計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析第6章分支限界法課件

1、計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析 Design and Analysis of Computer Algorithms 第六章 分支限界法Branch-and-Bound Algorithm第1頁，共80頁。理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架隊(duì)列式(FIFO)分支限界法優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法通過應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。單源最短路徑問題裝載問題；布線問題0-1背包問題；最大團(tuán)問題；旅行售貨員問題電路板排列問題批處理作業(yè)調(diào)度問題學(xué)習(xí)要點(diǎn)7/29/20222第2頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大團(tuán)問題六、旅行售貨員問題

2、7/29/20223第3頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大團(tuán)問題六、旅行售貨員問題7/29/20224第4頁，共80頁。分支限界法同回溯法類似，它也是在解空間中搜索問題的可行解或最優(yōu)解，但搜索的方式不同?；厮莘ú捎蒙疃葍?yōu)先的方式，朝縱深方向搜索，直至達(dá)到問題的一個(gè)可行解，或經(jīng)判斷沿此路徑不會(huì)達(dá)到問題的可行解或最優(yōu)解時(shí)，停止向前搜索，并沿原路返回到該路徑上最后一個(gè)還可擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)。從該結(jié)點(diǎn)出發(fā)朝新的方向縱深搜索。分支定界法則采用寬度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，它將活結(jié)點(diǎn)存放在一個(gè)特殊的表中。其策略是：在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)

3、,將那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子舍棄，其余兒子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取出一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。所以，分支限界法與回溯法的本質(zhì)區(qū)別在于搜索方式的不同。回溯法更適于處理那些求所有可行解的問題，而分支限界法更適于處理那些只確定一個(gè)可行解，特別是最優(yōu)化問題。7/29/20225第5頁，共80頁。1.1 分支限界法與回溯法的比較分支限界法類似于回溯法，也是一種在問題的解空間樹T中搜索問題解的算法。分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)（適用范圍）不同：回溯法適用于找出滿足約束條件的所有解的情況；分支限界法發(fā)誓找出滿足條件的一個(gè)解，或某種意義下的最優(yōu)解。搜索方式不同回

4、溯法：深度優(yōu)先分支限界法：廣度優(yōu)先7/29/20226第6頁，共80頁。1.2 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。7/29/20227第7頁，共80頁。1.3 常見的兩種分支限界法從活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的不同方式

5、導(dǎo)致不同的分支限界法：隊(duì)列式(FIFO)分支限界法：將活結(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)隊(duì)列，按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：將活結(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列，按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。最大優(yōu)先隊(duì)列：使用最大堆，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先最小優(yōu)先隊(duì)列：使用最小堆，體現(xiàn)最小費(fèi)用優(yōu)先7/29/20228第8頁，共80頁。 隊(duì)列式分支限界法的搜索解空間樹的方式類似于解空間樹的寬度優(yōu)先搜索，不同的是隊(duì)列式分支限界法不搜索以不可行結(jié)點(diǎn)（已經(jīng)被判定不能導(dǎo)致可行解或不能導(dǎo)致最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)）為根的子樹。這是因?yàn)椋凑找?guī)則，這樣的結(jié)點(diǎn)未被列入活結(jié)點(diǎn)表。7/2

6、9/20229第9頁，共80頁。優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的搜索方式是根據(jù)活結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)確定下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)常用一個(gè)與該結(jié)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)值p 來表示。最大優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定p 值較大的結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)通常用一個(gè)最大堆來實(shí)現(xiàn)最大優(yōu)先隊(duì)列，用最大堆的Deletemax 運(yùn)算抽取堆中的下一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先的原則。類似地，最小優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定p 值較小的結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，常用一個(gè)最小堆來實(shí)現(xiàn)，用最小堆的Deletemin 運(yùn)算抽取堆中下一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最小優(yōu)先的原則。7/29/202210第10頁，共80頁。 采用優(yōu)先隊(duì)列式分支定界算法解決具

7、體問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)問題的特點(diǎn)選用最大優(yōu)先或最小優(yōu)先隊(duì)列，確定各個(gè)結(jié)點(diǎn)的p 值。7/29/202211第11頁，共80頁。1.4 實(shí)例0-1背包問題n=3, c=30, w=16,15,15, p=45,25,257/29/202212第12頁，共80頁。實(shí)例分析0-1背包問題n=3, c=30, w=16,15,15, p=45,25,25隊(duì)列式分支限界法：A B, C = B, CB, C D, E = EC, E F, G = F, GE, F, G J, K = K(45) 1,0,0F, G L, M =L(50) 0, 1, 1 M(25)G N, 0 =N(25), O(0)不搜索以

