水力學-水靜力學

1、第一章水靜力學考點一靜水壓強及其特性1、靜水壓強的定義：靜止液體作用在受壓面每單位面積上的壓力稱為靜水壓強。2、靜水壓強的特性：（1）靜水壓強垂直于作用面，并指向作用面的內部；（2）靜止液體中任一點處各個方向的靜水壓強大小相等?？键c二幾個基本概念1、絕對壓強：以絕對真空為零點計量得到的壓強，稱為絕對壓強，以Pabs或p表示;2、相對壓強：以當地大氣壓作為零點計量的壓強，稱之為相對壓強，用p表示。3、真空與真空度：（1）真空現象：如果p W0，稱該點存在真空；（2）真空度：指該點絕對壓強小于當地大氣壓的數值。Pk = Pa - p = |P|4、相對壓強與絕對壓強之間的關系：P = P - PP

2、n卜NiPNo 相對壓強計算基準面pLI11t1PkOClaO絕對壓強計算基準面5、壓強的表示方法:1 (atm) = 10 (mH2O) = 98000 (N/m2)= 98 (kN/m2)=736 (mm 汞柱)考點三 液體平衡微分方程式（Euler方程）1、微分方程：液體平衡微分方程式，是表征液體處于平衡狀態(tài)時作用于液體上的各種力之間的關 系式。P = P X合X d = P y合ym = p zl o z2、綜合表達式一一壓強差公式：dp =蟲dx + 迪dy + 蟲dz = p (Xdx + Ydy + Zdz)OxOyOzdp = p (Xdx + Ydy + Zdz)3、積分結果

3、：若存在一個與坐標有關的力勢函數U(x,y,z),使對坐標的偏導數等于單位質量力在坐標投影，即X衛(wèi)OxY =OUOy7_OUZ Oz可得dp =竺 dx +OxOU , dy +OyOUdz = p (Xdx + Ydy + Zdz) = pd U Ozdp = p dU積分上式得到：p = p U + C或者P=P0 + p (U -U0)式中，為自由液面上的壓強和力勢函數?？键c四等壓面1、定義：靜止液體中壓強相等的點所組成的面稱為等壓面。2、等壓面方程：在等壓面上，dp - 0，等壓面的方程為Xdx + Ydy + Zdz 03、等壓面的特性：（1）在等壓面上，p=c；（2）等壓面與質量力

4、的方向正交；（3）等壓面也是等勢面。舉例1：如果液體在靜止狀態(tài)下，也即，作用于液體上的質量力只有重力，那么就局部范圍，等壓面一定是 一個水平面；就一個大范圍講，等壓面是一個處處與地心正交的曲面。舉例2：旋轉液體中的相對平衡。一個盛有液體的原容器，以定常角速度繞鉛垂軸旋轉，液面的形狀是一個旋轉拋物面。等壓面是旋轉拋物面。舉例3：作等加速直線運動的容器中液體相對平衡，液面是一個斜平面。等壓面是傾斜平面?？键c五 重力作用下液體的平衡1、 壓強計算公式：p = P0 +Y h特性：（1）P0等值的傳到液體內任一點；（2）p隨h成線性變化。2、 水靜力學基本方程：z + - = C 或 z1 + P =

5、 z2 + PY12式中，P0為液面壓強；h為所測點在自由液面以下的深度；7為液體重度；z為液體內任一點距 基準面的距離；C為常數。3、物理意義：平衡液體內部同種液體任意兩點測壓管水頭相等。z位置水頭，表征單位重量液體所具有的位置勢能；p-壓強水頭，表征單位重量液體所具有的壓強勢能；7z+P測壓管水頭，表征單位重量液體所具有的總機械能。7考點六幾種質量力同時作用下液體的相對平衡1、.等角速旋轉運動圖示為盛有液體的開口圓桶，設圓桶以等轉速繞其鉛垂軸旋轉，將坐標系取在運動著的容器上，原 點取在旋轉軸與圓桶底面的交點上，Z軸垂直向上。則有（1）等壓面方程：O 2 r 2-乙+ c乙（旋轉拋物面）2

