高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中常見錯(cuò)誤剖析

1、圓錐曲線中常見錯(cuò)誤剖析圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，每年的高考中都占有較大的比重?？v觀近幾年各地的高考試卷,以圓錐曲線為背景的試題設(shè)計(jì)上，命題者雖然在立意創(chuàng)新、知識(shí)的綜合和交叉、數(shù)學(xué)方法的滲透上動(dòng) 了不少腦筋，但總的來說在解法上還是以考查圓錐曲線的通性通法為主，注重的是常規(guī)思路。即便如 此，考生在此類題目的考試中得分率并不高，其中一個(gè)重要原因是平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)圓錐曲線中的一些 常見錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)不足。本文試圖對(duì)圓錐曲線中的一些易錯(cuò)點(diǎn)作簡(jiǎn)單剖析，希望引起同學(xué)們的注意。一、機(jī)械套用圓錐曲線的定義導(dǎo)致錯(cuò)誤22例1已知FF2是雙曲線 ?一=1的焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，若 P點(diǎn)到焦點(diǎn)Fi的距離1620等于9,求

2、點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離。(2003年上海卷改變)錯(cuò)解 雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,由雙曲線定義知|PFi.| |PF2 |=8,即|9| PF2 |=8,得|PF2|=1 或17。剖析 上述解法由于機(jī)械套用了雙曲線定義，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。事實(shí)上，設(shè)F1為左焦點(diǎn)，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為109,所以P點(diǎn)必在雙曲線的左支上，從而|PF2|=1不合，所以|PF2|二17。二、盲目套用標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)致錯(cuò)誤9. 2例2已知楠圓的一個(gè)焦點(diǎn) F (0, - 2J2 ),對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線萬程為：y=-且離心率e滿足:412 一,e , 一成等比數(shù)列，求這個(gè)楠圓的方程。9.2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bo

3、okmark114 o Current Document 33錯(cuò)解隋圓的一個(gè)焦點(diǎn) F(0, -272), .c=2a/2 ，又楠圓的一條準(zhǔn)線方程為: HYPERLINK l bookmark41 o Current Document a29 22 八 2 y22=, a =9, b =1小隋圓方程為 + x = 1.c 49剖析 本題解法的錯(cuò)誤是默認(rèn)橢圓是標(biāo)準(zhǔn)情形，盲目套用了標(biāo)準(zhǔn)方程，從而給人造成一種題目 條件多余的錯(cuò)覺。其實(shí)，只有對(duì)標(biāo)準(zhǔn)情形下的圓錐曲線，在求方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求基本 幾何量來解決，當(dāng)圓錐曲線不能定位時(shí)一般采用定義法求解。正確解法如下：9.2隋圓的一個(gè)焦點(diǎn) F (0,

4、 -252),相應(yīng)的推線方程為：y =-.又由1隋圓的離心率 e滿足:4F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線距,e, 2成等比數(shù)列，可求得：e =上2，設(shè)桶圓上任意一點(diǎn) P (x, y), P到焦點(diǎn)92 _2333離為d,由桶圓的第二定義得 空 =e,即PF =d e,，x2十(y+2、萬)2 =d化簡(jiǎn)即得x2 +7y2 +3，2y +型=0是一個(gè)中心不在原點(diǎn)的桶圓. 94三、忽視特殊情形導(dǎo)致錯(cuò)誤例3 已知點(diǎn)M (-2, 0) , N (2, 0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM | |PN |= 2J2 ,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W. （2006年北京卷）（I）求W的方程;（n）若 A, B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn),求oA、o

5、B的最小值.錯(cuò)解（I）由|PM|PN|=2j2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M ,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)a二二初,又半焦距c=2,故虛半軸長(zhǎng)b = J2,所以 W22的方程為土上=1 ( x 72 )。22(n)設(shè) a, B的坐標(biāo)分別為(Xi,yi),(X2,y2),直線 AB 的方程為 y = kx+m,與w的方程聯(lián)立,y = kx +mI 22 ox -y =2消去y得222(1 -k2)x2 -2kmx-m2 -2 =0.2 kmm2 2X1 - k2 -1,22二(1 k )X1X2 km(x1 X2) m_ (1 k2)(m2 2) 2k2m2k2 -11 -k2m2k： 2二2 一k