8、不可行結(jié)點(diǎn)為根的子樹優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：A B, C = B(45), C(0)B, C D, E = E(45)E, C J, K = K(45) 1, 0, 0C F, G = F(25), G(0)F, G L, M = L(50), 0, 1, 1 M(25)G N, O = N(25), O(0)可用剪枝函數(shù)加速搜索7/29/202213第13頁，共80頁。1.5 實(shí)例TSP問題1234206305410ABCDEFGHIJKLMNOPQ1234344342322423問題描述：某售貨員要到若干城市去推銷商品，一直各城市之間的路程，他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市一遍，最后回到

9、住地的路線，使總的路程最短。7/29/202214第14頁，共80頁。實(shí)例分析TSP問題隊(duì)列式分支限界法：B C, D, EC, D, E F, GD, E, F, G H, IE, F, G, H, I J, KF, G, H, I, J, K L(59) 1,2,3,4,1G, H, I, J, K M(66)H, I, J, K N(25) 1, 3, 2, 4,1I, J, K 1-3-4(26)J, K P(25)K Q(59)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：B C, D, E = C(30), D(6), E(4)E, D, C J, K = J(14), K(24)D, J, K, C H

10、, I = H(11), I(26)H, J, K, I, C N = N(25) 1, 3, 2, 4,1J, K, I, C P = P(25)K, I, C Q = Q(59)I, C I, C 被限界掉1234206305410ABCDEFGHIJKLMNOPQ12343443423224237/29/202215第15頁，共80頁。1.6 應(yīng)用分支限界法的關(guān)鍵如何確定合適的限界函數(shù)？如何組織活結(jié)點(diǎn)表？如何確定最優(yōu)解中的各個(gè)分量？好的限界函數(shù)不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，還要保證最優(yōu)解在搜索空間中，更重要的是能在搜索的早期對(duì)超出目標(biāo)函數(shù)界的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行丟棄，減少搜索空間，從而盡快找到問題的最優(yōu)解。 通常采

11、用最大堆或最小堆來實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解問題。 可以用如下方法求得最優(yōu)解中的分量：1）對(duì)每個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)保存該結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑；2）在搜索過程中構(gòu)建搜索經(jīng)過的樹結(jié)構(gòu)，在求得最優(yōu)解時(shí)，從葉子結(jié)點(diǎn)不斷回溯到根結(jié)點(diǎn)，以確定最優(yōu)解中的各個(gè)分量。 7/29/202216第16頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大團(tuán)問題六、旅行售貨員問題7/29/202217第17頁，共80頁。2.1單源最短路徑問題定義在有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。7/29/202218第18頁，共80頁。用優(yōu)先隊(duì)列式

12、分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹7/29/202219第19頁，共80頁。2.2單源最短路徑問題算法思想用一最小堆來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活

13、結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。7/29/202220第20頁，共80頁。2.3 剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界（即結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)）不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。在算法中，還可以利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。例如，從源點(diǎn)s出發(fā)，經(jīng)過邊a,e,q（路長(zhǎng)為5）和經(jīng)過邊c,h（路長(zhǎng)為6）的2條路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。故可將后一條路徑剪掉。7/29/202221第21頁，共80頁。剪

14、枝策略 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹的剪枝情況。BA優(yōu)于B，B可剪枝經(jīng)過不同的路徑到達(dá)相同的頂點(diǎn)A7/29/202222第22頁，共80頁。2.4 算法描述 while (true) for (int j = 1; j = n; j+) if (cE.ijinf)&(E.length+cE.ijdistj) / 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束 distj=E.length+cE.ij; prevj=E.i; / 加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列 MinHeapNode N; N.i=j; N.length=distj; H.Insert(N); try H.De

15、leteMin(E); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) catch (OutOfBounds) break; / 優(yōu)先隊(duì)列空 頂點(diǎn)i和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從源點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng) 7/29/202223第23頁，共80頁。實(shí)例計(jì)算從源頂點(diǎn)1到其它頂點(diǎn)間最短路徑7/29/202224第24頁，共80頁。1230V2V0V1V4V33825420510計(jì)算從源頂點(diǎn)V0 到其它頂點(diǎn)間最短路徑練習(xí)7/29/202225第25頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大團(tuán)問題六、旅行售貨員問題7/29/202226第26頁，共80頁。3.1 問題定義有一批共

