全概率公式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、7.1.2全概率公式教材分析本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)，第七章隨機(jī)變量及其分布列本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)全概率公式學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)概率的一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些簡單的概率模型（如古典概型、幾何概型） 已經(jīng)有所了解。剛剛學(xué)習(xí)了條件概率，乘法公式和全概率公式是計(jì)算較為復(fù)雜概率問題的有力工具。 公式的理解重在在具體的問題情境中進(jìn)行運(yùn)用。同時(shí)注意運(yùn)用集合的觀點(diǎn)理解公式。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.結(jié)合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)出全概率公式的過程；B.理解全概率公式的形式并會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率；C. 了解貝葉斯公式以及公式的簡單應(yīng)用.數(shù)學(xué)抽象：全概率

2、公式.邏輯推理：從特殊到一般的思想方法.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用全概率公式求事件概率.數(shù)學(xué)建模：將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)概率模型重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用全概率公式計(jì)算概率難點(diǎn)：理解全概率公式課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、問題導(dǎo)學(xué)在上節(jié)計(jì)算按對(duì)銀行儲(chǔ)蓄卡密碼的概率時(shí)，我們首先把一個(gè)復(fù)雜事件表示為一些簡單事件運(yùn)算的結(jié)果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我們?cè)倏匆粋€(gè)求復(fù)雜事件概率的問題 開門見山，提出問題.二、新知探究問題1.從有？分紅土和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為?+?那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢

3、？用R表示事件 第i次摸到紅球” Bj表示事件 第i次摸到藍(lán)球 i=1,2.事件R?可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅球或藍(lán)球)表示為兩個(gè)互斥事件的并，即R2=R凡UB凡.利用概率的加法公式和乘法公式得？?(? = ?(? u?2 = ?(?)+ ?(?)=?-1?(?)?(?|?) + ?闕?(?|?) = ?+?x?+?-1+ ?+?x ?+?-1 = ?+?R1R2R1 B2B1R2B1B2按照某種標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率。通過具體的問題 情境，引發(fā)學(xué)生思 考積極參與互動(dòng)， 說出自己見解。從 而建立全概率的概 念，發(fā)展學(xué)生邏

4、輯 推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、 數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建 模的核心素養(yǎng)。般地，設(shè)A1,A2, - An是一組兩兩互斥的事件，A1UA2UU An= Q 且P(Ai)0, i=1,2,，n,則對(duì)任意的事件 B? Q,有 我們稱上面的公式為全概率公式.P(B)=匯 P(Ai)P(B|Ai)i=1例1.某學(xué)校有A,B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué) 第2天去A餐廳用餐的概率.分析：第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為第1

5、天去A餐廳”和第1天去B餐廳”兩個(gè)互斥事件的并，利用全概率公式求解。解：設(shè)A:第1天去A餐廳用餐，B=第1天去B餐廳用餐”，A2=第2天去A餐廳用餐”則=?； U?；，且？與?彳互斥,根據(jù)題 意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,由全概率公式，得P(A2)= P(A) P(A21A)+ P(B) P(A2|Bp=0.5 F6+0.5 0s=0.7因此，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐得概率為 0.7. 對(duì)全概率公式的理解某一事件A的發(fā)生可能有各種的原因，如果A是由原因Bi(i =1,2,，n)所引起，則A發(fā)生的概率是 P(ABi)=P(Bi)P(A

6、 |Bi),每一 原因都可能導(dǎo)致 A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成為的原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的作用”，即結(jié)果發(fā)生的讓學(xué)生親身經(jīng)歷 了從特殊到一般， 獲得全概率概念的 過程。發(fā)展學(xué)生邏 輯推理，直觀想 象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù) 學(xué)運(yùn)算的核心素通過概念辨析, 讓學(xué)生深化對(duì)全概 率的理解。發(fā)展學(xué) 生邏輯推理，直觀 想象、數(shù)學(xué)抽象和 數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素可能性與各種原因的作用”大小有關(guān).例2:有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為 6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工