6、g（2）壓強分布方程：p 2 r 2 八 z + -= CY2 g（3）壓強計算公式：p = p 0+y h （壓強分布規(guī)律與僅有重力作用下時相似）式中，為角速度；,為欲測壓強點到旋轉軸的距離；Z為任一點的垂直坐標，Z軸向上為正，向下為 負；力表示任一點在自由液面以下的深度。注意：公式不需要死記，重點掌握推導過程!2、等加速直線運動圖示為一水箱，沿著與水平面成a角的斜面以等加速度。作直線運動，設作用于液面的壓強為p0, 取如圖所示的坐標系，則有：（1）等壓面方程：（2）壓強分布方程:（3）壓強計算公式:z = 一。cs以尤+ C（傾斜平面）a sin 以 + gp - p - (y / g)a

7、 cos ax + (a sin a + g )z0p=p+yh（壓強分布規(guī)律與僅有重力作用下時相似）式中，h表示任一點在自由液面以下的深度。注意：公式不需要死記，重點掌握推導過程!考點七 作用于平面上的靜水總壓力1、作用于矩形平面上的靜水總壓力（特殊情況）（1）靜水總壓力的大?。篜 = S b = V式中，S 靜水壓強分布圖的面積b矩形平面的寬度V靜水壓強分布圖的體積（2）靜水總壓力的方向：垂直指向作用面。（3）靜水總壓力的作用點：通過靜水壓強分布圖的形心。2、作用于任意平面上的靜水總壓力（一般情況）圖示為一任意形狀平面EF傾斜置放于水中，與水平面的夾角為a平面面積為A，平面形心點為Co（1

8、）靜水總壓力的大?。篜 = p A =yh A式中，Pc該平面形心點的壓強A平面的面積h 平面形心點c在液面下的淹沒深度（2）靜水總壓力的方向：垂直指向作用面。（3）靜水總壓力的作用點（壓力中心）：（壓力中心在形心點以下）LD = L + I /（L A）壓力中心距形心的距離為e = L L = I /（L A）D c c c式中，L為平面EF形心點c距泌軸的距離；氣為平面EF形心點c在液面下的淹沒深度；LD為壓 力中心距泌軸的距離；e為偏心距；I為平面EF對通過其形心c并與ob軸平行的軸的面積慣性矩， 對于矩形斷面I = bL3/12,對于圓形斷面，I =兀&4/4?？键c八作用于曲面上的靜水

9、總壓力求曲面上的靜水總壓力P，可將總壓力分為水平分力Px和垂直分力Pz，然后求其合力P。1、靜水總壓力的水平分力（1）大?。鹤饔迷谇嫔系撵o水總壓力的水平分力Px，等于作用在該曲面的鉛垂投影面Ax上的靜 水總壓力。P = p A =y h A（2）方向和作用點：方向垂直指向鉛垂投影面Ax；水平分力Px的作用線應通過Ax平面的壓力中 心。2、靜水總壓力的垂直分力（1）大?。红o水總壓力的垂直分力Pz的大小等于壓力體的水重，即P =y V式中，V為壓力體的體積。（2）方向：實壓力體垂直分力P的方向向下；虛壓力體P的方向向上。（3）作用點：垂直分力Pz的作用線，應通過壓力體的體積形心。3、壓力體（1）

10、壓力體的畫法：壓力體由下列周界所圍成：（a）受壓曲面本身；（b）液面或液面的延長面；（c）通過曲面邊緣向液 面或液面的延長面所作的鉛垂平面。（2）實壓力體：當液體和壓力體位于曲面同側時，此時的壓力體稱為實壓力體，垂直分掙的方z向向下；（3）虛壓力體：當液體及壓力體各在曲面一側時，這個想象的壓力體稱為虛壓力體，貝四的方向z向上，如圖所示。（a）（b）4、曲面上的靜水總壓力的大小、方向及其作用點由力的合成原理，曲面上的靜水總壓力的大小為P =弋+ P；靜水總壓力與水平面之間的夾角為tan a = P / Px典型例題【例1】一容器中有三種不同的液體，Y1 72 v*，如圖所示。試求：（1）三根測壓

