問題2+線性規(guī)劃中的參數(shù)問題-2018屆高三數(shù)學(xué)成功在我之優(yōu)等生提分精品+版含解析

1、2018屆高三數(shù)學(xué)成功在我專題六不等式問題二：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題一、考情分析線性規(guī)劃是高考必考問題 ，常有以下幾種類型：（1）平面區(qū)域的確定問題；（2）區(qū)域面積問題；（3）最值問題；（4）逆向求參數(shù)問題.而逆向求參數(shù)問題，是線性規(guī)劃中的難點(diǎn)，其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值.二、經(jīng)驗(yàn)分享（1）求平面區(qū)域的面積：首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析 ，若為三角形應(yīng)確定底與高 ，若為規(guī)則白四邊形（如平行四邊形或梯形 ，可利用面積 公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解

2、再求和即可.（2）利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.（3）先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題 .（4）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件 ，含參數(shù)的平面區(qū)域問題，要結(jié)合直線 的各種情況進(jìn)行分析，不能憑直覺解答，目標(biāo)函數(shù)含參的線性規(guī)劃問題 ，要根據(jù)z的幾何意義確定最優(yōu)解，切 忌搞錯(cuò)符號(hào).三、知識(shí)拓展常見代數(shù)式的幾何意義：由2+ y2表示點(diǎn)（x, y）與原點(diǎn)（0,0）的距離，x a2y b2表示點(diǎn)（x, y）與點(diǎn)（a, b）的距離；X表示點(diǎn)（x, y

3、）與原點(diǎn)（0,0）連線的斜率，?三表示點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（a, b）連線的斜率.四、題型分析（一）目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會(huì)知道最值，此時(shí)要結(jié)合可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所經(jīng)過的可行域 內(nèi)的點(diǎn)（即最優(yōu)解），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得參數(shù)的值.目標(biāo)函數(shù)中x的系數(shù)為參數(shù)x y -2 - 0【例1】【廣東湛江市2017屆高三上學(xué)期期中調(diào)研考試，11】已知x,y滿足約束條件x-2y-2W0,若2x - y 2 - 0z = y -ax取得最大值的最優(yōu)解不唯二,則實(shí)數(shù)a的值為（）A. 1 或-1 B , 1 或 2C.1 或 2 D . -1 或 22【答案】D【解析】在直角坐標(biāo)系

4、內(nèi)作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示的三角形 ABC ,目標(biāo)函數(shù)z = y ax可變形為y = ax + z , z的幾何意義為直線 y = ax + z在y軸上的截距，因?yàn)閦 = y _ ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，所以直線y = ax+z與區(qū)域三角形的某一邊平行，當(dāng)直線y=ax + z與邊線x + y-2 = 0平行1時(shí)，a = -1符合題思，當(dāng)直線y = ax + z與邊線x-2y-2 = 0平仃時(shí)，a =不符合題息，直線y = ax + z與 2邊線2x-y -2 =0平行時(shí)，a =2符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為-1或2,故選D.【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的

5、邊界頂點(diǎn)處或邊界線上，當(dāng)最優(yōu)解為邊界頂點(diǎn)時(shí)，最優(yōu)解唯一，當(dāng)最優(yōu)解不唯一時(shí)，說明目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與區(qū)域的某一邊平行，其最優(yōu)解為邊界線段上的所有的點(diǎn).3x - y - 2 0 )的最大值為x -y 2-0,a =.【答案】3.3.【解析】約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)過B (4,1 )點(diǎn)是取得最大值， 1 = 4-a0,b 0)的最小值為2,則ab的最大y -x值為. i【答案】1 .4【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，易求得A(2,2), B(2,3),要目標(biāo)函數(shù) TOC o 1-5 h z ,，a b、21z = ax 十by(a 0,b 0)的最小值為 2, 2a +2

6、b = 2 ,即 a =b =1 , /. ab ()=一 ,當(dāng)且僅當(dāng)24.1-1a = b =一等3成立.故 ab的取大值為 一.24【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最優(yōu)解的求法以及均值不等式的應(yīng)用.應(yīng)明確若可行域是封閉的多邊形，最優(yōu)解一般在多邊形的頂點(diǎn)處取得.應(yīng)用均值不等式時(shí)需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.2x - y - 2 0【小試牛刀】【廣東省汕頭市2017屆高三上學(xué)期期末】設(shè)變量 x, y滿足約束條件|x-2y+ 220,且x y - 1 - 0,22z=(a +1)x3(a +1)y的最小值是20,則實(shí)數(shù)a=.【答案】2【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域 ，如圖所示，由圖知，當(dāng)z =

7、 (a2 +1)x -3(a2 +1)y經(jīng)過點(diǎn)A(2, 2)時(shí)取得最小值20 ,即 2(a2 +1)-6(a2 +1) = 20，解得 a =2 .y4.目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)且含有參數(shù)x y 4,【例4】設(shè)不等式組 0)不經(jīng)過區(qū) x-1 至 0域D上的點(diǎn)，則r的取值范圍是()A. 2. 2 ,2 5 1B. 2、,23.21C. 3,2,2. 5 1D. 0,2,. 2 一 2、. 5,二【答案】D.【解析】不等式對(duì)應(yīng)白區(qū)域?yàn)?MBE .圓心為(-1,-1),區(qū)域中A到圓心的距離最小，B到圓心的距離最大，x=1、x=1x=1要使圓不經(jīng)過區(qū)域D,則有0 r AC或r A BC .由 得，即A(1