16、個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為wi，且wiC1+C2裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。 容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。7/29/202227第27頁，共80頁。 解裝載問題的隊(duì)列式分支限界法只求出所要求的最優(yōu)值，稍后將進(jìn)一步討論求出最優(yōu)解。函數(shù)MaxLoading具體實(shí)施對(duì)解空間的分支限界搜索。其中隊(duì)列Q用于存放活結(jié)點(diǎn)表。在隊(duì)列Q的元素值表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。 當(dāng)其值為1

17、時(shí)，表示隊(duì)列已到達(dá)解空間樹同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。3.2 隊(duì)列式分支限界法7/29/202228第28頁，共80頁。 函數(shù)EnQueue用于將活結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。該函數(shù)首先檢查i是否等于n。如果in，則表示當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)為一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。由于葉結(jié)點(diǎn)不會(huì)被進(jìn)一步擴(kuò)展，因此不必加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。此時(shí)只要檢查該葉結(jié)點(diǎn)表示的可行解是否優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，并適時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)解。當(dāng)in時(shí)，當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)是一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，應(yīng)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。7/29/202229第29頁，共80頁。void EnQueue(&Q,Type wt,Type & bestw, int i, int n) /該函數(shù)負(fù)責(zé)加入活結(jié)點(diǎn) / 如果不是

18、葉結(jié)點(diǎn)，則將結(jié)點(diǎn)權(quán)值wt加入隊(duì)列Qif (i = n) /可行 葉子結(jié)點(diǎn) if (wtbestw) bestw = wt; else Q.Add(wt); / 不是葉子7/29/202230第30頁，共80頁。函數(shù)MaxLoading在開始時(shí)將i初始化為1，bestw初始化為0。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空。將同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志1加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，表示此時(shí)位于第1層結(jié)點(diǎn)的尾部。Ew存儲(chǔ)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量。7/29/202231第31頁，共80頁。隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)

19、列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。7/29/202232第32頁，共80頁。隊(duì)列式分支限界法while (true) / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) if (Ew + wi = c) / xi = 1 EnQueue(Q, Ew + wi, bestw, i, n); / 右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的 EnQueue(Q,

20、Ew, bestw, i, n); / xi = 0 Q.Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (Ew = -1) / 同層結(jié)點(diǎn)尾部 if (Q.IsEmpty() return bestw; Q.Add(-1); / 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志 Q.Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i+; / 進(jìn)入下一層 7/29/202233第33頁，共80頁。3.3 算法的改進(jìn) 節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹剪去。 算法MaxLoading初

21、始時(shí)將bestw置為0，直到搜索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)時(shí)才更新bestw。因此在算法搜索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)之前，總有bestw0，r0，故Ew十rbestw總是成立。也就是說，此時(shí)右子樹測(cè)試不起作用。 另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。7/29/202234第34頁，共80頁。算法的改進(jìn)/ 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) Type wt = Ew + wi; / 左兒子結(jié)點(diǎn)的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i n) Q.Add(Ew); / 可能含最優(yōu)解 Q.Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

22、右兒子剪枝 7/29/202235第35頁，共80頁。算法的改進(jìn)while (true) / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) Type wt = Ew + wi; / 左兒子結(jié)點(diǎn)的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i 0; j-) bestxj = bestE-LChild; bestE = bestE-parent; 找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根結(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。構(gòu)造最優(yōu)解7/29/202238第38頁，共80頁。3.5優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。活結(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)

23、先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。7/29/202239第39頁，共80頁。上述策略可以用兩種不同的方式實(shí)現(xiàn)。第一種方式在結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列的每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)中保存從解空間樹的根結(jié)點(diǎn)到該活結(jié)點(diǎn)的路徑，在算法確定了達(dá)到最優(yōu)值的葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，就在該葉結(jié)點(diǎn)處同時(shí)得到相應(yīng)的最優(yōu)解。第二種策略在算法的搜索進(jìn)程中

24、保存當(dāng)前已構(gòu)造出的部分解空間樹，這樣在算法確定了達(dá)到最優(yōu)值的葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，就可以在解空間樹中從該葉結(jié)點(diǎn)開始向根結(jié)點(diǎn)回溯，構(gòu)造出相應(yīng)的最優(yōu)解。在下面的算法中，我們采用第二種策略。7/29/202240第40頁，共80頁。第i十1層結(jié)點(diǎn)的剩余重量ri定義為ri 。變量E指向子集樹中當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), Ew是相應(yīng)的重量。算法開始時(shí)，i1，Ew0，子集樹的根結(jié)點(diǎn)是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。/定義剩余重量數(shù)組r int * r = (int*)malloc(sizeof(int)*(n+1) ; rn = 0; for(int j = n-1; j 0; j-) rj= rj+1 + wj+1;7/29/202241第41頁，

