高中數(shù)學(xué)不等式奧林匹克競(jìng)賽題解

1、第二章 代數(shù)第三節(jié)不等式B3- 001 北京、上海同時(shí)制成電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，除本地應(yīng)用外，北京可支援外地10臺(tái)，上?？芍г獾?4臺(tái).現(xiàn)在決定給重慶 8臺(tái)，漢口6臺(tái)，若每臺(tái)計(jì)算機(jī)運(yùn)費(fèi)如右表所示(單位：百元)，又上海、北京當(dāng)時(shí)制造的機(jī)器完全相同.問應(yīng)怎樣調(diào)運(yùn)，才能使總的運(yùn)費(fèi)最省？點(diǎn) 起漢口重慶北京48上海35【題說】1960年上海市賽高一復(fù)賽題 6.【解】設(shè)北京調(diào)給重慶 x臺(tái)，上海調(diào)給重慶 y臺(tái)，則0 x 10, 0y4x+y=8總運(yùn)費(fèi)為 8x+4 (10 x) +5y+3 (4y) =4x+2y+52=84 2y當(dāng)y=4時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，此時(shí)， x=4 , 10 x=6, 4 y=0 .答：北京

2、調(diào)給重慶 4臺(tái)，調(diào)給漢口 6臺(tái)，上海調(diào)給重慶 4臺(tái)，這樣總運(yùn)費(fèi)最省.B3- 002 x取什么值時(shí)，不等式(l-71 + 2x)22x + 9成立？【題說】第二屆(1960年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 2.本題由匈牙利提供.【解】顯然xHo.將原不等式化簡(jiǎn)得x 2 (8x 45) v 0,因此,原不等式的解為一改?；颉?若B3- 003甲隊(duì)有2m個(gè)人，乙隊(duì)有3m個(gè)人，現(xiàn)自甲隊(duì)抽出（14 m）人，乙隊(duì)抽出（5m- 11）人，參加游戲,問甲、乙隊(duì)各有多少人？參加游 戲的人有幾種選法？【題說】1962年上海市賽高三決賽題 4.【解】抽出的人數(shù)必須滿足- mC 2mI解得m=5.故甲隊(duì)有2m=10人，乙隊(duì)有3

3、m=15人，甲隊(duì)抽出14m=9（人）.乙 隊(duì)抽出5m- 11=14 （人），從而參加游戲的人共有C：。弓=150種選法.一升 3 J3-X -+7 A “B3- 004 求出所有滿足不等式2的實(shí)數(shù).【題說】第四屆（1962年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 2.本題由匈牙利提 供.【解】由題設(shè)知:- 在此范圍內(nèi)，碘大，則r -衍i越小，而在 =1-當(dāng)時(shí)，其值為o2所以解為坐.OB3- 007設(shè)ai, a2,，an為n個(gè)正數(shù)，且設(shè) q為一已知實(shí)數(shù)，使得0vqv 1.求n個(gè)數(shù)bi, b2,，bn使ak bk, k=1 , 2, , n.j bgi j. 1q- f k = L 2,，n- L% qj 1 +

4、q,、三.b + b二十+b置 ak對(duì)k=1 , 2,，n成立.比較 bk+1=q a1+q a2+ +qak+ak+1+ +qn-k-1 an與 qbk=qka1+ +q2ak-1+qak+q2ak+1+qn-k+1 an, qbk的前面k項(xiàng)與bk+1的前面k項(xiàng)相等，其余 的項(xiàng)小于bk+1的相應(yīng)項(xiàng)（因?yàn)?qv1）.因此bk+1 qbk.同理 bh+10, v0, wi 0u+v+w=1u2+v2+W21(2)平方得 =1 ( 3)得由(1) 得由(2)及(5)得：U = 1v - 0w = 0因此滿足題意的解為：x = 101, y1, z1, xyz=10, xg ygvzg 10賽二試題

5、 3.lgz=w ,則原題條件就變?yōu)椋簎 2+v2+w +2 (uv+vw+wuuv+vw+wu 2 L我們要求c+d的最小值，由題設(shè)c+d= (a+b) ( c+d) =ac+bd+ad+bc+ 2 + 2 Jac ；bd3 + 272a =0- 1, b = 2- 72c = 72 +1, d = 2 +時(shí)，等號(hào)成立.所以另一墟少為3+2/B3- 010 m個(gè)互不相同的正偶數(shù)與 n個(gè)互不相同的正奇數(shù)的總和為 1987,對(duì)于所有的這樣的 m與n,問3m+4n的最大值是多少？請(qǐng)證明你的 結(jié)論.【題說】第二屆(1987年)全國(guó)冬令營(yíng)賽題 6.2【解】1987a2+4+6+2m+1+3+ (2n

6、1) =m (m+1) +n故m與口滿足m+二因此，由柯西/、等式3m +4n = 3 Lq221.40于是221為3m+4n的上界，1B3- 011求最大的止整數(shù) n,使小-A 口 1_ 15n + k-1121取n=112,則k只能取唯一的整數(shù)值76二口 一二11另一方圓，在n112時(shí)，o 7-+11K1987+-J43m +- +4n21V1 3K2)23 m-27, n-35 時(shí)，3m+4n取得最大值 221.等式只對(duì)一個(gè)整數(shù)k成立.邀請(qǐng)賽題 8.1(1)、96a 11297.l = -256從而區(qū)間;山gn中有兩個(gè)整數(shù)比、k2,它們均使（1）成立. I U 因此滿足要求的 n=112

