高三數(shù)學一輪復習必備精品解三角形

1、20092010學年度高三數(shù)學(人教版A版)第一輪復習資料第27講解三角形一.【課標要求】(1)通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一 些簡單的三角形度量問題；(2)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際 問題。二.【命題走向】對本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù) 的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關角等問題。 今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結合實際應用 問題考察正弦定理、余弦定理及應用。題型一般為選擇題、填空題，也

2、可能是中、難度的解 答題BC三.【要點精講】.直角三角形中各元素間的關系：如圖，在 ABC 中，0=90 , AB=c, AC=b, =a。(1)三邊之間的關系：a2+b2=c2。(勾股定理)(2)銳角之間的關系：A+B=90 ;(3)邊角之間的關系：(銳角三角函數(shù)定義)a sinA= cosB=,c TOC o 1-5 h z bacosA=sinB= , tanA=一。 cb.斜三角形中各元素間的關系:如圖6-29,在 ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示 A、B、C的對邊。(1)三角形內(nèi)角和： A+B+ 0=兀。(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等口a

3、sin Absin B_ csin C= 2R。(R為外接圓半徑)(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余 弦的積的兩倍a2= b2+c22bccosA; b2= c2+a22cacosB; c2= a2+b22abcosC。.三角形的面積公式: TOC o 1-5 h z = aha= - bhb= - chc (ha、hb、hc分別表示 a、b、c上的高)； 222八 111 = abslnC= - bcslnA= - acsinB;222222人 a sin Bsin C b sinCsin A c sin Asin B=2sin(B C) 2si

4、n(C A) 2sin(A B)= 2R2sinAsinBsinC。 (R 為外接圓半徑)人 abc TOC o 1-5 h z =;4R人一丁。一c/1= qs(s a)(sb)(sc) ； s= (a+b + c)j；I 2；= r s。4.解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少有 一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形.廣義地，這里所說的元素還可以包括三角 形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.解三角形的問題一般可 分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形 是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜

5、三角形的主要依據(jù)是：設4ABC的三邊為a、b、c,對應的三個角為 A、B、C。(1)角與角關系：A+B+C =兀；(2)邊與邊關系： a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c b;(3)邊與角關系：正弦定理=_=2R ( R為外接圓半徑)；s i iA si rB si C余弦定理 c2 = a2+b2 2bccosC, b2 = a2+c22accosB, a2 = b2+c22bccosA;222它們的變形形式有:a = 2R sirA,sir A a 八 b c - a cos A =sir B b2bc5.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用

6、上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特(1)角的變換因為在 ABC 中，A+B+C=兀，所以 sir(A+B)=sirC ; cos(A+B)= cosC; tar(A+B)= tarC。, AB C A B . C .sir= cos 一 ,cos= sir ;2222(2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式$二蟲三%&inC二r* p二JpS9電8-4其申r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。(3)在4ABC中，熟記并會證明：/A,/B,/C成等差數(shù)列的充分必要條件是/B=60 ; ABC是正三角形的充分必要條件是/A, / B, / C成等差數(shù)列且a,

7、b, c成等比數(shù)列。四.【典例解析】 題型1 :正、余弦定理(2009岳陽一中第四次月考).已知 ABC中，AB = a , AC=b, a b 2.4 +1.4 =3.8, 2M 2X1.8 =3.6, . . a v c ,即 00 v A v 900,A =600.(2)由余弦定理的推論得:b2 c2 -a2cos A =2bcA 球56020,；D c2 a2 -b2cos B =87.82 161.72 -134.620.5543, 2 87.8 161.72ca134.62 161.72-87.82先U.8398,2 134.6 161.7B ： 32053 ；C =180 -(A

8、 B) :180 -(56020 32053) =90047：點評：應用余弦定理時解法二應注意確定A的取值范圍。題型2:三角形面積2例 3.在 &ABC 中，sinA+cosA = , AC = 2 , AB = 3,求 tan A 的值和 AABC 2的面積。解法一：先解三角方程，求出角 A的值。2sin A cos A = 2 cos(A -45 )=,1.cos(A -45 )=-.又 0，：A ;180 , . A-45： = 60, A =105：tanA =tan(45； 60) =1 3 =-2 -3 ,1 -一 3一 廠2 6sinA=sin105 =sin(45 60 )=

