FIR頻率采樣設(shè)計

1、3 FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計設(shè)計思想 按頻域采樣定理FIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(z)h(n)可由它的N個頻域采樣值H(k)唯一確定。若要設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為 ，從頻域出發(fā),對理想頻響在 間進(jìn)行N點的等間隔采樣得：1FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計按頻域采樣定理由Hd(k)求H(z)或h(n)，其流圖如下： 設(shè)計過程和公式為使設(shè)計的濾波器為線性相位濾波器，濾波器的頻率響應(yīng) 及其頻率采樣值H(k)必須滿足一定的條件。一般而言，給定的理想濾波器的幅度響應(yīng)只給出了 范圍頻率采樣的幅度值，上式中的k只能取0到N/2 這(N/2+1)點，另外(N/2-1)點(從N/2+1到N-1)則需根據(jù)線

2、性相位的奇偶對稱條件求得。下面以偶對稱條件h(n)=h(N-n-1)為例說明設(shè)計公式。2FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計 對 在 等間隔N點采樣得H(k) ,k=0,1,N-1 對線性相位濾波器，其相位響應(yīng)為： 幅度響應(yīng)設(shè) 的頻響為：3FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計對頻率采樣的幅度值 有：N為奇數(shù) N為偶數(shù) 按線性相位的偶對稱條件: 若N為偶數(shù)，對為奇對稱: 對為偶對稱: 若N為奇數(shù)， ，k =0,1,(N-1)/2按式 對相位進(jìn)行頻率采樣得： 4FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計對N為偶數(shù)，(N-1)為奇數(shù) 取 ，k=0,1,N/2-1對N為奇數(shù)，(N-1)為偶數(shù) 取 ，k=0,1,(N-1)/2綜合以上分析

3、，可得到設(shè)計公式如下：5FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計綜合以上分析，可得到設(shè)計公式如下：對N為奇數(shù)，設(shè)計公式為：k=0,1,(N-1)/2，k=0,1,N/2-1對N為偶數(shù)，設(shè)計公式為：6濾波器的頻率響應(yīng)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計將 代入頻率采樣公式得：其中在采樣點但在采樣點之間，兩者誤差與 特性的平滑程度有關(guān)： 在 幅度曲線的平滑段，誤差較小，但在曲線的間斷點附近，會產(chǎn)生較大的誤差，使得濾波器的阻帶性能變壞 。誤差還與采樣點數(shù)N有關(guān)，N越大誤差越小。7FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計為提高阻帶衰減，常用增加過渡帶法如右圖8FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計優(yōu)化原則：在通帶內(nèi)要求在阻帶內(nèi)要求例 用頻率采樣法設(shè)計

4、一個低通濾波器，通帶截止頻率的偶對稱情況。，采樣點數(shù)N=20，采用h(n)=h(N-n-1)解：N=20，在范圍內(nèi)等間隔采樣，顯然，在通帶共有3個采樣點，分別是k=0,1,2采樣間隔為：又N為偶數(shù)，可得：9FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計將 和 代入求得 ，進(jìn)而求得或再利用式（6-3-11）和式（6-3-12）就可求出頻率響應(yīng)其相位響應(yīng)由式（6-3-6）給出，為線性相位。過渡帶為：2p/20 = p/10其幅度響應(yīng)如下圖，圖中還給出了其單位脈沖響應(yīng)10由上圖 d）可見，所設(shè)計的濾波器的阻帶衰減很小，只有-16dB。為了改進(jìn)阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個過渡點，為了保證過渡帶寬不變，將采樣點數(shù)增加一倍

5、，變?yōu)镹=40，并將過渡點的采樣值進(jìn)行優(yōu)化，取H1=0.3904，得到 和 分別為過渡帶為（2p/402）= p/10，求得的單位脈沖響應(yīng)和幅度響應(yīng)如下圖所示。FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計11FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計12FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計由上圖 d）可見，這時阻帶衰減達(dá)到了-43dB。為了進(jìn)一步增加阻帶衰減，可再增加一個過渡采樣點，并將采樣點數(shù)增加到60，兩個過渡樣點值經(jīng)優(yōu)化分別為=0.5925和=0.1099, 相應(yīng)的 和 分別為過渡帶為（2p/603）= p/10所得單位脈沖響應(yīng)和幅度響應(yīng)如下圖所示。 13FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計14頻率采樣法可以直接從頻域出發(fā)進(jìn)行設(shè)計，比較簡單