7、.B3- 012 非負(fù)數(shù)a和d,正數(shù)b和c滿足條件b+ca+d,這時(shí)表達(dá)式J 3可以取怎樣的最小值？c + d a +b【證】不妨設(shè) a+bc+dbe b+c f 1因+4 =- Cl ,c + d a + b c + d 1c + db + c=;Cb+c + b + c)(a乙Uic c+dbc . 1 a + b + c + d故 7 +)個(gè) ： 8 +c+d a+b 2c+d1 a + b c + d 12 c+d a +b 2、i a + bc + d 12V2(d + d) a + b 2當(dāng)逐二應(yīng) + 1, b = J5L o = 2, d=0時(shí)為飛回-77 .1 1a + bj+

8、b + c + d)1 1 )”1c + d a + bj,取得最小值 c + d a + b1988年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題B3- 013 設(shè)ai、a2、an是給定不全為 0的實(shí)數(shù)，口、2、rn是實(shí)數(shù)，如果 不等式ri （xiai） +2 （x2a2）+ +rn （xnan）Jx； + 上+A+x： - Ja； + 卓A對(duì)任何實(shí)數(shù)Xi、X2、Xn成立，求，ri、2、n的值.【題說】第三屆（i988年）全國(guó)冬令營(yíng)賽題 i.【解】取Xi=a, i=2 , 3,，n代入原不等式，得r-由） ai時(shí)，由上式得冏+不八+年+加；+小八十年當(dāng)xivai時(shí)，上述不等式反號(hào).令 xi分別從大于ai與小于

9、ai的方向趨于ai,得到1=a J舊+吊十同樣q 二即“端 + a； +A +&：, i = l, 2,，nB3- 0i4對(duì)于 i=i , 2,，n,有 |x i| v i ,又設(shè) |x i|+|x 2|+ + |x n| = i9+|x i + -+xn| .那么整數(shù) n的最小值是多少？【題說】第六屆（i988年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題 4.【解】因區(qū)勾0.故Im TOC o 1-5 h z nnn19 =工氏上Z網(wǎng)i=li-1E另方面, 令 Xi=X2=- - =xi0=0.95 , Xii=Xi2=- =X20= 0.95 ,貝U有3照IE同= 19. d = 0irtT I故n=20即為所求

10、最小值.B3 0i5 設(shè)m n為正整數(shù)，證明存在與 m n無關(guān)的常數(shù)a1,使得當(dāng)巴0 且 x+y+z=1.求 1/x+4/y+9/z 的最小值.【題說】1990年日本第一輪選拔賽題 10.【解】1/x+4/y+9/z=(x+y+z) ( 1/x+4/y+9/z )(成 1/ x + Jy 4 /y +9/e) = 36當(dāng)x = L y = ；, 1時(shí)，上式取等號(hào)，故所求最小值為36.632B3- 017 設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù) x、v、z,恒有(x2+y2+z2) & n (x4+y4+z4) 成立，求n的最小值.【題說】1990年全國(guó)聯(lián)賽一試題 2(3).原題為填空題.【解】(x2+y2+

11、z2) 2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x20時(shí)，原不等式化為 9x43.所以，n的最小值是3.B3- 019 a、b、c是一個(gè)任意三角形的三邊長(zhǎng)，證明：a2 (b+c a) +b2 (c+ab) +c2 (a+bc) b (b-c ) ( b-a ) +c (c-a ) ( c-b ) c (c-b ) ( c-a ) ( b-a ) =c (c-b ) 2 0B3-020怎樣的整數(shù) a, b, c滿足不等式 a 2+b2+c2+3 ab+3b+2c?【題說】1965年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題 1 .【解】對(duì)于整數(shù) a、b、c,所要解的不等式等價(jià)于 a2+b2+c2+4w a

12、b+3b+2c這個(gè)不等式可以變成+ (c-l)33)滿足關(guān)系式 a1=an=0, ak-1 +ak+1 2ak (k=2, 3,，n1),證明：數(shù) a, a2,，an中沒有正數(shù).【題說】1966年1967年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克二試題1 .【證】設(shè)a1,a2,，an中，ar最大，s是滿足等式as=ar的最小下標(biāo).若 ns1,貝Uas-1； vas,as+w as,從而as-1+as+1 v2as,與已知條件as-1 +as+12as矛盾.故只有s=1或s=n ,于是ar=0,數(shù)a1, a2,，an中沒有正數(shù)，B3- 022 設(shè)a、b、c、d是正數(shù)，證明不等式a+bvc+d(1)(a+b) ( c+d

