分析力學(xué)四一

1、 第四章 微振動微振動：很常見的一種物理現(xiàn)象定義：振動是指系統(tǒng)對(勢能有極小值的位 形)的某種周期性偏離。1.4.1 一個自由度的微振動一、自由振動平衡位置：系統(tǒng)勢能U(q)具有最小值的位置。 (此時：系統(tǒng)最穩(wěn)定) 12例：長為 l 的單擺的拉格朗日函數(shù)為其中 平衡位置：微振動：質(zhì)點對平衡位置的偏離不大 在平衡位置附近對L作泰勒展開，得到3推廣：對一個有平衡位置的一維系統(tǒng)，設(shè)q為廣義坐標， 則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為 設(shè)：q0 系統(tǒng)的平衡位置，則 4對U 在q0附近作泰勒展開，只保留到二階小量，有 二階小量 (勢能：平滑不陡峭； 若 大，則單位時間運動的距離大 振動不是微振動)則 a(q)只需展開

2、到零階小量，即 5略去對運動方程無關(guān)的常數(shù)項“-U(q0)”(物理上相當于選新的零勢能點，數(shù)學(xué)上：拉格朗日函數(shù)的非唯一性)，且令則由拉格朗日方程6得到運動方程 注：參見理論物理基礎(chǔ)教程P383388“量子諧振子”二、自由振動方程的解 自由振動：無強迫力、無阻尼的振動方程 的解為積分常數(shù)：A振幅； 角頻率； 初相位。其中振幅和初相位由初始條件確定，角頻率由系統(tǒng)確定。 7 由位置與時間的函數(shù) ，分別得到速度和加速度由質(zhì)點的位置、速度和加速度的表達式可見，它們均與 有關(guān)，因此定義 為相位。關(guān)于相位的討論：1. 對于同一振動系統(tǒng)，相位不同，則振動狀態(tài)不同。如：對于振動 ， 和 時，它們的振動狀態(tài)就不同

3、。82. 對于以下兩個同頻率的簡諧振動系統(tǒng)當 時，振動同時到達最大位置，同時到達平衡位置，同時到達反方向最大位置 (步調(diào)一致)；當 時，振動1到達正方向最大位置時，振動2到達反方向最大位置，反之亦然 (步調(diào)相反) 。 通過相位，我們可以比較兩個不同振動的振動狀態(tài)：振動超前、振動同步、振動落后。93. 相平面與相速度 (注意：波動與振動密切相關(guān))等相面：空間中相位相同的點所組成的曲面。若電磁波的等相面為平面，則稱該電磁波為平面電磁波；若電磁波的等相面為球面，則稱該電磁波為球面電磁波。例：平面電磁波 ，其等相面為相速度定義為 則當 k 與 vp 共線時，有平面方程10于是即相速度為4. 非相干波的

4、疊加、波的群速度 頻率單一的波叫做單色波。真正單色波的波列必須是無窮長的，而有限長的波列是許多單色波的疊加。由這樣一群單色波組成的波列叫做“波包”。為了討論方便，設(shè)有振幅相等、波長和頻率都相近的兩列波組成的波包，它們的角頻率和波數(shù)分別為 和 ，且有11二者疊加后，可得 、 ，即 y x12 在前式中，右邊第二個余弦項表示高頻的波動，而第一個余弦項可視為低頻傳播的振幅。疊加所得的某瞬時波形如上圖所示，稱高頻波受到低頻波的調(diào)制 (如圖中綠色的線包絡(luò)線)。式中高頻波的傳播速度(即相速)為 ，而低頻波向前傳播的速度(群速度)為 。當兩列波的頻率差無限小時，波數(shù)差也無限小，在此極限情況下有13附：關(guān)于色

5、散的概念 牛頓于1666年用三棱鏡把太陽光分成彩色光帶，即將復(fù)色光分解為單色光而形成光譜，這種現(xiàn)象叫做光的色散。如右圖所示。 色散的原因：復(fù)色光進入棱鏡后，由于它對各種頻率的光具有不同折射率(即光速隨波長而變)，各種色光的傳播方向有不同程度的偏折，在離開棱鏡時就各自分散，形成光譜。 14 在物理學(xué)中把“色散”的概念推而廣之，凡波速與波長有關(guān)的現(xiàn)象都叫做色散，與 k 的依賴關(guān)系稱為色散關(guān)系。 根據(jù)色散關(guān)系，可以對相速度和群速度進行比較。因為所以，對于色散介質(zhì)，有而對于無色散介質(zhì)，則群速度等于相速度。15 凡是一個物理系統(tǒng)對輸入物理量的不同頻率成分有不同的響應(yīng)，往往就稱為“色散”,這是借用光學(xué)術(shù)語