6、2 -1 k2 -1所以O(shè)A OB 二 x1x2 y1y2 ; x1x2 (kx1 m)(kx2 m)又因?yàn)镵X2 A0,所以k2 -1 0,從而OAOB2.,所以O(shè)AOB無最小值。剖析 本題（I）的解法是正確的。（n）的解法中忽視了直線 ab斜率不存在的情況，從而導(dǎo) 致了 OA OB無最小值的錯(cuò)誤。糾正方法是補(bǔ)上：當(dāng) ab x 軸時(shí)，x1 二 x2,從而 y1 = -y2,所以 OA OB = %x2 + y1y2 =為2 - y12 = 2.綜上，OA、OB的最小值為2.四、漏用判別式導(dǎo)致錯(cuò)誤例4如圖，直線y=kX+b與橢圓2X 2+ y =1父于人、8兩點(diǎn)，tE AOB 4的面積為S.(

7、I )求在(H)當(dāng) 1k=0, 0V b0的檢驗(yàn)。這也是處理直線和圓錐曲線位置關(guān)系相關(guān)問題中要特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)。五、誤用判別式導(dǎo)致錯(cuò)誤例5 已知橢圓3x2+2y2=6x與曲線x2+y2-k=0恒有交點(diǎn)，求k的取值范圍。22錯(cuò)解由13x2y =6x 消y得：x2 - 6x + 2k =0 x + y - k = 0:=36 -8k _0= 0 k 922剖析 A。只能保證萬程x -6x +2k=0有解，而不能保證原方程組有解。因?yàn)樵匠探M中有隱含條件0WxW2,消去y后得到的關(guān)于x的一元二次方程看不到這個(gè)限制條件。正確解法為：r_ 2 , _2_,3x2y =6x 、/段 /日 2 c 1 c由:

8、洎y得：x 6x+2k = 0,x2 +y2 -k = 0又 3x2+2y2=6x(x -1)2 2 =1,a 0 x 2,從而方程 x26x + 2k = 0 的兩根3x1、x2應(yīng)滿足0WxK2或0W x2 0 ),則方程為y2 = 4a ( x -a) , P (x , y)為拋物線上任一點(diǎn).f222222- PA = ( x - 3 ) + y = ( x - 3 ) + 4a ( x -a) = x + ( 4a - 6 ) x + 9 - 4a=x - 3 - 2a 2 12a - 8a2 HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 22. .

9、當(dāng) x = 3 - 2a 時(shí)，PA min = 12a - 8a = 4 a = 1 或 1/2所求拋物線方程為：y2 = 4 ( x -1 )或y2 = 2 ( x - 12)剖析 上述解法忽視了拋物線中 x的取值范圍，因?yàn)辄c(diǎn) P是此拋物線上動(dòng)點(diǎn)，所以 x a.正確解法為：PA = k - (3 - 2a+12a - 8a2( x a )(1)若 3 - 2a a 即 0 a E1,則當(dāng) x = 3 - 2a 時(shí) 2cPA min = 12a 8a = 41. a = 1 或 1/2(2)若3 - 2a 1則當(dāng)x = a時(shí)PA m i = a - (3- 2a )2+ 12a -8a2= 4

10、 ;a = 5故所求拋物線方程有三個(gè)：y2 = 4 ( x -1 )或y2 = 2 ( x - 12)或y2 = 20 (x - 5).七、忽視軌跡的純粹性導(dǎo)致錯(cuò)誤例7、已知 ABC的三邊abc,并成等差數(shù)列，A的坐標(biāo)為(-1 , 0), C的坐標(biāo)為(1, 0),求 頂點(diǎn)B的軌跡。錯(cuò)解 如圖所示，設(shè) B點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則b=| AC|=1-(-1)=2. a, b,c并成等差數(shù)列 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document a+c=

11、2b =4x/(x-1)2 +y2 + J(x+1)2 +y2 = 4,化簡(jiǎn)得軌跡方程為：= 1. HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 43 HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 22故所求B點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在直線 AC上的的橢圓x十丫 =1。 43剖析上面解答忽視軌跡的純粹性，即所求軌跡上的點(diǎn)要都滿足條件。事實(shí)上，由abc知圖形只能在y軸的左側(cè)且不能在 x,y軸上. 22正確解法：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由上面解得B點(diǎn)的軌跡為x+y =1,又由abc知曲線只能43在y軸的左側(cè)且除去(-2, 0), (0, -V3), (0, J3)三點(diǎn)。八、忽視軌跡的完備性導(dǎo)致錯(cuò)誤例8求與y軸相切于右側(cè)，并與。 C: x2+y2-6x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯(cuò)解 圓C方程化為(x3)2 +y2 = 9,設(shè)動(dòng)圓圓心點(diǎn)P (x,y) (x0) , O P與y軸相切與點(diǎn)22M,與。C相切與N點(diǎn)，所以|C