第 6 講 離散型隨機(jī)變量分布Ⅱ(1012日講義待續(xù))

1、第 6 講 離散型隨機(jī)變量分布6.1 二項(xiàng)分布6.2 超幾何分布6.3 泊松分布16.1 二項(xiàng)分布2游戲和二項(xiàng)分布 有趣的游戲：一枚均勻的硬幣（正反面出現(xiàn)的概率各為0.5），連續(xù)拋50次。請問：出現(xiàn)2次“正面”的概率為多少？出現(xiàn)10次，20次，30次“正面”的概率又為多少呢？ 而如果硬幣不均勻（正面出現(xiàn)的概率為0.3、反面出現(xiàn)的概率為0.7），連續(xù)拋50次。請問：出現(xiàn)2次“正面”的概率為多少？出現(xiàn)10次，20次，30次“正面”的概率又為多少呢？3一 什么是二項(xiàng)分布？ 1、擲硬幣游戲中的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布就是“連續(xù)”拋硬幣的游戲 游戲開始前，我們已經(jīng)知道：拋一次正反面出現(xiàn)的概率。拋10次。 求：正

2、面出現(xiàn)3次的概率是多少？5次、10次的概率是多少 01/3P(x)1X正面次數(shù)234561/642、隨機(jī)變量 X對(duì)應(yīng)的概率能求出來嗎？試驗(yàn)：拋4次硬幣, 求“正面”出現(xiàn)1次、2次、3次、4次的概率？ 假設(shè)拋一次，正面出現(xiàn)的概率為p。反面的概率為1-p = q 1）正面出現(xiàn)1次的情況及概率 p q q q= p1 q 4-1 q p q q= p1 q 4-1 q q p q= p1 q 4-1 q q q p = p1 q 4-1 =C41 p1 q 4-1X次數(shù)0次1次2次3次4次pC40 p0 q 4-0C41 p1 q 4-1C42 p2 q 4-2C43 p3 q 4-3C44 p4

3、q 4-4 隨機(jī)變量X次數(shù)的概率分布 5 2）正面出現(xiàn)2次的情況，及概率 p p q q= p2 q 4-2 qqp p = p2 q 4-2 qp p q= p2 q 4-2 pq q p = p2 q 4-2 =C42 p2 q 4-2 q p q p = p2 q 4-2 p q p q = p2 q 4-2 3）正面出現(xiàn)3次的情況,概率P(X=3)=C43 p3 q 4-3 4）正面出現(xiàn)4次的情況,概率P(X=4)=C44 p4 q 4-4 5）正面出現(xiàn)0次的情況,概率P(X=0)=C40 p0 q 4-06拋硬幣的概率分布圖01/3P(x)1X正面次數(shù)2341/6當(dāng)p=0.5時(shí)。如果

4、硬幣不均勻，假設(shè)p=0.8時(shí)的概率分布圖，你能做出來嗎？ C41 p1 q 4-1 C42 p2 q 4-2 C43 p3 q 4-3 C44 p4 q 4-4總結(jié)規(guī)律：拋4次硬幣，隨機(jī)變量X的分布能用一個(gè)統(tǒng)一的代數(shù)式表達(dá)出來嗎？P(X= xi )= ？ C40 p0 q 4-07推而廣之，二項(xiàng)分布的概率分布函數(shù)可歸結(jié)為： 在n次試驗(yàn)中（投擲硬幣的次數(shù)中），出現(xiàn)“正面”的次數(shù)X（隨機(jī)變量），服從 ： P(X=x)= Cnx px q n-x的概率分布。這種分布我們習(xí)慣稱為二項(xiàng)分布（binomial distribution）。即XB (n, p), n,p都是已知參數(shù)。 剖析：P(X=2) =

