【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題大全】 競(jìng)賽專題5 數(shù)列（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）試卷

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題大全】 競(jìng)賽專題5 數(shù)列（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）一、填空題1（2020江蘇高三競(jìng)賽）從集合中取出225個(gè)不同的數(shù)，組成遞增的等差數(shù)列，滿足要求的數(shù)列共有_個(gè)2（2021浙江金華第一中學(xué)高三競(jìng)賽）設(shè)，則的值為_3（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）記，則_.4（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且求5（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足：，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.若，則_.6（2021浙江高三競(jìng)賽）設(shè)，滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)_.7（2021浙江高三競(jìng)賽）已知整數(shù)數(shù)列，滿足，且（，2，9），則這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)共有_

2、個(gè).8（2021浙江高二競(jìng)賽）設(shè)，則_.9（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足，則整數(shù)k的最小值是_10（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足，則_11（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）數(shù)列與滿足：，若對(duì)任意正整數(shù)k，都有，則實(shí)數(shù)t的最小值為_12（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）數(shù)列滿足：.則_.13（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）若數(shù)列滿足：對(duì)任意，均有成立，且都是等比數(shù)列，其公比分別為，若，且對(duì)任意恒成立，則的取值范圍為_14（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）數(shù)列an滿足：(其中an和an分別表示實(shí)數(shù)an的整數(shù)部分與小數(shù)部分)，則a2019=_ .15（2019貴州高三競(jìng)賽）已知集合A=1，2，3，2019，對(duì)于集合A的每一個(gè)

3、非空子集的所有元素，計(jì)算它們乘積的倒數(shù).則所有這些倒數(shù)的和為_ .16（2020浙江溫州高一競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值為_17（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）兩數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)n，則為_.18（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且則的最小值為_.19（2019河南高二競(jìng)賽）等差數(shù)列an中，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的nN+恒成立，則正整數(shù)m的最小值為_ .二、解答題20（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值21（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求證：對(duì)于正整數(shù)n，令，數(shù)列中有無窮多個(gè)奇數(shù)和無窮多個(gè)偶數(shù)（表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)

4、）22（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）數(shù)列滿足且證明：其中無理數(shù)23（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求最大的正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n及正實(shí)數(shù)，均有24（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）實(shí)數(shù)列滿足：，求的值25（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）定義在R上的函數(shù)，是否存在常數(shù)，使得對(duì)，有.26（2020浙江高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足，.（1）若對(duì)任意的正整數(shù)，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)，有恒成立，求的最小值.27（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知.求證：.28（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為1求證：29（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）若數(shù)列，求證：存在無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得，并確定是否存在無窮多個(gè)正整數(shù)n使得

5、？（這里表示不超過x的最大整數(shù)）30（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)為給定的正整數(shù)，實(shí)數(shù)及滿足如下條件：（1）；（2）；（3）；（4）證明：對(duì)一切，均有31（2021浙江金華第一中學(xué)高三競(jìng)賽）設(shè)，且稱為好數(shù)，如果使上述所定義的滿足且求全體好數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的所有區(qū)間的長(zhǎng)度之和32（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)多項(xiàng)式的系數(shù)為正整數(shù)定義數(shù)列：證明：對(duì)于任意的整數(shù)，均存在質(zhì)數(shù)p，使得，且33（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足（1）求證：（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在求出的值；若不存在請(qǐng)說明理由34（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)m是任一給定的正整數(shù)，正整數(shù)列定義如下：，求所有的正整數(shù)a，使得是周期的35（202

6、1全國(guó)高三競(jìng)賽）求常數(shù)C的最大值，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)均有36（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）給定整數(shù).求具有下列性質(zhì)的最大常數(shù)，若實(shí)數(shù)列滿足：，則.37（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足：，且對(duì)于任意正整數(shù)，均有.求證：（1）；（2）數(shù)列為單調(diào)數(shù)列.38（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）空間中的個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，把它們分成點(diǎn)數(shù)互不相同的組，且，在任何三個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，要使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)是多少?39（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列滿足設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意，在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列記，是否存在正整數(shù)，使成立?若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)

7、；若不存在，請(qǐng)說明理由40（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）圓周上有個(gè)1600點(diǎn)以逆時(shí)針方向依次標(biāo)號(hào)1，2，1600它們將圓分成1600段圓弧今選定某一點(diǎn)染成紅色，然后按如下規(guī)則，逐次染紅其余的一些點(diǎn)：如果前一次第號(hào)點(diǎn)被染紅，則后一次將此點(diǎn)以逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過段圓弧后的那個(gè)點(diǎn)染紅如此操作下去問圓周上最多可以得到多少個(gè)紅點(diǎn)?41（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)使得對(duì)任意正整數(shù)成立，則稱是有界數(shù)列已知數(shù)列滿足遞推式，求證：（1）若，則不是有界數(shù)列（2）若，則是有界數(shù)列42（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知正實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.43（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求具有下述性質(zhì)的最大整數(shù)m：對(duì)全體正整數(shù)

8、的任意一個(gè)排列，總存在正整數(shù)，使得：構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列（可以認(rèn)為：兩項(xiàng)也是等差的）44（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求最大的，使對(duì)于給定n，任意一個(gè)實(shí)數(shù)列，總存在一個(gè)子列滿足：（a）中有1項(xiàng)或2項(xiàng)屬于T；（b）45（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，求的取值范圍46（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）對(duì)于正整數(shù)，如果嚴(yán)格遞增的非負(fù)整數(shù)數(shù)列，使得所有非負(fù)整數(shù)可以唯一地表示為，其中ijk可以相同，則稱數(shù)列，為好的.（1）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，存在唯一的好的數(shù)列.（2）已知存在最小的正奇數(shù)m，使得在好的數(shù)列中有，求的值.47（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)集合.若X是的子集，把X中的所有數(shù)的和稱為X的“容量”.(規(guī)定空集的容量為0).若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集.（1）求證：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等.（2）求證：當(dāng)時(shí),的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等.（3）當(dāng)時(shí)，求的所有奇子集的容量之和.48（2020全國(guó)高三競(jìng)賽）稱一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列zn為“有趣的”，若|z1|=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，均有.求最大的常數(shù)C，