平面曲線切線和法線

1、關于平面曲線的切線與法線第一張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月一、平面曲線的切線與法線 曲線 L ： 條件： 上一點, 近旁, F 滿足 隱函數(shù)定理條件, 可確定可微的隱函數(shù): 處的切線： 第二張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月總之, 當 例1 求笛卡兒葉形線 在點 處的切線與法線. 解 設 由1 例 2 的討 論 近旁滿足隱函數(shù)定理 第三張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月的條件. 容易算出 于是所求的切線與法線分別為 例2 用數(shù)學軟件畫出曲線 的圖象；并求該曲線在點處的 切線與法線. 第四張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月解 在 MATLAB 指令窗內(nèi)執(zhí)行如下繪圖指令

2、: syms x,y; ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1); 就立即得到曲線 L 的圖象 (見本例末頁). 令 容易求出: 第五張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得到 L 在點 處的切線與法線分別為： 若在上面的 MATLAB 指令窗里繼續(xù)輸入如下指 令, 便可畫出上述切線與法線的圖象 (如圖). hold on; a=(pi)(1/3); b=a2; ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b); ezplot(1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b) 第六張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月第七張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2

3、022年6月例3 設一般二次曲線為 試證 L 在點 處的切線方程為 證 第八張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得到所求切線為 利用 滿足曲線 L 的方程, 即 整理后便得到 第九張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、空間曲線的切線與法平面 先從參數(shù)方程表示的曲線開始討論. 在第五章3 已學過, 對于平面曲線若 是其上一點, 則曲線 在點 處的切線為 下面討論空間曲線. 第十張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月(A) 用參數(shù)方程表示的空間曲線: 類似于平面曲線的情形, 不難求得 處的切線為 過點 且垂直于切線 的平面 , 稱為曲線 L 在點 處的法平面 . 第十一張，PPT共

4、四十頁，創(chuàng)作于2022年6月因為切線 的方向向量即為 法平面 的法向量, 所以法 平面的方程為 (B) 用直角坐標方程表示的空間曲線： 設 近旁具有連續(xù)的 一階偏導數(shù), 且 第十二張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月不妨設 于是存在隱函數(shù)組 這也就是曲線 L 以 z 作為參數(shù)的一個參數(shù)方程. 根據(jù)公式 (2), 所求切線方程為 第十三張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月應用隱函數(shù)組求導公式, 有 于是最后求得切線方程為 相應于 (3) 式的法平面方程則為 第十四張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 4 求空間曲線 在點 處的切線和法平面. 解 容易求得 故切向向量為 由此得到切線

5、方程和法平面方程分別為 第十五張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月 syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2); ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi) 繪制上述空間曲線的程序與所得圖形如下: 第十六張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月第十七張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 求曲線 在點 處的切線與法平面. 解 曲線 L 是一球面與一圓錐面的交線. 令 根據(jù)公式 (5) 與 (6), 需先求出切向向量. 為此計算 F, G 在點 處的雅可比矩陣: 第十八張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得到所需的雅可比行列

6、式: 第十九張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月故切向向量為 據(jù)此求得 第二十張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月 三、曲面的切平面與法線 以前知道, 當 f 為可微函數(shù)時, 曲面 z = f ( x , y ) 在點 處的切平面為 現(xiàn)在的新問題是: 曲面 由方程 給出. 若點 近旁 具有連續(xù)的一階偏導數(shù), 而且 第二十一張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月不妨設 則由方程 (7) 在點 近旁惟一 地確定了連續(xù)可微的隱函數(shù) 因為 所以 在 處的切平面為 又因 (8) 式中非零元素的不指定性, 故切平面方程 第二十二張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月一般應寫成 隨之又得到所求的

7、法線方程為 回顧 1 現(xiàn)在知道, 函數(shù) 在點 P 的梯度 其實就是等值面 在點 P 的法向量: 第二十三張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月回顧 2 若把用方程組 (4) 表示的空間曲線 L 看作 曲面 的交線, 則 L 在 點 的切線與此二曲 面在 的法線都相垂 直. 而這兩條法線的 方向向量分別是 第二十四張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月故曲線 (4) 的切向向量可取 的向量積: 這比前面導出 (5) , (6) 兩式的過程更為直觀, 也容 易記得住. 第二十五張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點 解 令 則曲面的法向量為 處的切平面和法線. 從而由

8、 (9), (10) 分別得到切平面為 法線為第二十六張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月()例7 證明: 曲面 的任一切平 面都過某個定點 ( 這里 f 是連續(xù)可微函數(shù) ) . ()證 令 則有 第二十七張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月()于是曲面在其上任一點 處的法向量 可取為 由此得到切平面方程: 將點 代入上式, 得一恒等式: 第二十八張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月這說明點 恒在任一切平面上. 第二十九張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月四、用參數(shù)方程表示的曲面 曲面也可以用如下雙參數(shù)方程來表示: 這種曲面可看作由一族曲線所構成: 每給定 v 的一 個值, (

9、11) 就表示一條以 u 為參數(shù)的曲線; 當 v 取 某個區(qū)間上的一切值時, 這許多曲線的集合構成了一個曲面. 現(xiàn)在要來求出這種曲面的切平面和法線的方程. 為此假設且 第三十張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月(11) 式中三個函數(shù)在 近旁都存在連續(xù)的一階偏 導數(shù). 因為 在 處的法線必垂直于 上過 的 任意兩條曲線在 的切線, 所以只需在 上取兩條特 殊的曲線 ( 見圖 ) : 它們的切向量分別為 第三十一張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月則所求的法向量為 至此, 不難寫出切平面方程和法線方程分別為 第三十二張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月解 先計算在點 處的法向 例8 設

10、曲面的參數(shù)方程為 試對此曲面的切平面作出討論. 量: 第三十三張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月由此看到, 當 時 說明在曲面 (12) 而當 時, 法向量可取 上存在著一條曲線, 其方程為 在此曲線上各點處, 曲面不存在切平面, 我們稱這 種曲線為該曲面上的一條奇線. 與之對應的切平面則為 第三十四張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月法線則為當動點 趨于奇線 (13) 上的點 時, 法向量 存在極限: 第三十五張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月此點處 不存在法 此時切平面存在極限位置: 有時需要用此“極限切平面”來補充定義奇線上的 切平面 . 注 曲面上的孤立奇點往往是曲面的尖點, 如圓錐 面的頂點 在 線和切平面. 而曲面上的奇線, 則往往是該曲面的 “摺線” 、“邊界線” 或是曲面自身的 “交叉線”. 第三十六張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月曲面 (12) 及其奇線 (邊界線) 的圖象如下:第三十七張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 若 存在連續(xù)的一階偏導數(shù), 且滿足 則稱曲面 為 一光滑曲面. 對于用雙參數(shù)方程 (11) 表示的曲面, 應如何定義 它為光滑曲面? 請讀者自行考慮. 第三十八張，PPT共四十頁，創(chuàng)作于2022年6月復習思考題 1. 模仿例2、例4, 使用數(shù)學軟件(例如 MATLAB) 分別繪出例1 中的曲線