13、) ab+cd(2)(3)(a+b) cdv ab (c+d)中至少有一個(gè)不正確.【題說】第三屆(1969年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題1.【證】假定(1)、 ( 2)、 ( 3)都正確.則2(a+b) (c+d) ( a+b) (ab+cd) ab (a+b) +ab (c+d) 2ab (c+d) 從而(a+b) 2 14與奇數(shù)27不成立.B3- 024 證明：對(duì)所有滿足條件 X10, X20, X1y1-上;0,叼為一的實(shí)數(shù)Xp x2, yP zr句，有不等式（均+犯）（力+力）一團(tuán)十句 Xi力一 町力 Y成立，并求出等號(hào)成立的充要條件.【題說】第十一屆（1969年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 6

14、.本題由原蘇聯(lián)提供.【證】 區(qū)渥+與所以（4籃/3yly?-句句）=況浴。1%-2%町心】町打巧xLx2yLy3 + zjzj一%遇:二（力力一4（叼門一君）+區(qū)+町）（力+%） -（4十句尸二（引力 ；）+（町門名）+（町力+又洌-26勺）區(qū)為r；） +區(qū)為7；） +2（百麗石一町町）（為V1 -4+（叼力-1）+2而31 一擊（叼力-小4:/1）（叼%842伏十%）+%）一（可+町f也y4y；）- 1 1G 2 +2K3y2 -z2當(dāng)且僅當(dāng) X1=X2, yi=y2, Z1=Z2時(shí)，等號(hào)成立.B3- 025 設(shè) a、b、n 都是自然數(shù)，且 a1, b 1, n1, A-i 和 4 是a進(jìn)制

15、數(shù)系中的數(shù)，Bn-1和Bn是b進(jìn)制數(shù)系中的數(shù). A-1、為、Bn-1和Bn呈 如下形式：An-1 =Xn-1Xn-2 X0, An=XnXn-1 X0 （a 進(jìn)制的位置表示法）；Bn-1 =Xn-lXn-2X0, Bn=XnXn-1X0 (b進(jìn)制的位置表示法).Bjii其中XnW0, Xn-lW0.證明：當(dāng)ab時(shí)，有Ah【題說】第十二屆(1970年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 2.本題由羅馬尼 亞提供.【證】由于 ab,故 AnBn-i A-i B=(Xnan-1+A-i) Bn-i (Xnbn-1+Bi) A-i=XnXn-i (an-1bn-2 an-2bn-1) + +X0 (an-1 bn-1

16、) 0所以年MM% 與B3- 026(n2)是自然數(shù)，證明下述論斷僅對(duì) n=3和n=5成立:對(duì)任意實(shí)數(shù)ai, a2,，an都有(ai a2) ( ai a3)(ai an) + (a2 ai) , ( a2a3)(a2 an) + (an ai) ( ana2)(an an-i) 0【題說】第十三屆(i97i年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 i.本題由匈牙利 提供.1979年湖南省賽二試題 4.【證】不妨設(shè) ai v a?w a3i w an.若n為偶數(shù)，令ai0第三項(xiàng)不小于0,故不等式成立；若n=5,則同樣可知左邊前兩項(xiàng)的和不小于0,末兩項(xiàng)的和也不小于0,第三項(xiàng)不小于 0,因此左邊總不小于 0,不等式

17、成立；若 n 7, 令 ai=a2=a3 a4 n證明：這個(gè)矩陣所有元素的和不小于0.5n2.【題說】第十三屆（1971年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題6.本題由瑞典提供.【證】交換A的兩行或兩列不改變題設(shè)的A的性質(zhì)（因?yàn)樾泻团c列和均不變、只是交換了位置），因此我們可以先通過交換兩行或兩列的變換，使得有盡可能大的 k滿足aii=a22=- - =akk=0.此時(shí)對(duì)于i , j k有au w0.對(duì) 于i w k, j k,若aij =0,則 硼w 0,因若不然，交換i ,j行，就會(huì)使an=a22=- =akk=ajj =0,與k的極大性矛盾.因而對(duì)于 j k,仍有aji +an+ai+an n于是2久廣注

18、兩+aJAYj i-l 1因而矩陣A的元素和不小于。會(huì)，028 求出所有能使不等式組.）國(guó)-總科-勺町混-區(qū)產(chǎn)1）0窗-父曲）-孫町）40（X：一修叼）（瑟一 %叼）。（x； -X述4）（x； -x2x4）0成立的所有解（X1, X2, X3, X4, X5）,其中X1, X2, X3, X4, X5都是正實(shí)數(shù).【題說】第十四屆（1972年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 4.本題由荷蘭提供.【解】為方便起見，令X5+i=Xi,則可以把原不等式組簡(jiǎn)寫為(X；-樂+溝禪)星0 (11 5)將它們加起來得5- Xi+2Xi+4）（i+l -向+/&4）i-11 352（盤 +xti）（xi+3 -xi+4）2

19、 ab (a+b) +bc (b+c) +ac (a+c)(1)【題說】第九屆(1975年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題 2.【證】不失一般性，可假定 abc.那末c(a c) (b c) 0, (ab) 2 (a+b-c ) 0從而c 3+abc TOC o 1-5 h z ac2+bc2(2)a3+b3+2abc ab (a+b)+a2c+b2c(3)(2)、( 3)兩式相加即得(1)式.B3- 030 已知ai, a2,，an為任何兩兩各不相同的正整數(shù)，求證對(duì)任何正整數(shù)n,卜列不等式成立；【題說】第二十屆（1978年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 5.本題由法國(guó)提供.【證】由柯西不等式JL, 1 X

