高中數(shù)學(xué)線段和差最值的存在性問(wèn)題-

1、專題03線段和差最值的存在性問(wèn)題解題策略專題攻略兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“牛喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如 圖1）.三條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問(wèn)題，關(guān)鍵是 指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng).如圖3, PA與PB的差的最大值就是 AB,此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即 P解決線段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問(wèn)題.圖2圖3例題解析例1.如圖1-1,拋物線y=x22x3與x軸交于A

2、、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果 PAC的周長(zhǎng)最小,圖1-1例2.如圖2-1,拋物線y lx2 4x 4與y軸交于點(diǎn)A, B是OA的中點(diǎn).一個(gè)動(dòng)點(diǎn) G從點(diǎn)B出發(fā), 2先經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)M,再經(jīng)過(guò)拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)N,然后返回到點(diǎn) A.如果動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)M、N的位置，并求最短路程.例3.如圖3-1,拋物線y2與丫軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B.點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).圖3-1例4.如圖4-1,菱形 ABCD中，AB=2, /A=120,點(diǎn)P、Q、K分別為線段 BC、CD、BD

3、上的任 意一點(diǎn)，求 PK+QK的最小值.圖4-1例5.如圖5-1,菱形ABCD中，Z A=60 , AB=3,。A、。B的半徑分別為 2和1, P、E、F分別是邊CD、OB和。A上的動(dòng)點(diǎn)，求 PE+PF的最小值.圖5-1例6.如圖6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+ 1,0),求a為何值時(shí)，四邊形 ABEF周長(zhǎng)最小?請(qǐng)說(shuō)明理由.圖6-1例7.如圖7-1, 4ABC中，/ ACB=90 , AC= 2, BC = 1.點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸的正半軸上,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離.圖7-1例8.如圖8-

4、1,已知A(2,0)、B(4, 0)、D( 5,3擲).設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連結(jié)AF ,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段 AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止.當(dāng)點(diǎn) F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn) M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少?例9.如圖9-1,在RtABC中，/ 0=90 , AC = 6, BC=8.點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié) AE,過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F ,求AF的最小值.圖9-1例10.如圖10-1,已知點(diǎn)P是拋物線y 1x2上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) D、E的坐標(biāo)分別為(0,1)、(1,2),連結(jié)4PD、PE,求PD + PE的最小值.圖 10-1

5、參考答案例1.【解析】如圖1-2,把拋物線的對(duì)稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱，連結(jié)BC,那么在 PBC中,PB+PC總是大于BC的.如圖1-3,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，lPB+PC最小，因此 PA+PC最小，A-PAC的 周長(zhǎng)也最小.由 y=x22x 3,可知 OB=OC = 3, OD=1.所以 DB = DP=2,因此 P(1,2).例2 .【解析】如圖2-2,按照“臺(tái)球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) A；作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B；連結(jié)AB與x軸交于點(diǎn)M,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)N.在RtAAB中，AA= 8, AB= 6,所以AB= 10,即點(diǎn)G走過(guò)的最短路程為 10.根據(jù)相

6、似比可以計(jì)算得到 OM= 8, MH= 4, NH=1.所以 M(8,0), N(4, 1). 333圖2-2例3.【解析】題目讀起來(lái)像繞口令，其實(shí)就是求|PAPB|的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0, 2), B(3, 6).設(shè)P(x, 0).絕對(duì)值|PAPB|的最小值當(dāng)然是 0 了，此時(shí)PA=PB,點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(如圖 3-2).解方程 x2 + 22=(x-3)2 + 62,得 x 匯.此時(shí) P(41,0) .66在/ PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB 了.如圖3-3,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延 長(zhǎng)線上時(shí)，|PAPB|取得最大值，最大值 AB=

7、5.此時(shí)P( 3 0).2,圖3-2圖3-3例4.【解析】如圖4-2,點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為Q,在KPQ中，PK+QK總是.大于PQ的.如圖4-3,當(dāng)點(diǎn)K落在PQ上時(shí)，PK+QK的最小值為 P（ABCD 的高，QH=J3.這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段A QpA 蟲(chóng)壓 BPCBp圖4-2圖4-3例5 .【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？PA3的最小值，先求 PB+RA的最小值（如圖5-2）.如圖5-3, PB+PA的最小值為 AB, AB= 6.所以如圖4-4, PQ的最小值為QH, QH就是菱形段短；垂線段最短.DA Q1n7達(dá)CBP H C圖4-4BE=1,

8、AF=2是確定的，那么我們可以求PB +PE+PF的最小值等于 3.圖5-2例6.【解析】在四邊形 ABEF中，AB、EF為定值，求 使得兩條線段有公共端點(diǎn).如圖6-2,將線段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段M圖5-3AE+BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過(guò)平移,E.如圖6-3,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A , MA由AOEsBHF,得匹尤.解方程aOA HB2;圖6-2例7.【解析】如果把 OB放在某一個(gè)二角形中，兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就土與x軸的交點(diǎn)E,滿足AE+ME最小.WA 得 a 343。卷 FH/ F圖6-3這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù) 身兩邊的和.顯

9、然 OBC是不符合條件的，因?yàn)?OC邊的大小不確定.如圖7-2,如果選AC的中點(diǎn)D,那么BD、OD都是定值，OD = 1 , BD=J2.在OBD中，總是有 OBvOD+BD.如圖7-3,當(dāng)點(diǎn)D落在OB上時(shí)，OB最大，最大值為 J2 1 .圖7-2圖7-3例8.【解析】點(diǎn)B(4, 0)、D( 5,3J3)的坐標(biāo)隱含了/ DBA =30 ,不由得讓我們聯(lián)想到30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.如果把動(dòng)點(diǎn)M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來(lái)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化了.如圖8-2,在RtADEF中，F(xiàn)D = 2FE .如果點(diǎn)M沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D時(shí),那么點(diǎn)M沿線段FE以每秒1個(gè)單位的速度正好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

10、E.因此當(dāng)AF+FE最小時(shí)，點(diǎn) M用時(shí)最少.如圖 8-3,當(dāng) AEXDE 時(shí)，AF + FE 最小，此時(shí) F( 2,273).圖8-2圖8-3DE的最小如圖9-3,當(dāng)DELBC時(shí)，DE最小.設(shè)DA=DE=m,此時(shí) DB= 5m3由 AB=DA+DB,得 m 5m3一r 15. ,1510 .解得 m 15.此時(shí) AF= 2m 1542圖9-2圖9-3例9.【解析】如圖9-2,設(shè)AF的中點(diǎn)為D,那么DA = DE = DF.所以AF的最小值取決于值.例10 .【解析】點(diǎn)P不在一條筆直的河流上，沒(méi)有辦法套用“牛喝水”的模型. TOC o 1-5 h z 1cdccdcc1設(shè) P/xx2)那么 pn2=x2/y2i2/y2i2斫以 PD x21(X,A )X(XI)(XI)x.44441 如圖10-2, !x2 1的幾何意義可以理解為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到直線y=- 1的距