9、sin45 cos60 cos45 sin60 =4 TOC o 1-5 h z 1、2.63 Sbc = AC 父 AB sin A =黑 2 父3M= (V2 + 4 6)。244解法二：由sinA+cosA計算它的對偶關系式 sinA + cosA的值。2二 sin A +cosA =2 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 21(sin A cos A)=-2 sin Acos A 二 一一20 ； A ； 180 ,. sin A 0, cos A :二 0. , . AA、2，八. 3(sin A - cos A) = 1 - 2sin

10、A cos A =-.2.6 +得 s i A =6得 c 0用=顯一加。41A 市 s sin A ,2 .64-從而 tan A = = = -2 - . 3 cosA 4, 2 -，6以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？AC 例4. （ 2009湖南卷又）在銳角 AABC中，BC=1,B=2A,則的值等于cos AAC的取值范圍為答案 2（. 2, . 3）解析設ZA B =26.由正弦定理得ACBCAC . AC c-,=1- 二2.sin 21 sin 2c

11、oscos由銳角 ABC 得 0匕二 2 ，二 90； = 0：，二 45 ,又?；＃?3日 9030 9 60 ,故 30，0 45,二 cosQ ,22.AC =2cos9 (、,2,、,3).例5. （2009浙江理）（本題滿分 14分）在AABC中，角A, B,C所對的邊分別為 a, b, c ,.一 A 2 5 1且滿足 cos,=管,AB AC = 3 .(I)求MBC的面積； (II)若b+c = 6,求a的值.A 2、5(1)因為 cos一 =,252 A34Tr -，cosA = 2cos 一 一1 =一 ,sin A =,又由 AB AC = 32551 .得 bc co

12、s A = 3,，. bc = 5 ,二 S&BC = bcsin A = 2(2)對于 bc=5,又 b+c=6, J. b=5,c = 1或 b = 1,c=5,由余弦定理得a2 = b2 c2 - 2bc cos A = 20 , a = 2 5例6. （2009全國卷I理）在 AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為 a、b、c ,已知22a -c = 2b ,且 sin AcosC =3cos Asin C,求 b22分析：此題事實上比較簡單，但考生反應不知從何入手.對已知條件（1）a -c = 2b左側是二次的右側是一次的，學生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件（2）sin A

13、cosC = 3cos Asin C,過多的關注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，導致找不到突破口而失分.解法一：在 MBC中sin AcosC =3cosAsin C,則由正弦定理及余弦定理_222.2(a c ) = b .又由已知a2 b2 c2b2 c2 a2,有：a住一 =3 1c,化簡并整理得: TOC o 1-5 h z 2ab2bca2 -c2 =2b. 4b =b2.解得 b =4或b = 0(舍).解法二：由余弦定理得：a2c2 = b22bccos A.又 a2c2 = 2b ,b / 0 .所以 b=2ccosA+2又 sin AcosC

14、 =3cos Asin C ,二 sin AcosC + cos Asin C = 4cos Asin Csin（ A+C） =4cos Asin C ,即 sin B =4cos Asin Cb .由正弦te理得sin B =2sin C ,故b =4ccosAc由，解得b =4.評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應注意總結、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練題型4:三角形中求值問題B C例7. AABC的二個內(nèi)角為 A、B、C ,求當A為何值時，cos A+2cos取得最大2值

15、，并求出這個最大值。解析：由 A+B+C=兀，得B+C=-|- -A,所以有 cosB+C =sinpcosA+2cos.2c =cosA+2sin2=12sin2 2 + 2sin2 = 2（sin2 ：）2+ 2；當sinA = 1,即A=。-時，cosA+2cosB+C取得最大值為 日。 22322點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三 角函數(shù)的性質(zhì)求得結果。例8. （2009浙江文）（本題滿分 14分）在AABC中，角A, B,C所對的邊分別為a,b,c ,“ A 2 5且滿足 cosA=35, AB AC =3.25(I)求MBC的面積;(II)

16、若c=1,求a的值.解(I) cos A = 2 cos2 A_i=2 (25)2一1=3255又 A w (0, n) , sin A =，1 - cos2 A = 4 ,而 AB.AC =5,一11bc=5,所以AABC的面積為： bcsinA=父5乂22(n)由(I)知 bc =5 ,而 c=1 ,所以 b =5所以 a = Jb2 c2 -2bccosA = +25 1 -2 3 =2.5AB. AC .cosA =3. 一bc = 3,所以5點評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關系、兩角和與差的三角函數(shù)的 公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力 題型5:三角形中的三角