11、管中的液面是否與 容器中的液面齊平，如不齊平，試比較各測壓管中液面的高度？71 = 7.62kN/m2、y 2 = 8.56軟血2、y = 9.8kN/m2，a = 2.5m、a = 1.5m、a = 1m 時求匕、h2 和 h3。圖中1-1、2-2、3-3三個水平面是否都是等壓面？解：（1）已知y 1 y2 y3，由習題2.49的推證可 知，三根測壓管中的液面不齊平。由于第一根測 壓管中的液體與油箱中的液體為同一種液體，且 上面只有一種液體，所以第一根測壓管中的液面 與水箱中的液面同高。其余測壓管中的液面均低 于水箱的液面，且第三根測壓管中的液面低于第 二根測壓管中的液面。求h1、氣和 h3

12、 對于第三根測壓管，有y a +y a +y (a -Ah ) =y (h -Ah )1 12 2333333伉 + a = 7.62 2 25 + 856 1.5 +1 = 4.254mY 339.89.8(1)對于第二根測壓管，有Y a +Y (a -Ah ) =Y (h -a -Ah )112222232h =W + a + a =二62 x 2.5 +1.5 +1 = 4.725m2y 223 8.561(2)對于第一根測壓管，有h = a + a + a = 2.5 +1.5 +1 = 5m(3)(3)求等壓面由圖中可以看出，只有3-3面為等壓面?！纠?】矩形木箱長3m，靜止時液面離

13、箱底1.5m， 現以a=3m/s2的加速度水平運動，試計算此時液 面與水平面的夾角以及作用在箱底的最大壓強與 最小壓強。解：已知加速度的方向與x的方向一致，則慣性 力的方向與加速度的方向相反。在x、y、z方向的單位質量力分別為X=-a、件0、Z=-g。由靜止液體的平衡方程得dp =p (Xdx + Ydy + Zdz)dp = p(-adx - gdz) = -Y / g(adx + gdz)對上式積分得p = -Y / g(ax + gz) + C下面確定積分常數C，在坐標原點，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa。由此得 p = pa -Y / g (ax + gz)在自由表面，p=p

14、a，由上式可得tana = z / x = a / g = 3/9.8 = 0.306則a = arctana = arctan0.306=17.02下面求箱底的最大壓強和最小壓強。由圖中可以看出，在A點壓強最大，x=-1.5、z=-1.5； B點壓 強最小。x=1.5、z=-1.5。如果不考慮大氣壓強，則p=-p (ax + gz) = -1 x (3 x (-1.5) + 9.8 x (-1.5) = 19.2kN/m2A maxp=-p (ax + gz) = -1 x (3 x (1.5) + 9.8 x (-1.5) = 10.2kN/m2【例3】設有一盛滿水的容器，在蓋板中心開一

15、小孔，如圖所示。已知容器的高度為H，繞鉛垂 軸旋轉的角速度為力，試求容器蓋板及底部的壓 強分布，并求蓋板上的靜水總壓力。解：當容器以等角速度刃沿鉛垂軸旋轉時，相對壓強 為零的等壓面如圖中的虛線所示，因為蓋板的阻 擋，迫使水面不能上升，蓋板上各點所受的相對 壓強為在蓋板的中心，p = 0，在蓋板的邊沿，p =計2r02/(2g)。其方向鉛垂向上。 TOC o 1-5 h z 2 r 2、容器底部各點所受的壓強為P= ( + H)2g 2 r 2、在容器的中心，p =yH，在容器的邊沿，p =y(0 + H)。其方向鉛垂向下。2 g作用在蓋板上微小面積的壓力為,2 r 2,2兀 ，dP = pdA

16、 = y (2 兀 rdr) = y r 3 dr2兀r 44g 0對上式積分得蓋板上的靜水總壓力為P = j r0 pdA = y J j r0 r 3 dr = y0g 0【例4】圖9.8=乙 x 2(h -1) x 2.5 x 1 = 24.5(h -1)2【例4】一可在o點旋轉的自動矩形翻板閘門， 其寬度b=1m，如圖所示。門重G=10kN，求閘門 打開時的水深h。解：閘門的長度為 AB =i：22+ 1.52 = 2.5m，閘門鉸的位置距B點1m，BC=1.25m。作用在閘 門上的靜水總壓力為P = ；(h - 2 + h)AB x b總壓力作用點距B點的距離為2.5 2(h - 2

