全概率公式教學設計

1、7.1.2全概率公式教材分析本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊，第七章隨機變量及其分布列本節(jié)課主本節(jié)課主要學習全概率公式學生已經(jīng)學習了有關概率的一些基礎知識，對一些簡單的概率模型（如古典概型、幾何概型） 已經(jīng)有所了解。剛剛學習了條件概率，乘法公式和全概率公式是計算較為復雜概率問題的有力工具。 公式的理解重在在具體的問題情境中進行運用。同時注意運用集合的觀點理解公式。教學目標與核心素養(yǎng)課程目標學科素養(yǎng)A.結合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推導出全概率公式的過程；B.理解全概率公式的形式并會利用全概率公式計算概率；C. 了解貝葉斯公式以及公式的簡單應用.數(shù)學抽象：全概率

2、公式.邏輯推理：從特殊到一般的思想方法.數(shù)學運算：運用全概率公式求事件概率.數(shù)學建模：將相關問題轉(zhuǎn)化為對應概率模型重點難點重點：會用全概率公式計算概率難點：理解全概率公式課前準備多媒體教學過程教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、問題導學在上節(jié)計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時，我們首先把一個復雜事件表示為一些簡單事件運算的結果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我們再看一個求復雜事件概率的問題 開門見山，提出問題.二、新知探究問題1.從有？分紅土和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為?+?那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢

3、？用R表示事件 第i次摸到紅球” Bj表示事件 第i次摸到藍球 i=1,2.事件R?可按第1次可能的摸球結果(紅球或藍球)表示為兩個互斥事件的并，即R2=R凡UB凡.利用概率的加法公式和乘法公式得？?(? = ?(? u?2 = ?(?)+ ?(?)=?-1?(?)?(?|?) + ?闕?(?|?) = ?+?x?+?-1+ ?+?x ?+?-1 = ?+?R1R2R1 B2B1R2B1B2按照某種標準，將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率。通過具體的問題 情境，引發(fā)學生思 考積極參與互動， 說出自己見解。從 而建立全概率的概 念，發(fā)展學生邏

4、輯 推理、數(shù)學運算、 數(shù)學抽象和數(shù)學建 模的核心素養(yǎng)。般地，設A1,A2, - An是一組兩兩互斥的事件，A1UA2UU An= Q 且P(Ai)0, i=1,2,，n,則對任意的事件 B? Q,有 我們稱上面的公式為全概率公式.P(B)=匯 P(Ai)P(B|Ai)i=1例1.某學校有A,B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學 第2天去A餐廳用餐的概率.分析：第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為第1

5、天去A餐廳”和第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解。解：設A:第1天去A餐廳用餐，B=第1天去B餐廳用餐”，A2=第2天去A餐廳用餐”則=?； U?；，且？與?彳互斥,根據(jù)題 意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,由全概率公式，得P(A2)= P(A) P(A21A)+ P(B) P(A2|Bp=0.5 F6+0.5 0s=0.7因此，王同學第2天去A餐廳用餐得概率為 0.7. 對全概率公式的理解某一事件A的發(fā)生可能有各種的原因，如果A是由原因Bi(i =1,2,，n)所引起，則A發(fā)生的概率是 P(ABi)=P(Bi)P(A

6、 |Bi),每一 原因都可能導致 A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成為的原因推結果”，每個原因?qū)Y果的發(fā)生有一定的作用”，即結果發(fā)生的讓學生親身經(jīng)歷 了從特殊到一般， 獲得全概率概念的 過程。發(fā)展學生邏 輯推理，直觀想 象、數(shù)學抽象和數(shù) 學運算的核心素通過概念辨析, 讓學生深化對全概 率的理解。發(fā)展學 生邏輯推理，直觀 想象、數(shù)學抽象和 數(shù)學運算的核心素可能性與各種原因的作用”大小有關.例2:有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為 6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工

7、的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率.分析:取到的零件可能來自第1臺車床 也可能來自第2臺或第3臺車床，有3種可能.設B=任取一零件為次品:午零件為第i臺車床加 工” i=1,2,3)，如圖所示，可將事件B表示為3個兩兩互斥事件的并，利通過概念辨析, 讓學生深化對全概 率的理解。發(fā)展學 生邏輯推理，直觀 想象、數(shù)學抽象和 數(shù)學運算的核心素A=零件為第i臺車床加工i=1,2,3),則？?= ? u?3 u?g且？q,?2,?q兩兩互斥，根據(jù)題意得 P(Ap=0.25, P(A

8、2)=0.3, P(Ap=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A =P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式，得P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A2)+ P(A 3)P(B|A 3)=0.25 私06+0.3 005+0.45 005=0.0525(2)如果取到得零件是次品，計算它是第i(i =1,2,3)臺車床加工的概 率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率.P(A1|B) TOC o 1-5 h z _ P(A1B) _ P(A1)P(B|A1)_ 0.25 X 0.062=P(B) = P (B)=0.0525= 723同理可得 P(

9、A2|B) = 2;P(A3|B) = 7問題2:例5中P(A ), P(A |B)得實際意義是什么?)是試驗之前就已知的概率，它是第？車床加工的零件所占的比例，稱為先驗概率。當已知抽到的零件是次品(?發(fā)生),？7?)是這件次品來自第？車床加工的可能性大小，通常稱為后驗概率。如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，那么?,?題分別是第？?車床操作員應承擔的份額。*貝葉斯公式:一般地，設AiA,，A是一組兩兩互斥的事件，有 AA2. An且P(Ai)0,i=1,2,n,則對任意的事件B , P(B) 用P(B|A)P A P(B|Ai)P(B)P Ai P(B|A)nP Ai P(B|A)i

