高三數(shù)學復數(shù)的概念、復數(shù)的三角形式、復數(shù)的幾何意義知識精講

1、高三數(shù)學 復數(shù)的概念、復數(shù)的三角形式、復數(shù)的幾何意義知識精講,復數(shù)的概念.復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念.兩復數(shù)相等的充要條件a bi =c di a = c且b = d (a,b,c, d 三 R).復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)的充要條件設 z =a +bi (a,b E R),則z 三 R：= b = 0= z = Z;小虛數(shù)u b 0;小純虛數(shù) u a =0 且 b #0u z+Z = 0 (z#0).共軻復數(shù)的概念和性質(zhì)z 二z;2z z =|z 2 = z ;z =a bi(a,b 三 R) = z z =2a,z - z = 2bi.zrrz；=i+z2 (可推廣到有限個)；zi -z

2、2 uzi -z2 ；嬴=z z2 (可推廣到有限個)。，z1 、 z1 ,、( )= (z2 #0).z2 z25.復數(shù)的輻角和模的性質(zhì)，向量長度復數(shù)輻角的概念及輻角主值范圍；復數(shù)模的性質(zhì)：a bi = .a2 b2z =|z|;|zi 平 +z21半| + z2 ；zi 引=zi Z ;zi|zj, =H(z2 /0).z2% I.復數(shù)的三角形式.復數(shù)三角形式的特點；.復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化；.復數(shù)的模和輻角(主值)復數(shù)的輻角或輻角主值及其范圍的確定有以下三種常用的方法:(i)將一個復數(shù)表示為三角形式后再確定；(2)利用復數(shù)乘除法的幾何意義；(3)利用復數(shù)與復平面上的點或向量的對應

3、關系及數(shù)形結合，轉(zhuǎn)化為幾何問題。.注意以下兩點：(1)復數(shù)z =r(cos8+i sin是一個三角形式所必須滿足的三條件：(a) r 0; ( b) z的實部是 r cos0,虛部是 r sin8;(c)它們分別是同一個角的余弦和正弦。(2)復數(shù)輻角主值的范圍是0Margz2n在解題時，必須注意這一點。(三)復數(shù)的幾何意義.主要內(nèi)容(1)掌握復數(shù)在平面上的幾何表示；(2)熟悉復平面內(nèi)常見的軌跡的復數(shù)方程，加深對復數(shù)的模及輻角概念的直觀理解。.重點難點(1)復平面上的圖形和軌跡問題，即如何根據(jù)復數(shù)z所滿足的條件來確定其對應點集的圖形和軌跡。(2)探求復平面內(nèi)點集的形狀或軌跡一般有以下兩條途徑：設

4、z=x+yi(x,y WR)根據(jù)條件求得關于x,y方程(即軌跡的普通方程)；結合復平面上的基本軌跡方程，運用整體思想，尋求復數(shù)z所具有的特征或滿足的方程。0高考點撥+ i,求 z1，z2值。211.(上海局考題)已知復數(shù)z1，z2湎足。=z2 =1且。+z2 =-解析由題意可設 z1 =cos_i 1 i sin _：,z2 = cos - i sin -.z1z2=1 史22i, TOC o 1-5 h z -1/、cos +c o s =-,（1）2c J3s i m +si n=.（2）22由（1） 2 + （2） 2 得 cosXP）= 1 ,21 即 c o sc o s+s i n

5、s i n=一一，（3）2,、，口二二 1 ,、由（1）得 2co sc o s= 一，（4）22/ 、由（2）得 2 s i nco s=,（5）士( 4)得 tan * = 3,所以 cos(a + P) = -1, 221即 cosacosP-sin asm P =,(6) 2 (6)得 2sinasin 0=0,二 sin a =0或 sin P =0.將 sin : - 0代入(2)得 sin =23 又 sin : - 0, 2則cos :- 1將cos:-T代入(1)得。.1 .cosp= -一 而 cosot =-1 代入（1）得 2cos二-不合，舍去。2當sinp： 0同理

