平穩(wěn)隨機(jī)過程

1、平穩(wěn)隨機(jī)過程現(xiàn)代通信原理平穩(wěn)隨機(jī)過程 1.1定義平穩(wěn)隨機(jī)過程，是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。設(shè)隨機(jī)過程(t)，tT,若對(duì)于任意n和任意選定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及為任意值，且x1, x2, , xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn) =fn(x1, x2, , xn; t1+, t2+, , tn+)則稱(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。1、平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的均值2、平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的方差2(t)=2=常數(shù)3、平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的自相關(guān)函數(shù)R(t1, t1)=E(t1)(t1+) 表示平穩(wěn)隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。表

2、示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。1.2各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程的“統(tǒng)計(jì)平均”平穩(wěn)隨機(jī)過程中任一實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均” “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲， 一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。例21：某隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均為常數(shù)，是在(0,2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。 （1） 考察(t)的平穩(wěn)性； （2） 討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 (1) 先考察(t)是否廣義平穩(wěn)。 (t)的數(shù)學(xué)期望為(t)的自相關(guān)函數(shù)為可見

3、(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)， 所以(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2）下面考察隨相過程的遍歷性 比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a= , R()= ， 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。 1.3平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程， 則它的自相關(guān)函數(shù) R()=E(t)(t+) (2.2 - 8) 性質(zhì)： （1）R(0)=E2(t)=S(t)的平均功率(2.2 - 9） （2） R()=E2(t)(t)的直流功率 (2.2 - 10）這里利用了當(dāng)時(shí)， (t)與(t+)沒有依賴關(guān)系， 即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立（統(tǒng)計(jì)獨(dú)立導(dǎo)出不相關(guān)）， 且認(rèn)為(t)中不含周期分量。（3） R()

4、=R(-) 的偶函數(shù) (2.2 - 11) （4） |R()|R(0)R()的上界 (2.2 - 12) （5） R(0)-R()=2方差，(t)的交流功率 (2.2 - 13)當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=2。1.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度圖 2-2 功率信號(hào)f(t)及其截短函數(shù) 隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。我們知道，隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率型信號(hào)。而對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度為 式中，F(xiàn)T()是f(t)的截短函數(shù)fT(t)（見圖 2 - 2）所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)。我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用

5、式（2.2 - 14）來表示。 由于(t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即 (t)的平均功率S則可表示成 雖然式（2.2 - 15）給出了平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的功率譜密度P()，但我們很難直接用它來計(jì)算功率譜。 那么，如何方便地求功率譜P()呢？ 我們知道，確知的非周期功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對(duì)傅氏變換關(guān)系。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系。于是 R0 因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。 因此，P()必然是平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度

6、函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度P()與其自相關(guān)函數(shù)R()是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系, 即 或簡(jiǎn)記為 R() P() 以上關(guān)系式稱為維納-辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。 根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)R()的性質(zhì)，不難推演功率譜密度P()有如下性質(zhì)： （1） P()0，非負(fù)性； （2.2 - 20） （2） P(-)=P()，偶函數(shù)。 （2.2 - 21） 因此， 可定義單邊譜密度P()為 P1()=0W 0W 0 例 2 2 某隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均為常數(shù)，是在(0,2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。 （1） 求(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度； 解：根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)