20、143 人1因?yàn)樗杂桑?）得【別證】利用排序不等式.B3- 031已知 0Wai, 0Wa2, 0 bc0.原不等式即2a-b-c b?b-a-c 2c-a-b （1）由 2ab c0,得 /3 b2bde b2a-b-c b2b-a-c =ba+b-2c/i i+b-2c所以，Q）左端心+b.箴 d小=（力X 其中，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.【別證】可以利用等式a+b+calblcc _ （abc） 3=a 3 * b 3* cc Jb hz i2c凱b-ci+b-2ca 3 * b 3 * b 3 * c 3然后證明右端括號(hào)為正.033 設(shè) x yi 是實(shí)數(shù)（i=1 ,，n）.且

21、xiX2Axn； yiy23yn； zi、Z2、Zn是yy2、yn的任一個(gè)排列,證明HIk2區(qū)7廳42區(qū)-4i-L皿【題說】第十七屆（1975年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 1.本題由捷克斯洛伐克提供.t(向-4)2-1 區(qū) i-1i-1f ikn1工工工區(qū)口工片汽 JlJIi所以原式成立.B3- 034 有n個(gè)數(shù)ai, a2,，an.假設(shè)瓦=2-+A% (k = lj k22C= (ai bi) + (a2b2) +一 ,.、2,.、2D= (ai bn) + (a2bn) + 證明：C D 2C.【題說】第十三屆(1978年)全蘇數(shù)學(xué)奧22【證】設(shè) f (x) = (xai) + (x a2)貝U

22、f (x) =n (x b(bn)現(xiàn)在用歸納法來證明不等式 CW D 2C.當(dāng) n=i 時(shí)，C=D 故有 CW D02,，n)2+ (an bn)2+ (an bn)林匹克十年級(jí)題i0.，、2+ + (x an)n) 2+f,an中添一個(gè)數(shù)an+i,此時(shí)C 2+f (bn+i) f (bn).m二一n【證】由排序不等式(an+l -這樣，D 增加的值(an+1 bn+1)2+f (bn+1) f (3)在(an+1 bn+1) 與2 (an+1bn+1)2之間，從而，對(duì)于 n+1時(shí)，也有CK DK 2C所以，又t一切n,都有C& D 2CB3- 035 a、b、c、d、e 為整數(shù)，滿足 1Wa

23、vbvcvdve證明:1111/15a,b b,c c,d d,e16其中m, n為m n的最小公倍數(shù).【題說】第十一屆(1979年)加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題 3.v an【證】更一般地，可以證明：對(duì)于 n個(gè)整數(shù)a1, a2,，an,滿足1Wa1a22k,則若ak2k,則 1 1 . 17 1H一 %,叼叼，典 E.卜維金)工外)(外弘)=+ +/ +ala2 a2aJaL-lat其中(m n)為m n的最大公約數(shù)，從而B3-036 S為正奇數(shù)集ai, i=1 , 2,，n.沒有兩個(gè)差|aaj|相等，iwivj & n.求證:【題說】1979年英國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 3.【證】不妨設(shè) aia2v an

24、, r為整數(shù)且2w r ai+r (r 1) 1+r (r1)r=1時(shí)，上式也成立，故工露至1立代1)1 ,=+2)B3- 037對(duì)于n為一正整數(shù)，以p (n)表示將n表為一個(gè)或較多個(gè)正整數(shù)的和的方法數(shù)，例如p (4) =5,因?yàn)橛?個(gè)不同的和，即1+1+1+1, 1+1+21+3, 2+2, 4證明：當(dāng) n 1 時(shí)，p (n+1) 2p (n) +p (n 1) 0【題說】1979年英國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 5.【證】將n的p (n)個(gè)不同的表達(dá)式各加上1,得到p (n)個(gè)n+1的不同表達(dá)式，每一個(gè)都包含加數(shù) 1.而且，n+1的每一個(gè)含有加數(shù)1的表 達(dá)式，都可由這方法得到.因此將 n+1表為大于1

25、的整數(shù)的和的方法數(shù)q ( n+1) =p (n+1) p (n)同樣將n+1表為大于2的整數(shù)的和的方法數(shù)即q (n+1) -q (n)顯然 q ( n+1) q (n) 0因此 p ( n+1) 2p (n) +p (n 1) 0B3- 038若 0Wa, b, c 1,證明:c) + c +1 c + a + 1 a + b +1 十1 口食自= ；7；(1 一 a)(1 _ b) (1 - C)tJa + b + c b + c + 1 a+b + cZa(l a)居 + “ _ 1 -(l-bWfl + b + c)梅京)g + b + c)(a + c + 1)因?yàn)?1 b) (1 c

26、) (1+b+c) & ( 1 -b) (1 c) (1+b) ( 1+c)=(1 b2) (1c2) w 1 (當(dāng)a、b、c輪換時(shí)均成立)因此 6 0.B3- 039 若x為正實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).證明：網(wǎng)二甲+肆+號(hào)+A+(1)123 n其中t表示不超過t的最大整數(shù).【題說】第十屆(1981年)美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 5.【證】用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) n=1, 2時(shí)，(1)顯然成立.假設(shè)(1)對(duì)nwk1均成立.1=1,，則有kXk=kXk-1 +kx= ( k 1) Xk-1+Xk-1+kx(k-1 ) Xk-1 = ( k-2 ) Xk-2 +Xk-2+ (k-1 ) x2x2=X1+X1+2x將（2