5、 C42 p2 q 4-23、二項(xiàng)分布的概率分布投擲的次數(shù)成功的次數(shù)正面的概率8思路：利用二項(xiàng)分布求解：n=50次；p=0.5 4、游戲的答案：二項(xiàng)分布和人類的智慧 解有趣的游戲：一枚均勻的硬幣（正反面出現(xiàn)的概率各為0.5），連續(xù)拋50次。請問：出現(xiàn)2次“正面”的概率為多少？出現(xiàn)10次，20次，30次“正面”的概率又為多少呢？1）出現(xiàn)2次的概率： P(X=2) = C502 p2 q 50-22）出現(xiàn)10次的概率： P(X=10) = C5010 p10 q 50-1093）出現(xiàn)30次的概率： P(X=30) = C5030 p30 q 50-30 而如果硬幣不均勻（正面出現(xiàn)的概率為0.3、反

6、面出現(xiàn)的概率為0.7），連續(xù)拋50次。請問：出現(xiàn)2次“正面”的概率為多少？出現(xiàn)10次，20次，30次“正面”的概率又為多少呢？1）出現(xiàn)2次的概率： P(X=2) = C502 0.32 q 50-22）出現(xiàn)10次的概率： P(X=10) = C5010 0.310 q 50-102）出現(xiàn)20次的概率： P(X=20) = C5020 0.320 q 50-202）出現(xiàn)30次的概率： P(X=30) = C5030 0.330 q 50-3010 練習(xí)并做圖： 而如果硬幣不均勻（正面出現(xiàn)的概率為0.3、反面出現(xiàn)的概率為0.7），連續(xù)拋5次。請問：出現(xiàn)1次“正面”的概率為多少？出現(xiàn)0次，2次，5次

7、“正面”的概率又為多少呢？1）出現(xiàn)1次的概率： P(X=1) = C51 0.31 q 5-1=0.362）出現(xiàn)0次的概率： P(X=0) = C50 0.30 q 5-0=0.1683）出現(xiàn)2次的概率： P(X=2) = C52 0.32 q 5-2=0.3084）出現(xiàn)3次的概率： P(X=3) = C53 0.33 q 5-35）出現(xiàn)4次的概率： P(X=4) = C54 0.34 q 5-46）出現(xiàn)5次的概率： P(X=5) = C55 0.35 q 5-5=0.00211二項(xiàng)分布：做圖找規(guī)律01/3P(x)1X正面次數(shù)23451/6隨著n的增大1）當(dāng)p= 0.5 時(shí)，是正態(tài)分布。圖形對(duì)

8、稱。 3）二項(xiàng)分布：E(X)=np. D(X)=npq (做圖有用)4） 隨機(jī)變量各取值xi的概率之和恒為1.2）當(dāng)n 很大時(shí)，即使p0.5 ，圖形也會(huì)呈正態(tài)分布。 12【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品。現(xiàn)從中任取1件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率。 5、二項(xiàng)分布的廣泛應(yīng)用思路：1）次品和非次品就意味著硬幣的正面和反面。2）已知條件，次品出現(xiàn)的概率為5%。（p已知）3）投擲硬幣的次數(shù)是3次（試驗(yàn)的次數(shù)）。（n已知）則XB ( 3 , 0.05)，根據(jù)二項(xiàng)分布公式有 13【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽 取5個(gè)。求5個(gè)產(chǎn)品中 (1) 沒有次品

9、的概率是多少？ (2) 恰好有1個(gè)次品的概率是多少？ (3) 有3個(gè)以下次品的概率是多少？ 請做出概率分布圖來？14題1）：將一枚均勻硬幣投擲6次，求： （1）恰好出現(xiàn)兩次正面的概率？ （2）至少出現(xiàn)5次正面的概率？ （3）出現(xiàn)正面次數(shù)的均值？ （4）出現(xiàn)正面次數(shù)的方差？題2：事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為2/3，則在4次獨(dú)立重 復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生2次的概率為： （A）8/27 （B）9/27 （C）6/27 （D）5/27家庭作業(yè)（10月12日）15 題3）：口袋里裝有4個(gè)黑球與1個(gè)白球，每次任取1球，放回取3次，求所取過的3個(gè)球恰好有2個(gè)黑球的概率？ 題4）：設(shè)離散型隨機(jī)變量XB(2

