合工大2010級考研數(shù)值分析試卷

1、 88888 2010級一、填空題(每空2分，共20分)TOC o 1-5 h z1.近似數(shù)x*二2.315關于準確值x二2.31565有位有效數(shù)字，相對誤差是0.0002807或0.0002808.解/x二2.315&50.231565二10m二1x一x*=0.00065=0.065x10-2m-1=-2m1=21=3相對誤差為x-x*x-x*沁0.0002807或沁0.0002808.xx*2.若f(x)=x72x3+3，則f30,31,37=_,f,31,3s=0解f30,3v-,37=1,f3,3,3=0=07!7!8!8!其中匕介于30,31,-,37之間，匕介于30,31,-,38

2、之間。123.設函數(shù)f(0.9)=-1.2178,f(1)=-1,f(1.1)=-0.6018,用三點數(shù)值微分公式計算f(l)的近似值為3.08,f(1)的近似值為18.044.設A=-2-5_則IAll1=8，Cond(A)836|AJ=ma14,3j!5=(列范數(shù)),1-5-315312-4-2=2422+A-1=-|A|=max-2|+3,4+|-5=9,(行范數(shù))A-1|=max5/2+3.22+1=4,Cond(A)=|A|A-1|=9x4=36設x*是方程f(x)=0的3重實根，則求x*的改進的Newton迭代公式為x=x3I,k=1,2,kk1f(x)k1設函數(shù)f(x)=e-2x

3、,p2(x)是以0,1,2為節(jié)點的f(x)的二次Lagrange插值多4e_2乙項式，則余項e-2xp(x)=x(x-1)(x-2),其中g介于0,1,2,x之間。23f(g)23e_2g4e_2g3解_p2(x)=_0)(x_1)(x_2)=丁皿_1)(x_2)x(x1)(x2)，其中g介于0,1,2與x之間。二(本題滿分8分)對下列方程組2x+6x+3x=3,TOC o 1-5 h z123x+2x+4x=5,1234x一2x+x=2123建立收斂的Jacobi迭代公式和收斂的Gauss-Seidel迭代公式，并說明理由。解調(diào)整上述方程組的次序，得4x一2x+x=2,1232x+6x+3x

4、=3,123x+2x+4x=5.123據(jù)此建立Jacobi迭代公式x(k+1)=4(2x(k)一x(k)x(k+1)=jx(k+1)=1Cx(k)一2x(k)+5),341k3)x31)(1-&1-41-61-4)3)1和Gauss-Seidel迭代公式x(k+1匸1X(k+1)=2X(k+1)=I3因為調(diào)整后的方程組的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)的，所以據(jù)此建立的Jacobi迭代公式及Gauss-Seidel迭代公式所產(chǎn)生的序列x伙)都收斂。三(本題滿分10分)已知列表函數(shù)x0123f(x)0-5-63用差商法求滿足上述插值條件的Newton插值多項式(要求寫出差商表)。解構造差商表xif(x)i

5、一階差商一階差商二階差商x=00f(x)=00 x=11f(x)=-51fx,x=-501x=22f(x)=-62fx,x=-112fx,x,x=2012x=33f(x)=33fx,x=923fx,x,x=5123fx,x,x,x=10123所求Newton插值多項式為p(x)=f(x)+fx,x(x-x)+fx,x,x(x-x)(x-x)3001001201+fx,x,x,x(x-x)(x-x)(x-x)0123012=0-5(x-0)+2(x-0)(x-1)+(x-0)(x-1)(x-2)=-5xx2+x3.四(本題滿分16分)(1)確定x,x,A,A，使下面的求積公式為Gauss型求12

6、12積公式J：f(x)dx(T+停(x2).(2)分別用兩點古典Gauss公式及Simpson公式計算I=f1exsinxdx的近似值。解(1)因為兩點Gauss型求積公式具有3次代數(shù)精度，所以上述求積公式若是Gauss型求積公式，則當f(x)=1,x,x2,x3時，上述求積公式應準確成立，由此得：2=A+A,120=Ax+Ax,v11222/3=Ax2+Ax2,11220=Ax3+Ax3,1122故所求兩點Gauss型求積公式為f1-1x=-1/73,解得x2=idA=1,1A=1.2f(x)dx二f(*)+fI)對I=f1exsinxdx，被積函數(shù)為f(x)=exsinx.-1用上述兩點G

