高中數(shù)學(xué)線段和差最值的存在性問題-

1、專題03線段和差最值的存在性問題解題策略專題攻略兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如 圖1）.三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是 指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖3, PA與PB的差的最大值就是 AB,此時點P在AB的延長線上，即 P解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題.圖2圖3例題解析例1.如圖1-1,拋物線y=x22x3與x軸交于A

2、、B兩點，與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸上的一個動點，如果 PAC的周長最小,圖1-1例2.如圖2-1,拋物線y lx2 4x 4與y軸交于點A, B是OA的中點.一個動點 G從點B出發(fā), 2先經(jīng)過x軸上的點M,再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點N,然后返回到點 A.如果動點G走過的路程最短，請找出點M、N的位置，并求最短路程.例3.如圖3-1,拋物線y2與丫軸交于點A,頂點為B.點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點P的坐標(biāo).圖3-1例4.如圖4-1,菱形 ABCD中，AB=2, /A=120,點P、Q、K分別為線段 BC、CD、BD

3、上的任 意一點，求 PK+QK的最小值.圖4-1例5.如圖5-1,菱形ABCD中，Z A=60 , AB=3,。A、。B的半徑分別為 2和1, P、E、F分別是邊CD、OB和。A上的動點，求 PE+PF的最小值.圖5-1例6.如圖6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+ 1,0),求a為何值時，四邊形 ABEF周長最小?請說明理由.圖6-1例7.如圖7-1, 4ABC中，/ ACB=90 , AC= 2, BC = 1.點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上,當(dāng)點A在x軸上運動時，點 C也隨之在y軸上運動.在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離.圖7-1例8.如圖8-

4、1,已知A(2,0)、B(4, 0)、D( 5,3擲).設(shè)F為線段BD上一點(不含端點)，連結(jié)AF ,一動點M從點A出發(fā)，沿線段 AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止.當(dāng)點 F的坐標(biāo)是多少時，點 M在整個運動過程中用時最少?例9.如圖9-1,在RtABC中，/ 0=90 , AC = 6, BC=8.點E是BC邊上的點，連結(jié) AE,過點E作AE的垂線交AB邊于點F ,求AF的最小值.圖9-1例10.如圖10-1,已知點P是拋物線y 1x2上的一個點，點 D、E的坐標(biāo)分別為(0,1)、(1,2),連結(jié)4PD、PE,求PD + PE的最小值.圖 10-1

5、參考答案例1.【解析】如圖1-2,把拋物線的對稱軸當(dāng)作河流，點A與點B對稱，連結(jié)BC,那么在 PBC中,PB+PC總是大于BC的.如圖1-3,當(dāng)點P落在BC上時，lPB+PC最小，因此 PA+PC最小，A-PAC的 周長也最小.由 y=x22x 3,可知 OB=OC = 3, OD=1.所以 DB = DP=2,因此 P(1,2).例2 .【解析】如圖2-2,按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點 A；作點B關(guān)于x軸對稱的點B；連結(jié)AB與x軸交于點M,與拋物線的對稱軸交于點N.在RtAAB中，AA= 8, AB= 6,所以AB= 10,即點G走過的最短路程為 10.根據(jù)相

6、似比可以計算得到 OM= 8, MH= 4, NH=1.所以 M(8,0), N(4, 1). 333圖2-2例3.【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求|PAPB|的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0, 2), B(3, 6).設(shè)P(x, 0).絕對值|PAPB|的最小值當(dāng)然是 0 了，此時PA=PB,點P在AB的垂直平分線上(如圖 3-2).解方程 x2 + 22=(x-3)2 + 62,得 x 匯.此時 P(41,0) .66在/ PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB 了.如圖3-3,當(dāng)點P在BA的延 長線上時，|PAPB|取得最大值，最大值 AB=

7、5.此時P( 3 0).2,圖3-2圖3-3例4.【解析】如圖4-2,點Q關(guān)于直線BD的對稱點為Q,在KPQ中，PK+QK總是.大于PQ的.如圖4-3,當(dāng)點K落在PQ上時，PK+QK的最小值為 P（ABCD 的高，QH=J3.這道題目應(yīng)用了兩個典型的最值結(jié)論：兩點之間，線段A QpA 蟲壓 BPCBp圖4-2圖4-3例5 .【解析】E、F、P三個點都不確定，怎么辦？PA3的最小值，先求 PB+RA的最小值（如圖5-2）.如圖5-3, PB+PA的最小值為 AB, AB= 6.所以如圖4-4, PQ的最小值為QH, QH就是菱形段短；垂線段最短.DA Q1n7達CBP H C圖4-4BE=1,

8、AF=2是確定的，那么我們可以求PB +PE+PF的最小值等于 3.圖5-2例6.【解析】在四邊形 ABEF中，AB、EF為定值，求 使得兩條線段有公共端點.如圖6-2,將線段BF向左平移兩個單位，得到線段M圖5-3AE+BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過平移,E.如圖6-3,作點A關(guān)于x軸的對稱點A , MA由AOEsBHF,得匹尤.解方程aOA HB2;圖6-2例7.【解析】如果把 OB放在某一個二角形中，兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就土與x軸的交點E,滿足AE+ME最小.WA 得 a 343。卷 FH/ F圖6-3這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù) 身兩邊的和.顯

9、然 OBC是不符合條件的，因為 OC邊的大小不確定.如圖7-2,如果選AC的中點D,那么BD、OD都是定值，OD = 1 , BD=J2.在OBD中，總是有 OBvOD+BD.如圖7-3,當(dāng)點D落在OB上時，OB最大，最大值為 J2 1 .圖7-2圖7-3例8.【解析】點B(4, 0)、D( 5,3J3)的坐標(biāo)隱含了/ DBA =30 ,不由得讓我們聯(lián)想到30角所對的直角邊等于斜邊的一半.如果把動點M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉(zhuǎn)化了.如圖8-2,在RtADEF中，F(xiàn)D = 2FE .如果點M沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到點 D時,那么點M沿線段FE以每秒1個單位的速度正好運動到點

10、E.因此當(dāng)AF+FE最小時，點 M用時最少.如圖 8-3,當(dāng) AEXDE 時，AF + FE 最小，此時 F( 2,273).圖8-2圖8-3DE的最小如圖9-3,當(dāng)DELBC時，DE最小.設(shè)DA=DE=m,此時 DB= 5m3由 AB=DA+DB,得 m 5m3一r 15. ,1510 .解得 m 15.此時 AF= 2m 1542圖9-2圖9-3例9.【解析】如圖9-2,設(shè)AF的中點為D,那么DA = DE = DF.所以AF的最小值取決于值.例10 .【解析】點P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型. TOC o 1-5 h z 1cdccdcc1設(shè) P/xx2)那么 pn2=x2/y2i2/y2i2斫以 PD x21(X,A )X(XI)(XI)x.44441 如圖10-2, !x2 1的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線y=- 1的距