10、,p)，若概率P(X1)=9/25,則參數(shù)p=? 題5： 設(shè)離散型隨機(jī)變量XB(n,p)，若數(shù)學(xué)期望E(X)=1.6,方差D(X)=1.28,則參數(shù)n,p的值分別為？16二項(xiàng)分布也有英雄氣短之時(shí)那么二項(xiàng)分布沒用了嗎？不！當(dāng)總體元素N很大，而樣本容量n很小時(shí)。即使“不放回”二項(xiàng)分布也成立，影響可忽略。而如果總體和樣本容量都較小，放回和不放回的差異大嗎？在這種情況下，如何反映現(xiàn)實(shí)（不放回）的概率分布？現(xiàn)實(shí)中，所抽取容量為n的樣本通常采用“不重復(fù)抽樣”（不放回抽樣）。而二項(xiàng)分布卻是重置抽樣（放回）。為什么總是“有放回”地摸球？ 例：口袋里裝有4個(gè)黑球與1個(gè)白球，每次任取1球，放回取3次，求所取過的3

11、個(gè)球恰好有2個(gè)黑球的概率？ （總體中：黑球的比率p=4/5；試驗(yàn)次數(shù)n=3）要保證每次試驗(yàn)的獨(dú)立性。必須要“放回”。176.2 超幾何分布小總體條件下B分布的改裝版18一、用二項(xiàng)分布處理是錯(cuò)誤的？ 例：在5件產(chǎn)品中有2件優(yōu)質(zhì)品。現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取3件，試求抽出產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的概率分布。（不放回）2）出現(xiàn)1次的概率： P(X=1) = C31 0.41 q 3-1=0.4321）出現(xiàn)0次的概率： P(X=0) = C30 0.40 q 3-0=0.2163）出現(xiàn)2次的概率： P(X=2) = C32 0.42 q 3-2=0.288這樣做對(duì)嗎？是錯(cuò)誤的！19此題用二項(xiàng)分布解存在的問題？二項(xiàng)分

12、布廣泛適用于大總體。即使不放回影響也可忽略。二項(xiàng)分布的前提是保證每次試驗(yàn)的獨(dú)立性。此題中，明顯是不放回抽樣，這導(dǎo)致二項(xiàng)分布不獨(dú)立了。而此題，是小總體小樣本。對(duì)概率的影響無法忽略。小總體小樣本中的元素要放回（重復(fù)抽樣）,從而有獨(dú)立性。20二、解決小總體問題 前例：在5件產(chǎn)品中有2件優(yōu)質(zhì)品?，F(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取3件，試求抽出產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的概率分布。（不放回）分析：用古典概率的“組合”概念來處理。21概率分布圖隨機(jī)變量X0次1次2次X B(n，p)概率p 0.2160.4320.288X H(n，N, M )概率p0.10.60.3思考：前面的三個(gè)組合公式能否合并為一個(gè)代數(shù)式 總體中的元素個(gè)數(shù)N

13、（5）；樣本中的元素個(gè)數(shù)n（3）；“成功”元素的個(gè)數(shù)M（2）. 一般元素的個(gè)數(shù)(N-M)=3.22三、超幾何分布(hypergeometric distribution)總體的元素?cái)?shù)目N 很小，或抽取的樣本容量n相對(duì)于N來說較大，二項(xiàng)分布就不在適用。因?yàn)槊看卧囼?yàn)中“成功”的概率不相等了（違反了獨(dú)立性原則）。各次試驗(yàn)并不獨(dú)立，成功的概率也互不相等對(duì)于這種“小樣本”不重復(fù)抽樣，樣本中“成功”的次數(shù)X,服從 的概率分布。俗稱XH(n,N,M) 超幾何分布。23前例的概率分布圖超幾何分布：M/N = p （二項(xiàng)分布的參數(shù)）01/3P(x)1X優(yōu)質(zhì)品個(gè)數(shù)21/6 C20 C33 C53 C21 C32