6、。這種方法最適合于設(shè)計窄帶濾波器。由上圖可見，這時阻帶衰減達(dá)到了-63dB，還可以通過進(jìn)一步增加過渡樣點來增加阻帶衰減。顯然，在保證過渡帶寬不變的情況下，相應(yīng)的采樣點數(shù)也就隨著成倍的增加，這樣將使濾波器的復(fù)雜度大大增加，在實現(xiàn)濾波時計算量也就隨著增加。FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計154 FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計設(shè)希望設(shè)計的濾波器幅度響應(yīng)為 ，實際逼近的幅度響應(yīng)為 ，加權(quán)誤差為 ，則：將指定的頻帶記為A (包括通帶和阻帶)，切比雪夫等波紋最佳逼近的設(shè)計的準(zhǔn)則是，選擇FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)使得在A內(nèi)誤差函數(shù) 的最大絕對值最小。將該最小值記為，則有： 預(yù)先指定的誤差加權(quán)函數(shù)下面介紹

7、切比雪夫等波紋最佳逼近方法的基本思想和方法。16線性相位FIR濾波器幅度特性的表示FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計FIR線性相位濾波器的幅度響應(yīng)有四種情況，將四種情況的 統(tǒng)一表示為：其中 是已知的三角函數(shù)，是關(guān)于的線性組合， 下表列出了對于四種不同情況的及的表達(dá)式。17FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計表中的系數(shù)與原系數(shù)和 的關(guān)系為： （6-4-4）（6-4-5） （6-4-6）18FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計將（6-4-3）式代入（6-4-1）式，得： 因而最優(yōu)化的問題變成了選擇的系數(shù)使誤差函數(shù)的最大絕對值最小。19利用切比雪夫等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR濾波器的原理FIR數(shù)字濾波器的等波紋

8、優(yōu)化設(shè)計交錯定理：設(shè)為的線性組合 ，即 ： 在A上能唯一的最佳逼近連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是加權(quán)誤差函數(shù) 在A內(nèi)至少有r+1個極值頻率點，即在A內(nèi)必須存在r+1個頻率點，其中 且 及 則以情況1為例，討論線性相位濾波器幅度響應(yīng)極值數(shù)目的約束問題20FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計表示成多項式： 將余弦函數(shù)將其代入對情況1的，得： 式中r=(N+1)/2， 是與 和 有關(guān)的常數(shù) 求極值頻率，將對微分一次得： 21FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計根據(jù)等波紋最佳一致逼近定理，誤差函數(shù)至少應(yīng)有r+1個極值，因此 本身至少還應(yīng)再增加一個獨立極值。對理想低通特性的 ， 的邊界頻率 和 也是 的極值點(不是

9、的極值點) ，這樣 就有r+2個極值頻率(這種情況稱為超波紋逼近)。 上式右邊余弦函數(shù)多項式的最高階次為r-2=(N-3)/2，應(yīng)有r-2個根，sin在=0和=處有兩個根(零點)，在區(qū)間0,上， 應(yīng)有r個極值點。對逐段恒定的幅度特性， 的極值點也是 的極值點22FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計例如，N=13，(N+1)/2=7 時幅度特性最多有7個極值點，而誤差函數(shù)E()有9個極值點，如下圖所示。 23求解方法及Remez算法FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計設(shè)已知在A上r+1個極值頻率為：將這些頻率代入式式中 按最佳逼近定理得：令an=B(n)，將上式寫成矩陣形式： 24FIR數(shù)字濾波器的等波

10、紋優(yōu)化設(shè)計上式中有r+1個極值頻率需要求解，實際求解起來很困難。引入Remez算法25Remez算法的計算步驟FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計Remez算法：靠一次次迭代求得一組交錯點即極值頻率點，從而求出系數(shù)，而且在每一次求解極值頻率的迭代過程中能夠避免直接求解。 具體步驟為： 首先給出r+1個極值頻率的初始估計值，通常在A上等間隔地取r+1個初始頻率點, 即由下式計算值 式中 一般不可能是最優(yōu)值 26 將值及r+1個極值頻率點代入(6-4-13)式，可求得的離散值 利用拉格朗日（Lagrange）插值公式, 可由的離散 (6-4-16)值得到連續(xù)的FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計27FIR

11、數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計將 代入(6-4-10)式可求得誤差函數(shù)E()。若在子集A的所有頻率上都有，則是最佳的極值，初始估計值恰好就是交錯點組，工作可結(jié)束。若在某些頻率點處，則初始估計的極值點不對，然后在這些點附近搜索局部極值點，于是得到一組新的交錯點，從而完成了一次迭代。 利用和步驟相同的方法，把在各頻率處使的局部極值點作為新的極值頻率的估計值，從而又得到一組新的極值估計值。 重復(fù)以上步驟，每次迭代后的都是遞增的, 最后收斂到也就最佳一致逼近 。最佳極值，此時28 迭代結(jié)束后，最后按新的最佳極值頻率求出 的r個系數(shù)B(n) （即），從而求得FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計在濾波器的p和s 及p和s等指標(biāo)給定后，在利用Remez交換算法開始設(shè)