25、共80頁。int MaxLoading(int w , int c, int n)/優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法，返回最優(yōu)載重量，bestx返回最優(yōu)解 /定義最大堆的容量為1000/ MaxHeap HeapNode H( 1000 );head = (HeapNode*)malloc(sizeof(HeapNode) ;if(head =NULL)printf(沒有足夠的空間分配n) ; return 1 ; head-level = 0 ; head-next = NULL ; head -ptr =NULL ; head-uweight = 0 ; /定義剩余重量數(shù)組r int * r = (i

26、nt*)malloc(sizeof(int)*(n+1) ; rn = 0; for(int j = n-1; j 0; j-) rj= rj+1 + wj+1; /初始化 int i = 1; / 當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層 bbnode * E =0; /當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) int Ew = 0; /擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量 7/29/202242第42頁，共80頁。優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法While循環(huán)體產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左右兒子結(jié)點(diǎn)。如果當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，即它所相應(yīng)的重量末超過船載容量，則將它加入到子集樹的第i十1層上，并插入最大堆。擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的，故直接插入子集樹的最

27、大堆中。接著算法從最大堆中取出最大元素作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。如果此時(shí)不存在下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則相應(yīng)的問題無可行解。如果下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)，即子集樹中第n十1層結(jié)點(diǎn)，則它相應(yīng)的可行解為最優(yōu)解。該最優(yōu)解所相應(yīng)的路徑可由子集樹中從該葉結(jié)點(diǎn)開始沿結(jié)點(diǎn)父指針逐步構(gòu)造出來。具體算法可描述如下：7/29/202243第43頁，共80頁。while( i!=n+1 ) /非葉結(jié)點(diǎn) /檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn) if(Ew+w i level;E = N-ptr;Ew = N-uweight-ri-1;/優(yōu)先權(quán)uweight = Ew + r i - 1;7/29/202244第44頁，共80頁。for(j

28、 = n ; j 0;j-) /構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解 bestxj = E - LChild; E = E-parent;return Ew;構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解7/29/202245第45頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大團(tuán)問題六、旅行售貨員問題7/29/202246第46頁，共80頁。4.1 問題定義給定n種物品和一個(gè)背包，物品i的重量是wi，價(jià)值pi,背包容量為C，問如何選擇裝入背包的物品，使裝入背包中的物品的總價(jià)值最大？對(duì)于每種物品只能選擇完全裝入或不裝入，一個(gè)物品至多裝入一次。7/29/202247第47頁，共80頁。4.2 算法

29、思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝入背包的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)即為問題的最優(yōu)值。7/29/202248第48頁，共80頁。4.3 上界函數(shù)templateTypep Knap:Bound(int i)/ 計(jì)算結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)價(jià)值的上界 Typew c

30、left = c - cw; / 剩余容量 Typep b = cp; /價(jià)值上界 / 以物品單位重量?jī)r(jià)值遞減序裝滿剩余背包容量 while (i = n & wi = cleft) cleft -= wi; b += pi; i+; / 裝填剩余容量至裝滿背包 if (i = n) b += pi/wi * cleft; return b; 7/29/202249第49頁，共80頁。4.4 算法描述while (i != n+1) / 非葉結(jié)點(diǎn) / 檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn) Typew wt = cw + wi; if (wt bestp) bestp = cp+pi; AddLiveN

31、ode(up, cp+pi, cw+wi, true, i+1); up = Bound(i+1); / 檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn) if (up = bestp) / 右子樹可能含最優(yōu)解 AddLiveNode(up, cp, cw, false, i+1); / 取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）分支限界搜索過程7/29/202250第50頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大團(tuán)問題六、旅行售貨員問題7/29/202251第51頁，共80頁。5.1 問題定義給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對(duì)任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完

32、全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。下圖G中，子集1，2是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖1，2，5包含。1，2，5是G的最大團(tuán)。1，4，5和2，3，5也是G的最大團(tuán)。 7/29/202252第52頁，共80頁。5.2 算法思想 子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。 算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連

33、，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。 接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界函數(shù)（upperSizebestn）時(shí)，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。7/29/202253第53頁，共80頁。5.3 上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是

34、從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。7/29/202254第54頁，共80頁。5.4 算法描述具體算法略（見課本）。 算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。 對(duì)于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSizecliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。 7/29/202255第55頁，共80頁。提綱一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問題三、裝載問題四、0-1背包問題五、最大