27、）至（k）式相加，得kXk=Xk-1 +Xk-2+- - +X1+X1+kx+(k1) x+2x因此，由歸納假定,kxk kx+2 ( (k 1) x+ (k 2) x+ +x)但是(k m) x+mx (k m) x+mx (m k),所以kxk kx+ ( (k1) x) +x )+ + (x+ (k1) x) w kkx即xk 0,并說明等號(hào)何時(shí)成立.【題說】第二十四屆(1983年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 6.本題由美國(guó) 提供.【證】設(shè)a是最大邊，原式左邊 =a (bc) 2 (b+ca) +b (ab) (a c) (a+b c)顯然上式是非負(fù)的，從而原式成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,即這三角

28、形為正三角形時(shí)等號(hào)成立.B3 043設(shè)x1, x2,，xn都是正整，求證：Xi 町 X* xn、+ +A +-+ +叼 +工【題說】1984年全國(guó)聯(lián)賽二試題 5.本題可用柯西不等式、數(shù)學(xué)歸納法等多種方法證明.【證】X；/叼+叼)2與，歲的+的)知,+xG2Xm將以上各式相加，即得所要證的不等式.B3 044設(shè)P (x) =ao+a1x+akxk為整系數(shù)多項(xiàng)式，其中奇系數(shù)的個(gè)數(shù)由 W(P)來表示，設(shè) Q (x) = (1+x) i, i=0 , 1,，n.如果 i 1, i2,， in是整數(shù)，且0Wi1i2V in,證明：w(QQ+qQ w (q0.【題說】第二十六屆(1985年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹

29、克題 3.本題由荷蘭 提供.【證】歌(1+x) 2sl+xJ (mod2).當(dāng)i n=1時(shí)，命題顯然成立.設(shè)i n 1并且命題在in換為較小的數(shù)日成立.令 k=2N i nV 2m”,以Q表示Q% + Q& +Qi.，這時(shí)有兩種情況：(1) iik.設(shè) ivk, ir+ik, Q=R+ (1+x) kS,其中R=Q11+Q + +Qir S= U+x)k(Q% +Qk).琳吟的次數(shù)均小于 K,由(1) (1+x) k= 1+xk (mod20 ,故,_.- k _.W(Q =W(R+S+xS)=W(R+S)+W(S) W(R) :： 11,二 令義二(1 + x) kR, Q=(1 + x)

30、%,則R和S的次數(shù)均小于 K. W(Q =W(S+xkS) =2W(S) 2W(R)=W(R+xkR) =W( ( 1+xk) R) -*QiJ045 證明：對(duì)于任意的正數(shù) a, a2,，an不等式42k7當(dāng) 2W k w ( n+1) /2 時(shí)期 + 為 +A h由此得21c4】 + %+A+%“I 2.2k :2為+i+Af%+ +A +出1 + a2 a1+ 鼻口 +A +a1t+A+的 州 + aa+A +an1 1一 + +Aai 町成立.【題說】第二十屆（1986年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題2.【證】不妨設(shè)aiWazWw an.2 2因?yàn)樗?為 ai + ai, 2k - 2k 2

31、at+A +aah_ *.i ah_ia 軟 a】 a, ay 三* 1 14 一 + 一 + A +Lal a2【注】原不等式可加強(qiáng)為.111 k (aB+bC+cA 即aB+bC+cAv kB3- 048 證明：對(duì)于任意的正整數(shù) n,不等式(2n+1) n (2n) n+ (2n1) n 成立.【題說】第二十一屆(1987年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題8.【證】只須證明(lx)士 nx + C：/士* + 得 (l + x)tt-(l-xr-2nx = 2C；1 +2C* + (2)在式中令X即得卜五所以(1)式成立.B3- 049 已知a、b為正實(shí)數(shù)，且 1/a+1/b=1 .試證：對(duì)每一

32、個(gè) n C N,有(a+b) -an-bn22n-2n+1【題說】1988年全國(guó)聯(lián)賽一試題 5.【證】用數(shù)學(xué)歸納法證.（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=0=右邊，命題成立.（2）假設(shè) n=k 時(shí)，不等式成立，即（a+b） k-ak-b022k-2k+1當(dāng) n=k+1 時(shí)，左邊=(a+b) k+1-ak+l-bk+1= (a+b) (a+b) k-ak-bk+a kb+abk由于+= L 所以置b=a + b=(a + b) (4+)34.a b從而有k+l” + /=24爐=2 (ab) 2 - 2k+1=2k+2所以，左邊)4 (22k-2 k+1) +2k+2=22(k+1)-2 k+2=右邊由（1