10、 1,i=1,2, .,n例6:在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列。由于隨機因素 的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1 ;發(fā)送信號1時，接收 為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發(fā)送信號0和1是等可能 的.(1)分別求接收的信號為 0和1的概率；*(2)已知接收的信號為 0,求發(fā)送的信號是1的概率.分析:設人=發(fā)送的彳言號為0日=接收到的信號為0”為便于求解，我 們可將目中所包含的各種信息用圖直觀表示。? ?|?=發(fā)送接收、, 發(fā)送？?)接收解：0?=發(fā)送的信號為0，?=接收到的信號為0”，則?？=發(fā)送的信

11、號為1”，?=接收到的信號為1”由題意得(1)?(?) = ?(?)?(?|?+)?(?(?|?= 0.5 X0.9+ 0.5 X0.05=0.475;?(? = 1 - ?(?)= 1 - 0.475 = 0.525.?(?)= ?(? = 0.5, ?(?|?= 0.9, ?(?)= 0.1,?(?|?= 0.05, ?(? = 0.95. TOC o 1-5 h z ?(?(?|? 0.5 X 5 - 0.051(2)?(?)=()(?)?(?)0.47519若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：1如果要求的是第二階段某一個結果發(fā)生的概率，則用全

12、概率公式；2如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，-般用貝葉斯公式，類似于求條件概率.熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行方t算，保證解題的正確高效.跟蹤訓練1.某人去某地參加會議，他乘火車、輪船、汽車或飛機的 概率分別為0.2,0.1,0.3,0.4.如果他乘火車、輪船、汽車去，遲到的概率分別為1，2和1，乘飛機不會遲到.結果他遲到了，求他乘汽車去的 3 12 4概率.解設人=遲到，B1=乘火車，B2=乘輪船”，B3=乘汽車，B4=乘飛機”，根據(jù)題意，有 P(B1) = 0.2, P(B2)=0.1, P(B3) = 0.3,

13、 P(B4)=0.4,111P(A|B1) = 3, P(A|B2)=, P(A|B3)=4, P(A|B4)=0,由貝葉斯公式，有P(B3|A)= P A|B3PB3P A|Bi P Bii = 11 4X0.3WX 02 x 0*4* 0.3F 0X 0.40.0750.150.5.三、達標檢測通過練習鞏固 本節(jié)所學知識，通過 學生解決問題，發(fā)展 學生的數(shù)學運算、邏 輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素.某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時，答對的概率為100%,而不知道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他答對題目的概率為()A.0.625B.0.7

14、5C.0.5D.0【解析】選A.用A表示事件“考生答對了”，用B表示“考生知道正確答案”，用B表示“考生不知道正確答案”，則 P(B)=0.5, P(B)=0.5,P(A|B)=100% ,P(A| B)=0.25 ,則 P(A)=P(AB)+P(A B) 二P(A|B)P(B)+P(A| B)P(B) =1 X 0.5+0.25 X 0.5=0.625.某小組有20名射手，其中1, 2, 3, 4級射手分別為2, 6, 9, 3名.又若選1, 2, 3, 4級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85, 0.64, 0.45, 0.32,今隨機選一人參加比賽，則該小組比賽中射中目標

15、的概率為 .【解析】設B表示“該小組比賽中射中目標”，A/=1 , 2, 3, 4)表示“選i級射手參加比賽”，則 P(B尸 4 P(A )P(B|A )= 2 XQ.85+ : ii 2020i 1 93X0.64+ 20X0.45+ 20X0.32=0.527 5.答案：0.527 5.兩批相同的產(chǎn)品各有 12件和10件，每批產(chǎn)品中各有1件廢品，現(xiàn)在先從第1批產(chǎn)品中任取1件放入第2批中，然后從第2批中任 取1件，則取到廢品的概率為 【解析】設A表示“取到廢品”，B表示“從第1批中取到廢 TOC o 1-5 h z 一.，1品，有P(B)=運_2_1P(A|B尸行,P(A| B尸百所以 P(

16、A)=P(B)P(A|B)+P( B)P(A| B)211113. 121112111324.有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50% ,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？1解設事件B為 任取一件為次品”，事件11T , Ai為 任取一件為i廠的產(chǎn)品，i= 1,2,3.A1U A2UA3= Q, AiAj=?, i, j= 1,2,3.由全概率公式得P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2)P(B A2) + P (A3) P(B|A3).P(A1)=O3, P(A2)

17、=0.5, P(A3)=0.2,P(B|A1) = 0.02, P(BR2)=0.01, P(B|A3)=0.01 , 故 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3) P(B|A3)=0.02 X 0.3 0.01 X 0.5 0.01 X 0.2 0.013.5.某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù) 以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標志(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機地取一只元件，若已知

18、取到的是次品，為分析此次品出自何廠，求此次品出自三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？【解析】設A表示“取到的是一只次品，B(i=1 , 2, 3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”.則Bj B B3是樣本空間的一個劃分，且 P(B )=0.15 , P(B )=0.80 , P(B )=0.05 ,P(A|B )=0.02 , P(A|B )=0.01 , P(A|B )=0.03.(1)由全概率公式得P(A尸P(A|B )P(B )+P(A|B )P(B )+P(A|B )P(B )=0.012 5.(2)該元件來自制造廠1的概率為： TOC o 1-5 h z P(BJA)P A |Bi P B10