2(1 + x) x2 W0.1 x所以 G(x) ：:0, x(0,1,于是G(x)在(0,1 上為減函數(shù).1故函數(shù)G (x)在(0,1上的最小值為 G(1) = -1.所以a的最大值為-1.ln2三、利用導(dǎo)數(shù)法求解解析幾何問題與應(yīng)用題、 導(dǎo)函數(shù)的幾何意義在于導(dǎo)函數(shù)在該點的值是原函數(shù)在該

10、點和切線的斜率，于是利用導(dǎo)數(shù)法求解解析幾何問題，就是要利用這一斜率與已知條件結(jié)合起來，使問題得到簡化。而利用導(dǎo)函數(shù)求解應(yīng)用題一般落實在函數(shù)建模和利用求導(dǎo)法判斷所建模型函數(shù)的增減區(qū) 間與極值點來簡化求解過程。例6 ()設(shè)函數(shù)f(x)=axb，曲線y=f(x)在點(2, f(2)處的切線方程為7x 4y12 = 0。 x(1)求y = f (x)的解析式;(2)證明：曲線y= f(x)上任一點處的切線與直線 x = 0和直線y = x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值。21.解:(I)方程 7x4y 12 =0可化為 y =-x-3.4 TOC o 1-5 h z 1b當(dāng) x=2 時，丫=一.又

11、(乂)=2十二 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 2x2_ b 12a 一 = 一，(.2 2a = 1,22 解得b 7b=3.a 十一=一，4 4一一 3故 f (x) = x - 一 x學(xué)習(xí)必備歡迎下載(n)設(shè)P(xo, yo)為曲線上任一點，由程為3y，= 1+F知曲線在點P(Xo, yo)處的切線方 xy-yo = 1+ (x -xo)，xxo J口. 33 W 3即 y - Xo - = 1+ I(x-Xo) . 1O)層，則每平方米的平均購地總費用、 建筑總面積建筑費用為56O+48x (單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費

12、用最少，該樓房應(yīng) 建為多少層？(注：平均綜合費用 =平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用17.【考查分析】本題考查函數(shù)及求最值問題。解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為f(x)元，則216O 1OOOO1O8OO/f (x) = (56O +48x )= 56O + 48x +(x 1 ,Ox = Z )2OOOxx1O8OOf(x)=48x令 f (x) =O 得 X =15當(dāng) x15 時，f(x) AO;當(dāng) Ox15 時，f(x)O因此當(dāng)x=15時，f(x)取最小值f(15)=2OOO答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層學(xué)習(xí)必備歡迎下載四、利用導(dǎo)數(shù)法解函數(shù)證明題和函數(shù)與

13、數(shù)例綜合題本類考題是高考數(shù)學(xué)題中綜合性最強(qiáng)，難度最大的考題之一，通常以證明變量的相 等關(guān)系或不等關(guān)系為主，證明時要注意到參變量與函數(shù)在條件區(qū)間中與其他變量的關(guān)系， 結(jié)合等式或不等式的性質(zhì)來證明等量或不等量關(guān)系。而利用導(dǎo)數(shù)法解函數(shù)與數(shù)例綜合題 時，則要注意尋找數(shù)列公差、公比、求和、遞推等知識點與函數(shù)性質(zhì)來綜合求解。 TOC o 1-5 h z 19 o例4 (08湖南又21).已知函數(shù)f (x) = X +X - X +CX有三個極值點。42(I)證明：-27 c5;(II)若存在實數(shù)c,使函數(shù)f (x)在區(qū)間a,a+2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。1 439 2 HYPERLINK l book

14、mark40 o Current Document 斛：(I)因為函數(shù)f(x)=-x+X -X +CX有三個極值點， 42所以f(x) = x3+3X2 9x+c = 0有三個互異的實根.32.2設(shè) g(x)=x +3x _9x+c,則 g (x)=3x +6x 9 =3(x+ 3)(x1),當(dāng)x0, g(x)在(一8，3)上為增函數(shù)；當(dāng)3x1 時，g(x)1時，g(x)0, g(x)在(1,收)上為增函數(shù)；所以函數(shù)g(x)在x = -3時取極大值，在x=1時取極小值.當(dāng)g( 3) W0或g(1” 0時，g(x) = 0最多只有兩個不同實根.因為g(x) =0有三個不同實根，所以g(3)0且g

15、(1)27，且 c5,故一27c5.(II)由(I)的證明可知，當(dāng) 27c5時，f(x)有三個極值點.不妨設(shè)為 Xi, X2, X3 (X1X2X3),則 f x) =(X-Xi)(X-X2)(X-X3).所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 r, Xi,X2,X3若f (X)在區(qū)間b,a+2上單調(diào)遞減，則 b,a+2u（，x1,或 b,a+2u x2,x3,學(xué)習(xí)必備歡迎下載若 a,a +2=(，X,則 a + 2 Ex1.由(I)知，x1 一3,于是 a -5.若 a,a +2 止X2, X3,則 a 之 X2且 a 十2 E % .由(I)知，3x21.又 f (X)= x3 +3x2 -9x +

16、 c,當(dāng) c 二 一27時，f (x) = (x 3)(x +3)2;2當(dāng) c=5 時，f(x)=(x +5)(x -1).因此，當(dāng)27cc5 時，1 x3 3.所以 a a3,且 a+2 W3.即3a1.故 a -5,或與 a1.反之，當(dāng) a 5,或3 a 1 時，總可找到cw(27,5),使函數(shù)f(x)在區(qū)間la,a+2上單調(diào)遞減.綜上所述，a的取值范圍是(-cO, . S)-3,1)129例5 (08福建理)已知函數(shù) f (x) = x3 + x2 2 .32(I)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，刖 n項和為Sn,其中a1=3.若點(an,an中2an書)(nCN*)在函數(shù)y=f (x)的圖象上

17、，求證：點(n, Sn)也在y=f (x)的圖象上；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1, a)內(nèi)的極值.1 。斛：(I )證明：因為 f(x)=x +x -2,所以 f (x)=x +2x,3由點(an,a2卡2an書)(n w N方在函數(shù)y=f (x)的圖象上,2-2信 an 由 2an 書=an - 2an , 即(an+ +an)(Hn 由 - an -2) = 0,又an A0(nW N4),所以烝+ 烝=2 ,又因為a1 = 3 ,所以 &=3口+n(n1)M2=n2+2n,又因為 f，( n)= n2+2n,所以 Sn = f(n),2故點(n,Sn)也在函數(shù)y=f (x)的圖象上.(n:f(x)=x2+2