35、團(tuán)問題六、旅行售貨員問題7/29/202256第56頁，共80頁。6.1 問題定義某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。7/29/202257第57頁，共80頁。6.2 算法思想算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小

36、堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：7/29/202258第58頁，共80頁。6.2 算法思想1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該

37、葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)sn-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x0:s，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:n-1中選取的頂點(diǎn)xi，且(xs，xi)是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x0:s，xi)的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcostbestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。7/29/202259第59頁，共80頁。6.2 算法思想算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x0:n-1，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)

38、，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。7/29/202260第60頁，共80頁。6.3 算法描述7/29/202261第61頁，共80頁。7/29/202262第62頁，共80頁。7/29/202263第63頁，共80頁。7/29/202264第64頁，共80頁。7/29/202265第65頁，共80頁。 算法中while循環(huán)的終止條

39、件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)sn1時(shí)，已找到的回路前綴是x0：n1，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)sn1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的1cost值不小于己找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束.7/29/202266第66頁，共80頁。 算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分兩種情況進(jìn)行處理。首先；考慮sn2的情形。此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可

40、行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。當(dāng)sn-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x0:s，其可行兒子結(jié)。點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:n-1中選取的頂點(diǎn)xIj，且(x s，xi)是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x0:s，xi)的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界Lcost。當(dāng)lcostbestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。7/29/202267第67頁，共80頁。試寫出0/1 背包問題的優(yōu)先隊(duì)列式分枝限界算法程序，并找一個(gè)物品件數(shù)為16 的例子檢驗(yàn)程序的運(yùn)行情況。上機(jī)7

41、/29/202268第68頁，共80頁?；厮莘ㄅc分支限界法的用法取向探討1.基本思想分析回溯法的基本思想: 首先確定解空間的組織結(jié)構(gòu), 接著就從開始結(jié)點(diǎn)(根結(jié)點(diǎn)) 出發(fā), 以深度優(yōu)先的方式搜索整個(gè)解空間。這個(gè)開始結(jié)點(diǎn)就成為一個(gè)活結(jié)點(diǎn), 同時(shí)也成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處, 搜索向縱深方向移至一個(gè)新結(jié)點(diǎn)。這個(gè)新結(jié)點(diǎn)就成為一個(gè)新的活結(jié)點(diǎn), 并成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。如果在當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處不能再向縱深方向移動(dòng), 則當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)就成為死結(jié)點(diǎn)。換句話說, 這個(gè)結(jié)點(diǎn)不再是一個(gè)活結(jié)點(diǎn)。此時(shí), 應(yīng)往回移動(dòng)(回溯) 至最近的一個(gè)活結(jié)點(diǎn)處, 并使這個(gè)活結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；厮莘匆赃@種工作方式遞歸地在解空

42、間中搜索, 直至找到所要求的解或解空間中已沒有活結(jié)點(diǎn)時(shí)為止。7/29/202269第69頁，共80頁。分支限界法的基本思想: 確定解空間的組織結(jié)構(gòu), 以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)(最大效益) 優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。在搜索問題的解空間樹時(shí), 分支限界法與回溯法對(duì)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所使用的擴(kuò)展方式不同。在分支限界法中, 每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中, 那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄, 其余兒子結(jié)點(diǎn)被子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后, 從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到

43、找到所求的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。7/29/202270第70頁，共80頁。用法比較分支限界法類似于回溯法, 也是一種在問題的解空間樹T上搜索問題解的算法。但在一般情況下, 分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同。回溯法的求解目標(biāo)是找出T中滿足約束條件的所有解, 而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解, 或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解, 即在某種意義下的最優(yōu)解。7/29/202271第71頁，共80頁。由于求解目標(biāo)不同, 導(dǎo)致分支限界法與回溯法在解空間樹T上的搜索方式也不相同?；厮莘ㄒ陨疃葍?yōu)先的方式搜索解空間樹T, 而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先

44、的方式搜索解空間樹T。分支限界法的搜索策略是: 在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處, 先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)(分支) , 然后再從當(dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展對(duì)點(diǎn)。為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 以加速搜索的進(jìn)程,在每一活結(jié)點(diǎn)處, 計(jì)算一個(gè)函數(shù)值(限界) , 并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值, 從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn), 以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解。7/29/202272第72頁，共80頁。分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)(最大效益) 優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。問題的解空間樹是表示問題解空間的一棵有序樹, 常見的有子集樹和排列樹。在搜索問題的解空間樹時(shí), 分支限界法與回溯法對(duì)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所使用的擴(kuò)展方式不同。在分支限界法中, 每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中, 那些