14、C53 C22 C31 C53超幾何分布的期望E(X)= n*（ M/N）N24超幾何分布概率圖01/3P(x)1X正面次數(shù)23451/6隨著N/n比例的增大隨著n的增大0例：口袋里裝有4個(gè)黑球與1個(gè)白球。分別采用放回和不放回方式抽取3次，求所取過的3個(gè)球恰好有2個(gè)黑球的概率？（總體中：黑球的比率p=M/N=4/5；試驗(yàn)次數(shù)n=3）254、超幾何（H）分布練習(xí)【例】假定有10支股票，其中有3支購買后可以獲利(其余虧損）。如果你打算從10支股票中選擇4支購買。求： (1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？ (2)3支可獲利的股票中有2支被你選中的概率有多大？ 解：設(shè)N=10，M=3，n=

15、4思路：1）總體N=10的10只股票有“獲利”和“虧損”兩種可能。（M已知）2）總體較小，樣本容量較小（n=4），且屬于不放回抽樣。3）用H分布來求概率較準(zhǔn)確。26第1步：在Excel表格界面，直接點(diǎn)擊【fx】(插入函數(shù))命令 第2步：在【選擇類別】中點(diǎn)擊【統(tǒng)計(jì)】，并在【選擇函數(shù)】 中點(diǎn)擊【 HYPGEOMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【Sample_s 】后填入樣本中成功的次數(shù)x(本例為3) 在【Number_sample】后填入樣本容量n(本例為4) 在【Population_s】后填入總體中成功的次數(shù)M(本例為3) 在【Number_pop】后填入總體中的個(gè)體總數(shù)N(本例為10)

16、 用Excel計(jì)算超幾何分布的概率課后作業(yè)第10題（p172）276.3 泊松分布歪打正著，意想不到的收獲28 而如果硬幣不均勻（正面出現(xiàn)的概率為0.3、反面出現(xiàn)的概率為0.7），連續(xù)拋50次。請問：出現(xiàn)2次“正面”的概率為多少？出現(xiàn)10次，20次，30次“正面”的概率又為多少呢？1）出現(xiàn)2次的概率： P(X=2) = C502 0.32 q 50-22）出現(xiàn)10次的概率： P(X=10) = C5010 0.310 q 50-103）出現(xiàn)20次的概率： P(X=20) = C5020 0.320 q 50-204）出現(xiàn)30次的概率： P(X=30) = C5030 0.330 q 50-30

17、一、二項(xiàng)分布計(jì)算的困難1、二項(xiàng)分布的概率公式簡單，但概率值計(jì)算困難292）當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時(shí)， np= ?？捎靡粋€(gè)除法公式近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即3）實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng) P0.25，n20，np5時(shí)，近似效果良好。2、用一個(gè)特殊的代數(shù)式來逼近1）泊松（D. Poisson）1837年發(fā)現(xiàn)了這個(gè)代數(shù)式記住：n*p=?它的現(xiàn)實(shí)意義就是平均數(shù)的意思30 技巧：先求 “平均出現(xiàn)次數(shù)”（期望值）：然后，將二項(xiàng)分布公式轉(zhuǎn)換成泊松公式簡化概率的計(jì)算。3、公式的運(yùn)用1）出現(xiàn)2次的概率： P(X=2) = C502 0.32 q 50-22）出現(xiàn)10次的概率： P(X=10) = C

18、5010 0.310 q 50-103）出現(xiàn)20次的概率： P(X=20) = C5020 0.320 q 50-202）出現(xiàn)30次的概率： P(X=30) = C5030 0.330 q 50-3031二、泊松分布 （Poisson distribution)【例】假定不均勻的硬幣連續(xù)拋50次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是15次（均值已知=np）。請問：出現(xiàn)2次“正面”的概率為多少？ 這個(gè)等式可以描述，在隨機(jī)變量X均值 已知的條件下，隨機(jī)變量出現(xiàn)特定值xi的概率p 。由于這種分布在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛，則將隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的（*）式分布稱為 Poisson分布，記為XP ().1、歪打正著：泊松等式刻畫了許多重要的隨機(jī)分布32【例1】假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時(shí)接到42次訂票電話，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率是多少？ 解：設(shè)X為 “10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù)” 2、泊松分布的實(shí)踐運(yùn)用練習(xí)：請畫出該隨機(jī)變量的泊松分布概率分布圖33 Poisson 分布圖0 1 2