17、) + h 2.5 3h - 4 e =3 h - 2 + h 6 h -1已知閘門自重G=10kN，閘門中心距o點的垂直距離為(1.25-1)xcos 53.13=0.15m,要使閘門在o點旋轉， 其壓力作用點必在o點以下，對o點取力矩為P(1 - e) = G x 0.15 = 10 x 0.15 = 1.5即由上式解出h=2.422m。2.5 3h 424.5(h 1) x (1 ) = 1.56 h 1【例5】圓弧門如圖所示，門寬b=2m，圓弧半徑R=2m,圓心角 此0,上游水深H=5m,試求：（1） 作用在閘門上的水平總壓力及作用線位置；（2）作用在閘門上的鉛直總壓力及作用線位置；（

18、3）忽略門 的重量，求開門所需的力F；（4）求作用于鉸鏈o的力矩。解：（1）水平方向的總壓力和作用點水平方向的總壓力為P = 2y （H R + H）Rb = 2 x 9.8 x （5 2 + 5） x 2 x 2 = 156.8kN（a）【例5】R 2(H R) + H e =3 (H R) + H作用點距閘底的距離e為2 x (5 2) + 5 = 0.917m(5 2) + 5作用點距水面的距離hD為hD = H e = 5 0.917 = 4.083m（2）鉛垂方向的總壓力和作用點壓力體如圖所示，由圖可得V = （H R） Rb + 亞 b = （5 2） x 2 x 2 + 1 x

19、2 = 18.2832m344鉛垂方向的總壓力為Pz =y V = 9.8 x 18.283 = 179.175kN（3）作用在閘門上的靜水總壓力為P = *P 2 + P 2 = 156.82 +179.1752 = 238.11kN方向角p = arctan（P /P ） = arctan179.175/156.8） = 48.81由于靜水總壓力的作用線通過圓心，由作圖法，求得鉛垂方向的總壓力距o點的距離為0.947m。（4）求開門所需的力FF = P = 179.175kN（5）求作用于鉸鏈o的力矩由于靜水總壓力的作用線通過圓心，所以靜水總壓力的力矩為0?！纠?】有一球形容器由兩個半球鉚

20、接而成，下半球固定，容器中充滿水，如圖所示。已知h=1m，D=2m，如果下半球固定不動，求全部鉚釘所受的力，如果上半球的重量G = 5kN ,求作用在鉚釘上的拉力T 。如果上半球固定，求全部鉚釘所受的力。（a）（b）（c）【例6】圖解：（1）如果下半球固定，壓力體如圖（b）所示。鉚釘所受的全部力F = P上，壓力體的體積為V =-冗d2(- + h) -11 冗d3 =1 x兀 x 22(2 +1) - x冗 x 23 = 4.189m3上 42264212全部鉚釘所受的力為P 上=F =y V上=9.8 x 4.189 = 41.05kN如果有n個鉚釘，每個鉚釘所受的力為Fin。（2）如果下

21、半球固定，上半球的重量G = 5kN，求作用在鉚釘上的拉力TT = P 上一G = 41.05 5 = 36.05kN（3）如果上半球固定，壓力體如圖（c）所示，鉚釘所受的全部力T = P下，壓力體的體積為V = 1 Kd2（d + h） +11 兀d3 = 1 x 兀 x 22（2 +1） + x 冗 x 23 = 8.376m3下 42264212全部鉚釘所受的力為P 下=T =y V下=9.8 x 8.376 = 82.1kN【例7】盛水容器底部有一半徑r=2.5cm的圓形孔口，該孔口用半徑R=4cm，自重G=2.452N的圓球封 閉，如圖所示。已知水深H=20cm，試求球升起時所需的拉力T。解：用壓力體求鉛直方向的靜水總壓力。壓力體如圖中（b）所示。由圖中可以看出4P=丫 + Vdhg- = V2 =丫 + Vdhg - %