6、。16自由振動系統(tǒng)：保守系 能量守恒即方程解的復(fù)數(shù)形式(指數(shù)形式)：令 ，則：思考：為什么用復(fù)數(shù)形式？什么條件下用復(fù)數(shù)形式？數(shù)學(xué)上：1. 對指數(shù)因子進行運算比對三角函數(shù)因子進行運算17更簡單，因為對指數(shù)微分并不改變它們的形式；2. 進行線性運算(相加、乘以常系數(shù)、微分、積分等) 時，可先用復(fù)數(shù)形式運算，運算完后再取實部；3. 反例：非線性運算。例：電磁場中坡印廷矢量 ，不是另外的例子：見P58 18三、受迫振動設(shè)：振子受到一個隨時間變化的外場力Ue (x,t)的作用則在平衡位置附近展開Ue (x,t)，有 上式中，Ue (x,t)只是t的函數(shù)，對方程無貢獻，略去。(確定平衡位置時，不考慮外場)

7、19令 ，則由拉格朗日方程，得到運動方程因令20 關(guān)于X的一階微分方程上式的解法：由F(t)=0得到與上式對應(yīng)的齊次方程再通過變易系數(shù)法解得非齊次方程的解 21討論：若外力場為周期性外場則選t0，使 ，則積分下限為零。令 22 按本征頻率 的振動和按強迫力頻率 的振動 的疊加四、拍1. 當強迫力的頻率 =本征頻率 共振現(xiàn)象，(I) 式不能用 (待討論)。2. 當 和 接近相等時，設(shè) 共振區(qū)。 (I)式的指數(shù)形式為 23在一個本征振動周期 內(nèi)， 改變很少(對 求微分) (II)式中： 振幅(隨t變化)； 頻率設(shè) ，則振幅A在 與 之間變化；變化的頻率是強迫力的頻率與本征振動頻率之差 拍現(xiàn)象。 2

8、425xtx2tx1t261. 4. 2 阻尼振動 共振一、無阻尼的共振出發(fā)點改寫為注意：此處的 不同于第一式的 。 27當 時：則共振時，振動的振幅將隨時間的增長而無限增大討論：1.振幅增到一定程度，微振動的假設(shè)已不再成立；2.實際運動存在阻尼，振幅不會隨時間無限增大。 28二、阻尼振動說明： 所謂“阻尼”是指消耗系統(tǒng)能量的因素，它主要分兩類：一類是摩擦阻尼，例如單擺運動時的空氣阻力等；另一類是輻射阻尼，當系統(tǒng)引起周圍質(zhì)點的振動時，系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，變?yōu)椴ǖ哪芰?。例如音叉發(fā)聲時，一部分機械能隨聲波輻射到周圍空間，導(dǎo)致音叉振幅減小，最后音叉的振動會停止下來。29實際的振動：存在阻尼

9、。阻尼的作用：使機械運動的能量耗散，轉(zhuǎn)化為熱能，使 機械運動停止(無外力時)。此時：1.對振動系統(tǒng)，不再是保守系，不能引入勢能函數(shù)；2.不能肯定運動物體的狀態(tài)只是該瞬時它的坐標和速度 的函數(shù)(因為此時要考慮介質(zhì)本身的運動、介質(zhì)和物 體內(nèi)部的熱狀態(tài))。 30力學(xué)中的運動方程不存在(因為前面已假定，只要同時給定坐標和速度就能完全確定力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài))。但：在某些情況振動頻率比介質(zhì)中的內(nèi)耗過程的 特征頻率小，即振動周期比內(nèi)耗過程的周期長認為：在物體上作用著只依賴于它的速度的“阻力”。辦法：在運動方程中加進阻力項。若速度又很小，則按速度的方次來展開阻力，有 ( ：較小)考慮到阻力和運動方向相反，有31

10、運動方程解的形式：特征方程：其中32 ：彈力阻力； ：彈力阻力通解為 三、有阻尼情況下的共振有阻尼情況下強迫振動的運動方程為 頻率為而振幅按指數(shù)衰減的振動備忘：當 時，解為33該方程的復(fù)數(shù)形式為通解為其中 ：初始條件決定 由通解，可以看到，長時間后，系統(tǒng)以本征頻率的振動衰減，只剩下第二項。34即：1.有阻尼的受迫振子，經(jīng)過足夠長時間后，完全按強迫 力的頻率振動，振動的相位落后于強迫力的相位(因 為 )；2.當 時，振幅c取極大值，發(fā)生共振(并不 隨t的增長而 無限增長)。四、通過共振時的相位變化和能量吸收率接近共振時，令35 ( 很小 小量)共振時：遠離共振時 ： 36 由低到高( 由負到正)通過共振頻率時，振動的相位改變共振點相位：振動達到穩(wěn)定(振幅不再隨時間變化)時，有 振子的能量不再變化克服阻尼所消耗的能量通過吸收外力源能量來補充。單位時間從外力源吸收的能量I=克服阻力在單位時間內(nèi)做的功，即37一個周期( )內(nèi)能量的平均值為 吸收對頻率的依賴關(guān)系(色散) 3839 ：平均能量吸收率 當共振時 ，有 達到極大值： 共振吸收 當 時， 降到最大值的一半 若用S表示與 類似的某一物理量，它依賴與外來 頻率 。設(shè)S在 時達到共振，則 布雷特維格納分布(共振曲線的普遍分布)40一維阻尼振動方程另外的推導(dǎo)方法定義耗散函數(shù)： 瑞利耗散函數(shù)由此得到而這樣，廣義力可以寫為41 對于