7、auss公式計算I=f1exsinxdx的近似值:f1exsinxdx-1exp(丄)in(丄)+expC)inC)=0.665844;TOC o 1-5 h z*3v333用Simpson公式計算I=f1exsinxdx的近似值:-1f1exsinxdx+4f(0)+f(1)1-161e-1xsin(-1)+4xe0 xsin0+e1xsin1=0.659265.3L準確值：I=f1exsinxdx=0.6634936666312411-1五(本題滿分10分)已知方程x3-2x-1=0在x=1.5附近有一個實根x*.0取初值x=1.5，用Newton迭代法求x*(只迭代兩次)。0取初值x=1

8、.5,x=1.6，用弦截法求x*(只迭代兩次)。01(1)f(x)=x3-2x1，廣(x)=3x22，)=xk-1據(jù)此建立Newton迭代公式x=xkk-1八xk-1)x3-2x-1k-1k-1,k=1,2,3x2-2k-1取初值x0=1.5，則x3-2x-11.53-2xl.5-1163158ee=1.5=1.6315&03x2-23xl.52-203x1.631582-2x3-2x-11631581.631583-2x1.63158-1161818=x-t+=1.63158=1.61818.13x2-21(2)弦截法格式為x-xx=x1f(x)kk-1f(x)-f(x)k-2x-1),k=

9、2,3,.k-1TOC o 1-5 h zkk-1x-x=xT_A-2k-1x3-2x-1-x3-2x-1k-1k-1k-2k-2取初值x=1.5,x=1.6，代入上式計算得：x=1.61996,x=1.61800.0123六（本題滿分10分）求擬合下列表中數(shù)據(jù)的1次最小二乘多項式，取權p=1，ii=0,l,2,3.m=3,n=1,申(x)=1,申(x)=x,01p三1(i=0,1,2,3)ix=1,x=2,x=3,012y=1.3,y=3.5,y=4.2,12x=4,3y=5.0,3)=lx1=4,00i=0(q)=送xx1=10,10ii=0仰，q)=lxx=10,01ii=011xxx=

10、30,iii=0叫,f)=lxy.=14,ii=0(Q,f)=送xxy=40.9.iii=0得法方程組解得c=0.55,0c=1.18.1-410-c14-0=1030c140.9所求多項式為于是，p(x)=0.55+1.18x七（本題滿分16分）（l）設初值問題學=/(t,y),dt，y(t)=y.00證明Euler方法是求解上述初值問題的僅有一階精度的數(shù)值方法。1 (2)用改進的Euler方法求下列初值問題(取步長h二0.5)蟲二空,0t1,dt1+1、y(0)=1.證設y二y(t)，則y(t)二f(x,y(t).nnnnn將y(t)在t處作Taylor展開TOC o 1-5 h zn+1

11、nh2y(t)=y(t+h)=y(t)+h-y(t)+y(g)，tgtn+1nnn2!nn+1由Euler方法得y二y+h-f(t,y)二y(t)+h-f(t,y(t)二y(t)+h-y(t)n+1nnnnnnnn上面兩式相減得h2y(t)-y=片y(E)=O(h2),n+1n+12于是p+1二2np二1，即：Euler方法是具有一階精度的數(shù)值方法。證畢!解(2)根據(jù)題設知f(t,y)二3y，則改進的Euler方法的計算格式為1+t+h-f(t,y),nny=yn+1n+1n+1+?f(t,y)+f(t,y),2nn由y0=y(0)=1，h二0.5,得3x1y=y+h-f(t,y)=1+0.5

12、xr=2.5,10001+03xl3x2.5+1+01+0.5=3,y=y+(t,y)+f(t,y)=1+罕x3x3y=y+h-f(t,y)=3+0.5x=6,21111+0.5y=y+h/(t,y)+f(t,y)=3+05x212112223x33x6+1+0.51+1=6.75.10200112下面2題任意選做1題。八(本題滿分10分)設S(x)是0,2上的三次自然樣條:S(x)=1+2x一x3,0 x1,S(x)0IS(x)=2+b(x一1)+c(x一1)2+d(x一1)3,1x2.解因為S(x)是0,2上的三次自然樣條，所以有S(10)=S(1+0),01S(10)=S(1+0),01S(2)=S(2)=0,1(23x2)|x=16=2c+6d(x-1),x=1=b+2c(x1)+3d(xl)2x=12c+6d(x|)=,0 x=2x=1亦即1=b,6=2c,2c+6d=0.解得b=1,c=3,d=1.八(本題滿分10分)設迭代矩陣M的某種范數(shù)|M|=q1，證明迭代公式x(k+i)=Mx(k)+d,k=0,1,2,對任意初值x(0)都收斂到線性方程組x=Mx+d的解x*，且有估計式x*x(k)I1|x(k)x(k1)I,其中MgRnxn，x*,x,