8、,1).由，得x =1，即 B(1,3).y = 3y = x y = 1y=-x + 4AC =2j2 , BC =2j5 , 0 r 2，5 ,即 r 的取值范圍是(0,2 .2) (2 5,二)，選 D.【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是給出目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際意義，即圓與可行域無公共點(diǎn)的問題.對(duì)于目標(biāo)函數(shù)為平方型：22z=(x -a )十(y-b ),可看成可行域內(nèi)的點(diǎn)P( x y)與定點(diǎn)Q( a b)兩點(diǎn)連線的距離的平方，即22,2PQ =(x -a ) +(y -b )；也可看成是以Q(a,b )為圓心，Jz為半徑的圓，轉(zhuǎn)換為圓與可行域有無公共點(diǎn)的問題.2x - y 0,【小試牛刀】【江蘇省泰州中學(xué)

9、2017屆高三摸底考試】已知實(shí)數(shù) x、y滿足x + y -5 A 0,若不等式I y -4 一 0,a(x2 +y2)之(x + y)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是.5【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形 .,5 10 vABCM其內(nèi)部,其中 A(2, 4), B(1,4), C(, 一)，因此 2 w kA, %b = 2, 4,因 3 3 xv x為一* 在2, 4上單調(diào)遞增x y，所以Itx y75，17,不等式a（x2 +y2） （x + y）2恒成立等價(jià)于 TOC o 1-5 h z (x y)299a -22- max 二1-max =: amin = 一 x yy x 55x y,其次確【點(diǎn)

10、評(píng)】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍（二）約束條件中含參數(shù)由于約束條件中存在參數(shù)，.可行域無法確定，此時(shí)一般是依據(jù)所提供的可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值來確定含有參數(shù)的某不等式所表示的坐標(biāo)系中的某區(qū)域，從而確定參數(shù)的值.x 1,【例5】【河南省豫北名校聯(lián)盟 2017屆高三年級(jí)精英對(duì)抗賽】 已知實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組x-y + m2至0,x + y 1 之 0,若目標(biāo)函數(shù)z = -2x + y的最大值不超過4,則實(shí)數(shù)m

11、的取值范圍是（）A. (-V3J3)B . 0,峋 C.-73,0D . -73,73【答案】D2.2八【解析】由x 一y m =0, x y -1 = 0,21 -m1 m22，作出不等式組x 1,在約束條件 yWmx下，目標(biāo)函數(shù)z = x + my的最大值大于2,則m的取值范圍為、x + y E1（ ）.A. 1,1 +&） B . 1+衣尸） C . （1,3） D . （3尸）【答案】B，,1 Zl一人，一，【解析】把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y = -x +,表示是斜率為,截距為-的平行直線系m,當(dāng)截距最大時(shí)，z最大，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，截距最大2,解之得 m1+J2._ x y _ a.一 .【小試牛刀

12、】設(shè) x, y滿足約束條件x y 且z = x+ay的最小值為7,則a = x-y 0時(shí),z 有最小值：z=2a2 2a - 1a2 2a -1,則=7 ,解得:2a =3；當(dāng)a x, 且z = 2x + y的最小值為 y - -x b,4,則實(shí)數(shù)b的值為（A. 1 B. 2 C.【解析】作出不等式組對(duì)于的平面區(qū)域如圖:m my= - 2x+z的截距最小時(shí),z也取得最小值，2x y = 4則不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域在直線y= - 2x+z的上方，由;，解得2x - y =0y =2即A ( 1,2 ),此日A也在直線y= - x+b上,即2=- 1+b,解得b=3,故選D.2.【廣東郴州市201

13、7屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】設(shè)關(guān)于2x - y 1 0! x, y的不等式組x + m 0內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿足x0 一2yo =2.則m的取值范圍是()A.(-二:4、，1、，23) B . (-c3) c.(”,一3CD . (-00,_53由線性約束條件可畫出如圖所示的陰影區(qū)域，要使區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0, y0)使2x0 -2y0 = 2成立，只2要點(diǎn)A(-m,m)在直線x -2y -2 =0下萬即可，即m 2m -2 A 0解得m 1)所表示平面區(qū)域的面積為S,y - -kx 4k,kS則上的最小值等于()k -13032C.34D. 36【解析】kSk -18k2k -1:

14、8(k1) + 2+ 1 上82,/(卜_1)，工+2 = 32,當(dāng)且k-1, k-1僅當(dāng)k =2時(shí)取等號(hào)，所以選B.4.12016屆河南省信陽高中高三上第八次大考】設(shè)x y - 6 . 0Ix,y滿足不等式組2xy 1M0,若z = ax + y的最大3x-y-20值為2a +4 ,最小值為a +1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. -1,2B . -2,1C . -3,-2 D . -3,17 11，如圖所示的AABC內(nèi)部(含邊界)，其中A(1,1), B(- ), C(2,4), 3 3【解析】作出約束條件表示的可行域z = ax + y的最大值為2a +4 ,最小值為a +1 ,說明z在點(diǎn)C處

15、取得最大值，在點(diǎn)A處取得最小值，則有kBc -a - kBA, kBc/ 114 -7 = -1, kAB2 -3=2 ,所以1 W a E 2,即2 W a E1,選 B.5.12016屆河北省衡水二中高三上學(xué)期期中考試】x-1,已知a a 0, x, y滿足約束條件x+y = 3,若z = 2x+y y-a(x-3)的最小值為1,則a =()故答案選BA. 1 B . 1 C , 1 D , 2 TOC o 1-5 h z 42【答案】B【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z = 2x + y ,將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，當(dāng)直線z=2x + y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z最小，x =1x =1a由l2

16、x y 一1得：1y 一一1，代入直線y =a(x3),解得22017屆高三第一次聯(lián)考】已知 x, y滿足約束條件x y -2 -0權(quán)-2y-2 0,若2x + y + k之0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 2x -y 2-0【答案】k -6【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中A(2,0), B(-2,-2),C(0,2)，直線z = 2x y過點(diǎn)b時(shí)取最大值6,而2x+y+k之0恒成立等價(jià)于k之_(2x + y)max =6x -17.12016屆廣西河池高中高三上第五次月考】已知aA0,x,y滿足約束條件 x+yM3 ，若z = 2x+y的y -a(x-2) 11最大值為一，則a

17、=()2C . 1 D . 2A. 1 B4【答案】C【解析】根據(jù)題意作出 x, y滿足約束條件下的平面區(qū)域,如圖所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z = 2x + y經(jīng)過點(diǎn)A(2a3,)時(shí)取得最大值 U,所以2 Ma 1 a 122a 3十a(chǎn) 1_a_ = U，解得a = 1,故選C.a 12x-ky-20,8.若實(shí)數(shù)x , y滿足 0 ,其中k 0,若使得x 6y -10 -1【解析】作出不等式組Jx -y 2 表示的區(qū)域如下圖所示.由2 = 2*+丫得：y = ax + z .當(dāng)a0時(shí),3x y 14平行直線的傾斜角為銳角,從第一個(gè)圖可看出，a = 1時(shí)，線段AC上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解；當(dāng) -a 0

18、時(shí)，直線即為 -+-y 1,其在x軸的截距2之2n 0 0,二由a M b+c E 2a,得1 E +E 2 a ab c b由 b E a+ c E 2b得一E1 + 2.設(shè)bx = 一,ya_ x y _ 22 1 _則有xM1+y ，其可行域如圖，其中A( ,),B(3 31 y _2x3 1.b一,一工x =2 2ay 2x 0)取得最小值 y 1k .可知目標(biāo)函數(shù) z=2xy,經(jīng)過點(diǎn)|_二,0 3的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則m的值為z = mx + y可化為y = -mx + z, = -m 1,變量x, y在約束條件y W mx下，目標(biāo)函數(shù) x y -1z = x + my的最大值為2

19、,【答案】m =1 、,2【解析】作出可行域如圖所示當(dāng)直線z = x + my經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z有最大值，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為=2，解之得 m =1 + J2或 m = 1 J5 (舍去)，所以 m =1 +J2 .x ,0,17.若關(guān)于x, y的不等式組y之x, （ k是常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的邊界是一個(gè)直角三角形，則kx - y 1 _ 0k =.【答案】1或0 .x .0, _一 【解析】作出不等式組 y2x,表木的區(qū)域如下圖所不，由圖可知，要使平面區(qū)域的邊界是一個(gè)直角三kx -y 1 .0-2-2x-2y- 2 018.【湖北七市（州）教研協(xié)作體2018年33月高三聯(lián)考】已知 x, y滿足約束

20、條件 x+y-20 ，若-32x-y 2_0z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解不唯一 ，則實(shí)數(shù)a的值為【答案】-2或1【解析】由題可知若 z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解不唯一則y = -ax + z必平行于可行域的某一邊界 ，如圖:要Z最大則直線與y軸的截距最大即可，當(dāng)a0時(shí)，則直線平行 AB即可，故a=119.【安徽省宿州市2018屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組x y -1 _0 x-1 0（ a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于1,則a的值為.ax -y 1 _0【答案】1題意得直線ax y+1 =0過定點(diǎn)（0,1）.當(dāng)a0時(shí)，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)樯蠄D中的M 一個(gè)無限的角形區(qū)域，面積不可能為2,故a0不合題當(dāng)a? 0時(shí)，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)樯蠄D中的N為三角形區(qū)域.若這個(gè)三角形的面積為1,則有AB=2,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）,代入ax - y+1 = 0，得a=1.x 2y _ 0,20 .【福建省漳州市2018屆高三上學(xué)期