6、可得Z11.3. 十 i, 22Z2 =1,說明：本題主要考查了復數(shù)的模，三角形式以及有關三角恒等變換的知識，考查學生 的綜合思維和運算能力，對考生的數(shù)學素質(zhì)要求較高。2范題2 （ 1995 全國）求復數(shù) z +z的模和輻角。解析 z2 z=（cos i i sin R2 cos ? i sin= cos2 i isin2i cos 二 i sin= (cos2i cos R i(sin 2 t1 sin ?) TOC o 1-5 h z 3二二31二=2 coscos i (2 sin cos)22223 .3 .=2 cos (cos r i sin ”22I3 .3 ,-2 cos co

7、s(-二 R i sin(-二？)、E 三(二,2二)，.-(一,二)，-2cosm 0,222所以復數(shù)z2 +z的模為2cos。，輻角為(2k1) n +(k=Z) 22本題主要考查模與輻角的概念和求法，及基本運算能力。范題2 （ 1992 全國）已知復數(shù)z的模為2,則z-i的最大值為（）A. 1 B. 2 C. - 5 D. 3解析解法 1: 丁 z =2,z-i z +|i =3.故選D。_解法2：設區(qū)1 =z i貝Uco +i =z, co +i =|z =2而5表示以點（0, -1）為圓心，以2為半徑的圓，由圖2知，圓上到原點的距離以1OP 為最大，最大值是 3,故選D。說明：求模的

8、最值要注意模的幾何意義的應用。數(shù)形結合的思想方法在這里得到了完美的體現(xiàn)，考生應具備這方面的素養(yǎng)與意識。3. (96 全國 4)復數(shù)(2 +2i)(1 +J3i)A. 1C. 1 - 3B.D.-1. 3i-1 - 3i解析：方法一:1 - . 3i = 2(cos- -i 3sin )故(1 -弋13 )5 = 3255 二5 二cos i sin33._冗冗2 +2i =22 ( cos-十i sin -)故(2 +2i)3 25 =222故選B。(cosn +i sinn)= 4465 二5 二(2 2i)4(1 一 3i)5-2 (cos - i sin)方法二：原式16(1 十i) 4

9、2(2i)5 1-2 (-221、- 3一 - i-41.3i. 3 5i)2-4(1 一 ： 3i)4213 2(一-i)22=-13i22應選B。方法三：2+2i的輻角主值是45 =,則（2+2i） 4的輻角是180：, 1J3i的一個輻角是-60 。則(1 展)5的輻角是_300 所以(= 2a,1 =2a 2, a 1，所以 z 的頭部的 +5)：的一個輻角是480,它在第二象限(13i)5從而排除A、C、D選B o說明：本題主要考查了復數(shù)的基本概念和運算，有一定的深刻性，尤其是選擇項的設計，隱藏著有益的提示，考查了學生觀察問題、思考問題、分析問題的能力。W期蟄晨示22例1.設復數(shù) z

10、=lg(m -2m -2) +(m +3m+2)i ,試求頭數(shù)m 取何值時，(1)z是純虛數(shù)；(2) z是實數(shù)；(3) z對應的點位于復平面的第二象限。解:2 一 一 一lg(m -2m -2) =0/日(1)由=. o倚 m=3m2 3m 2-0由 m2 +3m +2 =0 彳#m =或m = -2Jg( m2 -2m -2) : 0由2m2 3m 2 0得-1 ： m ： 1 - 3或 1. 3 ： m 二、3說明：對復數(shù)的分類條件要注意其充要性對復數(shù)相等，共軻復數(shù)的概念的運用也是這 樣。例2.設z是虛數(shù)，co=z + 1是實數(shù)，但 -1 O b所以u為純虛數(shù)。,2b1 - a(3)解：

11、-u =2a -2 =2a -2(a 1)(a 1)a -1工2 一上I=2a -=2a 1 +=2.(a + 1)+ -3a+1a+11 a+1 _一， 1，因為 a =(- , 1),所以 a +1 0故6 -U2 2，2(a +1) -ah 3=4 3=1,1r一 一，2 一當a+1=1即a =0時s u取得最小值1說明：本題表面上是考查復數(shù)的有關概念，但實質(zhì)上是借復數(shù)的知識考查學生的化歸 能力、考查均值不等式的應用，綜合考查學生運用所學知識解決問題的能力是高考改革的 方向。例3,已知AABC的三內(nèi)角A、B、C滿足s i nA (colS coC)=siriB siC設復數(shù) z1 =co