7、的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺(tái)車床加工的概率.分析:取到的零件可能來自第1臺(tái)車床 也可能來自第2臺(tái)或第3臺(tái)車床，有3種可能.設(shè)B=任取一零件為次品:午零件為第i臺(tái)車床加 工” i=1,2,3)，如圖所示，可將事件B表示為3個(gè)兩兩互斥事件的并，利通過概念辨析, 讓學(xué)生深化對(duì)全概 率的理解。發(fā)展學(xué) 生邏輯推理，直觀 想象、數(shù)學(xué)抽象和 數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素A=零件為第i臺(tái)車床加工i=1,2,3),則？?= ? u?3 u?g且？q,?2,?q兩兩互斥，根據(jù)題意得 P(Ap=0.25, P(A

8、2)=0.3, P(Ap=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A =P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式，得P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A2)+ P(A 3)P(B|A 3)=0.25 私06+0.3 005+0.45 005=0.0525(2)如果取到得零件是次品，計(jì)算它是第i(i =1,2,3)臺(tái)車床加工的概 率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率.P(A1|B) TOC o 1-5 h z _ P(A1B) _ P(A1)P(B|A1)_ 0.25 X 0.062=P(B) = P (B)=0.0525= 723同理可得 P(

9、A2|B) = 2;P(A3|B) = 7問題2:例5中P(A ), P(A |B)得實(shí)際意義是什么?)是試驗(yàn)之前就已知的概率，它是第？車床加工的零件所占的比例，稱為先驗(yàn)概率。當(dāng)已知抽到的零件是次品(?發(fā)生),？7?)是這件次品來自第？車床加工的可能性大小，通常稱為后驗(yàn)概率。如果對(duì)加工的次品，要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任，那么?,?題分別是第？?車床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額。*貝葉斯公式:一般地，設(shè)AiA,，A是一組兩兩互斥的事件，有 AA2. An且P(Ai)0,i=1,2,n,則對(duì)任意的事件B , P(B) 用P(B|A)P A P(B|Ai)P(B)P Ai P(B|A)nP Ai P(B|A)i

10、 1,i=1,2, .,n例6:在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列。由于隨機(jī)因素 的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí),接收為0和1的概率分別為0.9和0.1 ;發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收 為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能 的.(1)分別求接收的信號(hào)為 0和1的概率；*(2)已知接收的信號(hào)為 0,求發(fā)送的信號(hào)是1的概率.分析:設(shè)人=發(fā)送的彳言號(hào)為0日=接收到的信號(hào)為0”為便于求解，我 們可將目中所包含的各種信息用圖直觀表示。? ?|?=發(fā)送接收、, 發(fā)送？?)接收解：0?=發(fā)送的信號(hào)為0，?=接收到的信號(hào)為0”，則?？=發(fā)送的信

11、號(hào)為1”，?=接收到的信號(hào)為1”由題意得(1)?(?) = ?(?)?(?|?+)?(?(?|?= 0.5 X0.9+ 0.5 X0.05=0.475;?(? = 1 - ?(?)= 1 - 0.475 = 0.525.?(?)= ?(? = 0.5, ?(?|?= 0.9, ?(?)= 0.1,?(?|?= 0.05, ?(? = 0.95. TOC o 1-5 h z ?(?(?|? 0.5 X 5 - 0.051(2)?(?)=()(?)?(?)0.47519若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個(gè)階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)結(jié)果具體結(jié)果怎樣未知，那么：1如果要求的是第二階段某一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，則用全

12、概率公式；2如果第二個(gè)階段的某一個(gè)結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的概率，-般用貝葉斯公式，類似于求條件概率.熟記這個(gè)特征，在遇到相關(guān)的題目時(shí)，可以準(zhǔn)確地選擇方法進(jìn)行方t算，保證解題的正確高效.跟蹤訓(xùn)練1.某人去某地參加會(huì)議，他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)的 概率分別為0.2,0.1,0.3,0.4.如果他乘火車、輪船、汽車去，遲到的概率分別為1，2和1，乘飛機(jī)不會(huì)遲到.結(jié)果他遲到了，求他乘汽車去的 3 12 4概率.解設(shè)人=遲到，B1=乘火車，B2=乘輪船”，B3=乘汽車，B4=乘飛機(jī)”，根據(jù)題意，有 P(B1) = 0.2, P(B2)=0.1, P(B3) = 0.3,