33、）及（2）,對(duì)一切n N,不等式成立.B3-050 已知 a5-a3+a=2 .證明：3V a6(5)又由（1）知2= (a5+a) -a 3 2a3-a 3=a3(6)由（5）和（6）得 3V a64.B3-051 已知a、b、c、d是任意正數(shù)，求證:a b c+b + c c + d d + a【題說】1989年四川省賽二試題 1.r n b 。 d【證】+b + c c + d d + a a + ba(d * a) + c(b + c) b(a + b) + d(c + d) -H(b + c)(d + a)(c + d)(a+ b)(1)由平均值不等式,同理(a + b + c +d

34、)(b + c)(d + a) (a + b + c + d)(c + d)(國(guó) + b) (a + b + c + d)所以CO式右邊4(a3 + b3 + c2 + d3 + ad + be + ab + cd)二2，(a + b + c + d)(a + b + c + d)2 + (a - c)2 + (b - d)a、(a + b + c + d)2*B3-052求證:【題說】(b + 匚)2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2Zcd + 2 (ca+bdj2),滿足1, 勺=01989年全國(guó)聯(lián)賽二試題2.【證】設(shè)工/=A +B,b為負(fù)項(xiàng)之和.由A + B =

35、 O,X = a + t其中A、a為正項(xiàng)之和,B.ZB 1A-B = 1, A = -B =-.因?yàn)锳, BWbWB/nA/n a 3n【題說】1989年全國(guó)聯(lián)賽一試題 3.【證】左邊=(l + 1 + aJ (1 + 1 + M)(l + 1 + a*) 0局嗝)A (3向尸3”B3-054 對(duì)于任彳5實(shí)數(shù) xi, X2, X3,如果 xi+X2+X3=0,那么 xiX2+X2X3+X3Xi4),如果 X1+X2+Xn=0,那么 X1X2+X2X3+Xn-lXn+XnXlW 0?【題說】1989年瑞典數(shù)學(xué)奧林匹克題 3.【證】如果Xl+X2+X3=0,則有工 工+與+叼產(chǎn)+巖)X的十句必+=

36、當(dāng) n=4 時(shí)，若 Xi+X2+X3+X4=0,貝U+太4黑1 -(向+叼)(跖+笈4)即n=4時(shí)，命題成立.當(dāng) nR5 時(shí)，令 Xi=X2=1 , X4=-2 , X3=X5=X6=- - =Xn=0,貝U X1+X2+X3+X4+Xn=0而X 1X2+X2X3+X3X4+ - -+Xn-lXn+XnXl = l 0所以 n 5 時(shí)，命題不成立.B3-055 證明：對(duì)于任意的 X、v、zC (0, 1),不等式 x (1-y) +y (1-z) +z (1-X ) V 1 成立.【題說】第十五屆(1989年)全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題6.【證】設(shè)f (x) = (1-y-z ) x+y (1-

37、z) +z,它是x的一次函數(shù)，因此關(guān)于 x是單調(diào) 的.因?yàn)閒 (0) =y-yz+z= (y-1 ) (1-z) +1v1f (1) =1-yz 1所以當(dāng)xC (0, 1)時(shí)，f (x)的最大值小于1,即x (1-y ) +y (1-z ) +z (1-x) 1B3-056 證明：若a、b、c為三角形三邊的長(zhǎng)，且 a+b+c=1,則/ +b2 +c3 +4abc!2【題說】第二十三屆(1989年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題2. 1990年意大利數(shù)學(xué)奧林匹克題4.-J 111【證】0(-a)(-b)(-c) 乙u匕二;一 ； (a + b + c) + ； (ab + bc + ca) - abc

38、(1 - a2 -b2 - c2) - abc-b2 - c2 -4abc)1 1-+ 8 44 2所以一i +，B3-057已知二次函數(shù) f (x) =ax2+bx+c,當(dāng)-1 WxW1 時(shí)，有-1 Wf (x) 1求證：當(dāng)-2WxW2 時(shí)，有-7Wf (x) W7.【題說】1990年南昌市賽二試題【證】由已知-1-1 w f (0) =cw1(2)-1 f (-1 ) =a-b+c + (3)得(4)由(4)、 ( 2)得從而w 21a b+c|+2|a|+|c|7即而f (x)=a+b+c 1(1)(3)-1 a+c-2 w a w 2|4a 2b+c|=|2 (a b+c) +2a-c

39、|f ( 2) | 2,則f(x)在卜2, 2上單調(diào)，這時(shí), 2a|f (x) |7(2)若卜|2,則dab Y可一6卜區(qū)中卦朱仲2卜2所以，當(dāng)|x| W2時(shí)|f W |max (|f(2)I，1(2)|, |f ( -) |) 7 2aB3-058 證明：對(duì)于和為 1的正數(shù)ai, a2,，an,不等式所以及1an_十八十 一_1 . %an * al十八十2一an + al j、1+螞）+八十a(chǎn) +的）1/、1=2（%+/+%）=2當(dāng) ai=a2=- =an=H, 上式取等號(hào).B3-059 設(shè) a、b、c、d 是滿足 ab+bc+cd+da=1的非負(fù)數(shù).試證:上又b + c + d a +

