概率論隨機變量及分布

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章 隨機變量及其概率分布（3）15 二維隨機變量及其概率分布二維隨機變量及其分布函數(shù)定義 若 和 是樣本空間 上的隨機變量，則稱（ ， ）為二維隨機變量或二維隨機向量。 記積事件 的概率2 設(shè) 和 是實變量，稱為二維隨機變量 的分布函數(shù)，記作 ，即 3 分布函數(shù)的性質(zhì)1. 2. 是 、 的不減函數(shù)；若 固定，則有 ；若 固定，則有 ；44. 5 2. 邊緣分布函數(shù)定義 設(shè) 的分布函數(shù)是 ， 稱 為 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)， 記作 ；類似地， 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)6例1 已知隨機變量 的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有 求 的分布函數(shù)、 關(guān)于 和

2、 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)。7解 的分布函數(shù) =若 ,則 =0；若 ，則 =1 / 4；若 ，則 = 3 / 8；若 ，則 = 5 / 8；若 ，則 = 1，8 的分布函數(shù)9 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù) 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)103. 二維離散型隨機變量的概率分布定義 若隨機變量 的取值是 ，則 是離散型的，稱為 的概率分布或分布律，也稱為隨機變量 與 的聯(lián)合分布律。11（ ， ）的分布律可以表示為12若是二維離散型r.v. 的分布律，則有（1）（2）13二維離散型r.v. 的分布函數(shù)14二維離散型隨機變量的邊緣分布律 關(guān)于 的邊緣分布律 關(guān)于 的邊緣分布律15例2 盒中有3只白球，2只紅球。第一次 從中

3、任取2球不放回，第二次再從剩余 球中任取1球。用 和 分別表示第 一次和第二次取到的白球數(shù)，求 的分布律、 的分布函數(shù)、 關(guān)于 、關(guān)于 的邊緣分布 律和邊緣分布函數(shù)。16解 的可能取值是0，1，2； 的可能 取值是 0，1 。17 的分布律是 0 118 的分布函數(shù)是19 關(guān)于 的邊緣分布律是 0 1 2 P 關(guān)于 的邊緣分布律是 0 1 P 20 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)是 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)是214. 二維連續(xù)型隨機變量的概率分布定義 設(shè) 是二維r.v. 的分布 函數(shù)，若存在非負函數(shù) ，對任 意實數(shù) 、 有 則 為連續(xù)型二維隨機變量，稱 為 的概率分布密度函數(shù)， 或 與 的聯(lián)合分布密度函數(shù)。

4、 22分布密度函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）在 的連續(xù)點處，有（3）若G是平面區(qū)域，則有23 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù) 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)24例3 設(shè) 的分布密度函數(shù)是求：（1）常數(shù) c；（2）25解 （1） 26（2）27例4 已知二維r.v. 的分布密度函 數(shù) 求：（1）（2）（3） 關(guān)于 、關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)。 28解 （1）29（2）30（3） 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)31 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)325. 兩個常用分布1）均勻分布 設(shè)G是平面有界區(qū)域，G的面積為A。若隨機變量 的分布密度函數(shù)是則稱 在區(qū)域G上服從均勻分布。332）正態(tài)分布若隨機變量 的分布密度函數(shù)是其中 ，則稱

5、服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記作34 當(dāng) 時， 的分布密度函數(shù)是35 可以證明，若則有 但是，若則 未必服從正態(tài)分布。366. 隨機變量的獨立性定義 若對任意實數(shù) 有則稱隨機變量 與 相互獨立。 由二維隨機變量的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的定義可以得到 若對任意實數(shù) 有則隨機變量 與 相互獨立。37 對于離散型隨機變量 ，可以得到 與 相互獨立的充分必要條件是對 的所有可能的取值 ，有38 對于連續(xù)型隨機變量 ， 與 相互獨立的充分必要條件是對任意實變量 ，有39例5 已知二維隨機變量 的分布律 是 0 1 1 2 問 與 是否相互獨立？ 40解 關(guān)于 、關(guān)于 的邊緣分布律分別是 1 2 0 1 P

6、2 / 3 1 / 3 P 1 / 4 3 / 4有41 與 相互獨立。42例6 設(shè)隨機變量 的分布密度函數(shù)是（1）求常數(shù)C；（2）計算 ；（3） 與 是否相互獨立？43解 （1） C = 1 / 244（2）45（3） 46 與 不相互獨立。 47例7 已知隨機變量 與 相互獨立，服從（0，1）上的均勻分布， 。求（1） 的分布密度函數(shù)；（2）解 由已知， 的分布密度函數(shù)是48 的分布密度函數(shù)是（1） 與 相互獨立，有 的分布密度函數(shù) 49（2）50可以證明，若且 與 相互獨立，則有51例8 已知隨機變量 且 與 相互獨立。（1）寫出隨機變量 的分布密度函數(shù) ；（2）計算 。52解 （1） 與 的分布密度函數(shù)分別是且 與 相互獨立， 53 的分布密度函數(shù)是54 （2