12、s t1 i sin 二(0 ：二 t ：二二),(二 ).2Z2 = 2(cosB isinB),Z3 =2 (cosC i sinC)求 arg(Z1 z2)的值。Z3解：由 sin A (cos B+cosC) =sin B+sin C得B C = 2si nB -C cos2c . B C B -C2si rAc o s cos 22又 s i nA =2s i nA 2A c o s-2B C A s i n二 c o s-22.2 A 1 即J. si n =一 ,即22B C c o s2B -C cos2A=s in-2B Cc o s - 02JTA =一2 TOC o 1-

13、5 h z 從而生芻=_2 cosr(-) isi n-) Z32 _22-. Z Zo3當 00一時， arg()=+n2Z32當三8 cn時2Z1 z2. 二arg( ) - Z32說明：復數(shù)與三角有著極為密切的關系，將二者融合在一起考查，歷來為命題者所青 睞，本題的突破口在于對 sin A(cos B +cosC) =sinB +sinC的處理，一般要用和差化積或積 化和差公式。例4,已知復數(shù)z1，Z2的輻角分別為 日1，%,且4+Z2 =5i , Z1對=14，求cos(61 一日2)的解：設Z1 =1最值以及取得最小值的復數(shù)Z1,Z2OZ2 =2,且 r 0,2 0,由條件得:r1c

14、os& +r2 cos02 =0 (1)1rlsin a +r2 sin 日2 =5 (2)r1r2 =1 4(3)(1) 2 + (2) 2得r12 +r22 +2r1r2 cos(8 1 82)=2 5二 COS(TI1 - Ti2 )-222 5 (rJr22)22 8=2r1 r2 三 r12 8+ r22 (當且僅當r1 =r2=NV取等號、33即當r1 =r2 =4寸cos(0 1 一日2)取得取大值 一一，28當仇e2=(2k+1)Ti時，cos(e1 -e2)取得最小值 -1 此時 r12 r22 =53,222r1=7r1=2二(1+r2)=1+2+21r2=81=r1+r2

15、=9= V 或 Vr2=2|2 = 7Z1 =7iZ1 = -2i.或 ,Z2 二-2iz2 = 7i說明：復數(shù)與三角，復數(shù)與不等式的綜合是近幾年高考的熱點，解此類問題的關鍵是 復數(shù)問題化歸成實數(shù)問題來處理?！皩崙?zhàn)模擬.已知復數(shù)z二1十i求復數(shù)z 3z 6的模和輻角主值。Z 1.求復數(shù)1十(亙上)7的模及輻角主值。2一，一一7 1.已知復數(shù) z1,z2,滿足 z1 =1, z2 =1 且z1 +z2=-+-i,求21 -z2 的值。5 5.設 z z+ (1-2i)z+(1+2i) 3=3,(1)求z的最大值和最小值。(2)求復數(shù)z的實部和虛部之和的最大值和最小值。.已知 2z 內(nèi) +i 1

16、,(1)求|z|的最值；(2)求argz的取值范圍。參考答案 TOC o 1-5 h z 22z2 -3z 6(1 i)2 -3(1 i) 63 -i=-=1iz 11 i 12 i1 i 的模 r =、：12 +(_1)2 =應；-i對應點在第四象限，且輻角的正切值tan日=1,所以輻角主值為 日=.五，綜上所述4所求復數(shù)模為；2 ,輻角主值為7n. 4,3 i 7. ,z2 =cos12 i sin 12,cos61 +cos82) +i(sin a +sin02)sin，sin i212即 2 sincos22 cos22得 tan-1 - 22211 一力 cos2 tansin( /

17、)=5，(i)51二一F .1227. (2)1tan21 - tan2c o s?1%)=1 , tan22212口1 1222425.z1 z2 =cos(2) i sin(工 ,12)247=一 一 一 i.25 254.rJ5思1122 J1一丁)nn521111二()2 cos二 i sin -二366n=(-)2 (cos311n二.i sin11n ：;)06cos3二 06.11n 二sin =011=n 以二2k 二(k Z)6、612=n = k(k Z), 11:最小自然數(shù)n =12.5.(1)設2=*+丫1,由條件 z z+(12i)z+(1+2i) z = 3得(x+1)2十