40、c + d a + b + d a + b + c 3【題說】第三H一屆（1990年）IMO預(yù)選題88.本題由泰國(guó)提供.【證】設(shè) -1I Hrb+c + d a + c + d a + b + d a +b + c乙b + c + d則由柯西不等式s3 ”(b + c + d) ?(a1 +b2 +ca +/) 2熟知 2a (b + c + d)(3+b，+(?+d*)=62所以、(/ +N +/+d” 尸 (ab +bc + cd + da)B3-060設(shè)aWa2Wiw a7wa8是8個(gè)給te的實(shí)數(shù)，且x= (ai+a2+a7+a8)/8 ; 丫一 (過1 + 叼+4+電+弧),8試匹【題

41、說】1991年中國(guó)國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生數(shù)學(xué)題3.【證】16（V-，）-（制-即）=S （曰:+鼻；）-（3產(chǎn),-8），+4 （附+的）2 =；8 （a；+公）+ 3 （劭+/）2 -2 （為+/） （a2+-1+a7） _ （肛+, 1+%） 3區(qū)二+如）、+叼40-2 1%+/）（麗+，,+%）4班（ij+ae） - （a3+1+a7） /gf并且由柯西不等式，yx2,所以B3-061已知 0a2信下=2國(guó)“坳門I叫 1 (n2),且 |a k+i-ak| v 1, k=1, 2,證明： a i/a 2+&/a 3+an-i/a n+an/a i2n-i【題說】第十七屆(i99i年)全俄數(shù)

42、學(xué)奧林匹克九年級(jí)題8.【證】若 akWak+i (k=i, 2,n-i),則 ak/a k+i ak+i,則由 |a k+i-a k| vi 知 ak/a k+i v i+i/a k+i v 2設(shè)有p個(gè)k值使akak+i,則ai/a 2+a2/a3+an-i/a nW p+2 (n-i-p )同時(shí) a n/a i= (an-an-i) + (+-ai) +ai/a ivp+i因此 a i/a 2+a2/a3+an-i/a n+an/a iv p+2 (n-i-p ) +p+i=2n-iB3-0641 t n+1 m +nm , a-m + n其中 m nC N,證明 am+ann?+nn【題說

43、】第二十屆（i99i年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 4.【證】不妨設(shè)俏n,則tn + tn n=m= n故 nw aw mM-am= (m-a) (/+聲，+am)(2) (a-n ) n由(1)有(m-a) mm= (a-n ) TOC o 1-5 h z nn(3)將(2)、( 3)代入，即得 an-nnm-am或 am+anmm+nn此即所求證之式.B3-065 設(shè)a、b、c是非負(fù)數(shù)，證明： (匿 + b + c) / 3軟版 + b忘 + 保j【題說】第二十五屆(1991年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題1.證(a+b+c) 2= (a2+bc) + (b2+ca) + (c2+ab) HYPERL

44、INK l bookmark169 o Current Document + (ab + ca) +； (be + ab) + Cea +bc) WMw2aVbc + 2b、伍 + 2cVS + (ajbc + bjea + eVab)=3 (aVvF + b、族 + eVab)所以原不等式成立.B3-066 設(shè) a 0 (i=1 , 2,，n) , a=mina 1, a2,，an,試證- a) 2式中 an+1=a1.【題說】1992年第七屆數(shù)學(xué)冬令營(yíng)題 2.【證匯1 + ai+ln-1nzi-L/ - a1 + ai+i-zJIn-工K - a1十即+1aL - a1 + ai=y 占。

45、+%+1）（1斗西）（寧-a）， 4（1 + 1）（1 + 吩B3-067 設(shè)n 0 2）是整數(shù)，證明:H-1I1-1n-k 2.一14【題說】1992年日本數(shù)學(xué)奧林匹克題 3.出 n 1【證】記4 = Ek尹則k=i n -k ja二sn +1 -kn+1 n+11尹1* -+A +2n+1n+1 1 n n In n=丁+5（=1+2落）+ 點(diǎn)（”+A+產(chǎn)）n+1 11=+ + n 2 2ti 下面用歸納法證明：勾4y .易知犯=2,自3=3. a* =玲，假定當(dāng)（11力 則n+ 1-一百/.n + 1 -X2nn + 1+n10 n + 113 n8(nH)口我。 1)B3-068 n是

46、正整數(shù)，證明：口 n + 1 2n -1【題說】1992年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題 8.【證】因?yàn)? 1+ A +n n +1n+1 n + 2 =+ n n+12n -12n+A + t2n -1所以+工十八+7口（圾-1）n n + 1 2n - 1B3-069 對(duì)x、v、z0,證明不等式(y-z ) ( x+y-z )x (x-z ) 2+y (y-z ) 2 ( x-z )等號(hào)何時(shí)成立?【題說】第二十四屆(1992年)加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題2.解】 原不等式即 x3+y3+z3+3xyz x2y+xy 2+y2z+yz 2+z2x+zx2由對(duì)稱性，可設(shè) xz y,于是 x (x-z ) 2

47、+y ( y-z ) 2 0 ( x-z ) ( y-z ) (x+y+z)B3-070 設(shè)實(shí)數(shù)x、v、z滿足條件yz+zx+xy=-1 ,求x2+5y2+8z2的最小值和最大值.【題說】1992年英國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 4.【解】由于(y-2z ) 2+ (x+2y 十 2z) 2A0所以 x2+5y2+8z2 -4 (xy+yz+zx ) =4 311又當(dāng)x = 5 p y = 1 E = 時(shí),X2 +5ya +8z3 =4,所以,，+5y3 +8za的最小值為4.另一方面，令=0,則/x2+5y2+8z2x2當(dāng)y0時(shí)，函數(shù)x2+5y2+8z2的值可趨于無窮大.B3-071 設(shè)A是一個(gè)有n個(gè)元