17、恒等變換問題例9.在4ABC中，a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對邊長，已知 a、b、c成等比數(shù)歹U, 且a2c2=acbc,求/ A的大小及bsnB的值。分析：因給出的是ca、b、c之間的等量關系，要求/A,需找/ A與三邊的關系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為-=a,再用正弦定理可求解法一：.a、cb、c成等比數(shù)列，. b2=ac?；匦l(wèi)的值。c又 a2c2=acbc,，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得:.22“ b ccosA=2bc此=1, .A=60 。2bc 2在4ABC中，由正弦定理得.bsin B b2sin 60- =sin60c解法二：在4acAB

18、C 中,bsin A 2/ osinB=, . b =ac, / A=60 ,a3 =2由面積公式得1 bcsinA= 1 acsinB。22 b2=ac, / A=60 , bcsinA=b2sinBo,bsin B3 =sinA=。2評述：解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用 正弦定理。A 例10.在 ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tan 十2,C iA, Ctan +43 tan tan 的值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又 A+B+0=180 ,所以A+C=120 ,A C從而=60 ，故tan2A C=- 3 .由兩角和的正切公式,2A

19、. C tan tan 一 得 2八2/3o TOC o 1-5 h z AC- tan tan2：/3 tan tan , 22AC所以 tan tan 一 = . 3 -22,A , CA,C-tan tan 3 tan tan = , 3。2222點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。題型6:正、余弦定理判斷三角形形狀例11 .在 ABC中，若2cosBsinA=sinC,則4 ABC的形狀一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin (A+B)

20、+ sin (A B)又2sinAcosB= sinC,.sin (A B) = 0, .1. A= B點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例12. (2009四川卷文)在AABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b c,且sinA=JsinB=0510(I)求A + B的值；(II)若 a b = J2 -1 ,求 a、ts c 的值。解(I) A、B為銳角,5.10sin A = ,sin B =510，cosAiFI一述 cosB=，= TOC o 1-5 h z 5102.5 3 10.5. 102cos(A B)

21、 = cos Acos B -sin Asin B = 二5105102冗 A B =4(II)由(I)sin C = 22, a由sin Asin Bc得 sin C75a = 00b =夜c,即 a= -；2b,c =，/5b又 ab =、.21、2b - b = 2- 1b =1題型7:正余弦定理的實際應用例13. （2009遼寧卷理）如圖,A,B,C,D都在同個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D角分別為75, 300,的仰角均為60, AC=0.1km。試探究圖中B,于水面C處測得B點點的仰D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B, D的

22、距離（計算結果精確到 0.01km, 72球1.414, 爬 上2.449）解:在 ABC 中，/ DAC=30 , Z ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/BCD=180 60 60 =60,故CB是ACAD底邊AD的中垂線，所以 BD=BA ,在4ABC中,ABACsin ZBCAsin /AB C 即 AB=sin 15ACsin603：2 f 6203J2 、：6因此，BD=七六皿33。故B, D的距離約為0.33km。點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學習，又近年加強數(shù)形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，

23、只要掌握基本知識、 概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關系即可過關。（2） （ 2009寧夏海南卷理）（本小題滿分 12分）為了測量兩山頂 M, N間的距離，飛機 沿水平方向在 A, B兩點進行測量，A, B, M, N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A, B間的距離，請設計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；用文字和公式寫出計算M, N間的距離的步驟 4:一.口 R 解：方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M, N點的俯角；B點到M,-1, 1N的俯角,且；A , B的距離d （如圖所示）第一步：計算 AM .由正弦定理 AM = dsin2sin

24、（二 1 二二2）第二步：計算AN .由正弦定理AN 二d sin ：2sin（ & - ：i）第三步：計算 MN.由余弦定理MN = AM 2 AN2 -2AM AN cos（： 1 - -1）.方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有:A點到M, N點的俯角叫 , P1M , N點的府角u2 , P2 ； A, B的距離d （如圖所示）.第一步：計算BM .由正弦定理BMsin（1 1 匕 2）第二步：計算BN .由正弦定理BN =sin（ & - :i）第三步：計算 MN.由余弦定理 MN =JBM2 + BN2 -2BM x BN cos(P2+a2) 21. （2009四川卷文）在AABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,口, 5、1010且 sin A =,sin B =(I)求A + B的值;(II)若 a b = J