13、 P(B4)=0.4,111P(A|B1) = 3, P(A|B2)=, P(A|B3)=4, P(A|B4)=0,由貝葉斯公式，有P(B3|A)= P A|B3PB3P A|Bi P Bii = 11 4X0.3WX 02 x 0*4* 0.3F 0X 0.40.0750.150.5.三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)通過練習(xí)鞏固 本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過 學(xué)生解決問題，發(fā)展 學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏 輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為100%,而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25,那么他答對(duì)題目的概率為()A.0.625B.0.7

14、5C.0.5D.0【解析】選A.用A表示事件“考生答對(duì)了”，用B表示“考生知道正確答案”，用B表示“考生不知道正確答案”，則 P(B)=0.5, P(B)=0.5,P(A|B)=100% ,P(A| B)=0.25 ,則 P(A)=P(AB)+P(A B) 二P(A|B)P(B)+P(A| B)P(B) =1 X 0.5+0.25 X 0.5=0.625.某小組有20名射手，其中1, 2, 3, 4級(jí)射手分別為2, 6, 9, 3名.又若選1, 2, 3, 4級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85, 0.64, 0.45, 0.32,今隨機(jī)選一人參加比賽，則該小組比賽中射中目標(biāo)

15、的概率為 .【解析】設(shè)B表示“該小組比賽中射中目標(biāo)”，A/=1 , 2, 3, 4)表示“選i級(jí)射手參加比賽”，則 P(B尸 4 P(A )P(B|A )= 2 XQ.85+ : ii 2020i 1 93X0.64+ 20X0.45+ 20X0.32=0.527 5.答案：0.527 5.兩批相同的產(chǎn)品各有 12件和10件，每批產(chǎn)品中各有1件廢品，現(xiàn)在先從第1批產(chǎn)品中任取1件放入第2批中，然后從第2批中任 取1件，則取到廢品的概率為 【解析】設(shè)A表示“取到廢品”，B表示“從第1批中取到廢 TOC o 1-5 h z 一.，1品，有P(B)=運(yùn)_2_1P(A|B尸行,P(A| B尸百所以 P(

16、A)=P(B)P(A|B)+P( B)P(A| B)211113. 121112111324.有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50% ,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？1解設(shè)事件B為 任取一件為次品”，事件11T , Ai為 任取一件為i廠的產(chǎn)品，i= 1,2,3.A1U A2UA3= Q, AiAj=?, i, j= 1,2,3.由全概率公式得P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2)P(B A2) + P (A3) P(B|A3).P(A1)=O3, P(A2)

17、=0.5, P(A3)=0.2,P(B|A1) = 0.02, P(BR2)=0.01, P(B|A3)=0.01 , 故 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3) P(B|A3)=0.02 X 0.3 0.01 X 0.5 0.01 X 0.2 0.013.5.某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù) 以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標(biāo)志(1)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，若已知

18、取到的是次品，為分析此次品出自何廠，求此次品出自三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？【解析】設(shè)A表示“取到的是一只次品，B(i=1 , 2, 3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”.則Bj B B3是樣本空間的一個(gè)劃分，且 P(B )=0.15 , P(B )=0.80 , P(B )=0.05 ,P(A|B )=0.02 , P(A|B )=0.01 , P(A|B )=0.03.(1)由全概率公式得P(A尸P(A|B )P(B )+P(A|B )P(B )+P(A|B )P(B )=0.012 5.(2)該元件來自制造廠1的概率為： TOC o 1-5 h z P(BJA)P A |Bi P B10