48、素的集合，A的m個(gè)子集 A, X,，A兩兩互不包含， 證明：Qa(2)i-l其中ai為A中元素個(gè)數(shù).【題說】1993年全國(guó)聯(lián)賽二試題 2.【證】A中元素的全排列共 n!個(gè).其中開頭ai個(gè)元素取自A中的，有ai!( n-a。！個(gè).由于A與A (iwj)互不包含，故這些排列與開頭aj個(gè)元素取自A中的不同.因此2討(n-ai) ! n!即(1)成立.U1 TOC o 1-5 h z 面m ( m Ii-(ED =ma由柯西不等式，u結(jié)合(1)便得(2).B3-073 設(shè)函數(shù) f: R+-R+滿足條件：對(duì)任意 x、yCR+, f (xy) 0, n N,有1以(D【題說】1993年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(第

49、八屆數(shù)學(xué)冬令營(yíng))題6.【證】f (x2) & f2 (x),所以 f (x2) 產(chǎn)(j1) 3 (姆)產(chǎn)1(5C)A=(收猶熱切f(/)國(guó)砒婷)f (xn)兩邊開n次方然后乘以f (二)即得(。,所以（1）對(duì)所有的自然數(shù) n成立.B3-075 設(shè)a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，求證不等式a bcd 、2+- +1b + 2c + 3d c + 2 d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c 3【題說】第三十四屆（1993年）IMO預(yù)選題本題由美國(guó)提供.【證】由柯西不等式a(b+2c+ 3d)而吃與? TOC o 1-5 h z . a 3&)即一一一 -I .r. .J. 一又 (

50、a-b) 2+ (a-c) 2+ (a-d) 2+ (b-c) 2+ (b-d ) 2+ (c-d) 2 03 HYPERLINK l bookmark213 o Current Document ifcab + ac + ad + be + bd + edC - (a+b+c + d) 2(2)Q結(jié)合(1)、(2)即得結(jié)論.B3-076 設(shè)a, a2,，an為n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且 ai+a2+- -an=n.證明：【題說】1994年合肥市賽題4.【證】由于對(duì)任何森有2代1+J故和式左皿，另一方面由柯西不等式知(0式右邊)7；、 *工，*-。+ 且1)+ (1 + 町)5+(1 + %)n n =

51、2n 2B3-077 已知f (z) =C0Zn+CiZn-1+Cn(1)是z的n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式.求證：存在一個(gè)復(fù)數(shù)zo,憶o|=1 ,使|f ( Z0)| |C o| + |C n|(2)【題說】1994年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(第九屆數(shù)學(xué)冬令營(yíng))題 4.【證】取復(fù)數(shù)3 ,使| 3 |=1且3 n Co與Cn輻角相同，從而| 3 nCo+Cn| = | 3 nCo|+|C n| = |C o| + |C n|2 兀 i/n-k再令 w =e , ak= 3 , (0w kw n-1 )n-1利用3n=吸,得k-0= 口(5% +%) k4JTl-1因此故必有一個(gè) k,使 |f ( a k) | |

52、C0|+|C n|顯然，| a k|=1 ,于是a k就是所求的Z0oB3-078 設(shè)m和n是正整數(shù)，ai, a2,，am是集合1 , 2,，n中的 不同元素，每當(dāng)a+a w n, 1 w i w j w m,就有某個(gè)k,iwkwm,使得ai+a=ak, 求證：久+%+% 口+1m2【題說】第三十五屆(1994年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題1.本題由法國(guó)提供.【證】不妨設(shè) a1a2am,若存在某個(gè)i , l w i w m,使ai+am+1-iWn.則ai ai +am ai +am-1v ai +am+1-i n+1.從而2 (a1+a2+-+am) = (a1+am) + (az+am-D +-+

53、 (am+a。 m (n+1)B3-079設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù)且滿足 abc=1,試證：1 1 1a3(b + c) + b=c+a)Z(a+b) 5【題說】第三十六屆(1995年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題 2.【證】因?yàn)閍bc=1 ,所以1 ?b2ca 、 bJ TOC o 1-5 h z i= -5/a (b + c) a (b + c) ab + ac bac2 c2a2 aaba、3+/ 題中的不等式等價(jià)于-2將這不等式左邊記為 K,則（ab+ac） + （bc+ba） + （ca+cb） ） - KCVab + acbe/ab + ac+ Vbc +baVbc + babc+ca+ab)23款be) (網(wǎng) (bc + ca + 洶= bc + ca + ab由此立即得到K：，二.d-iiB3-080 設(shè)X1, X2,，Xn是滿足下列條件的實(shí)數(shù)： |Xl+X2+Xn| = 1且|町|1 = 1, 2, 1, n.I證明：存在X1, X2,，Xn的一個(gè)排列yi, y2, , yn