極限及其性質(zhì)課件

1、4 二維與三維運(yùn)動(dòng)4-1物理學(xué)探討什麼4-2位置與位移4-3平均速度與瞬時(shí)速度4-4平均加速度與瞬時(shí)加速度4-5拋體運(yùn)動(dòng)4-6分析拋體運(yùn)動(dòng)4-7等速圓周運(yùn)動(dòng)4-8一維的相對(duì)運(yùn)動(dòng)4-9二維的相對(duì)運(yùn)動(dòng)4-1 物理學(xué)探討什麼本章中我們將繼續(xù)探討關(guān)於運(yùn)動(dòng)分析方面的物理。不過，現(xiàn)在要考慮的運(yùn)動(dòng)可以是二維或三維的。要研究二維及三維的運(yùn)動(dòng)，我們先由位置及位移的概念開始。4-2 位置與位移通常我們會(huì)用位置向量（position vector）r 來標(biāo)示粒子（或像粒子的物體）的位置。位置向量是一個(gè)從參考點(diǎn)（通常為座標(biāo)系的原點(diǎn)）延伸至粒子的向量。以第 3 章的單位向量符號(hào)表示法，r 便可以被寫為圖4-1 一個(gè)粒子

2、的位置向量 r，是 r 的向量分量的向量和。4-2 位置與位移 (續(xù))假若在某一時(shí)間間隔內(nèi)，粒子的位置向量從 r1 改變至 r2，則粒子在那段時(shí)間間隔內(nèi)的位移r 為用 4-1 式中的單位向量符號(hào)表示，其中 (x1, y1, z1) 為位置向量 r1 的座標(biāo)；(x2, y2, z2) 為位置向量 r2 的座標(biāo)。以x 代表 (x2x1)、y 代表 (y2y1)、z 代表 (z2z1)，並將它們代入位移中重寫成：4-3 平均速度與瞬時(shí)速度假若一個(gè)粒子在時(shí)間間隔t 內(nèi)移動(dòng)了r，則它的平均速度（average velocity）vavg 為或以符號(hào)寫成利用 4-4 式，我們可將 4-8 式寫為向量分量的

3、和4-3 平均速度與瞬時(shí)速度 (續(xù))當(dāng)我們講到粒子的速度（velocity）時(shí)，通常指的是粒子在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度（instantaneous velocity）v。v 是當(dāng)t 趨近於 0 時(shí) vavg 的極限值。以微積分的語(yǔ)言，v 可寫成導(dǎo)數(shù)4-3 平均速度與瞬時(shí)速度 (續(xù))圖 4-4 畫出一個(gè)被限制在 xy 平面上的粒子之運(yùn)動(dòng)路徑。當(dāng)粒子沿著曲線向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置向量隨著粒子掃向右邊。在時(shí)間間隔 t 內(nèi)，粒子的位置向量從 r1 改變到 r2，粒子的位移便是 r。要得到粒子在時(shí)刻 t1 的瞬時(shí)速度（此時(shí)粒子的位置在 r1），我們縮短在 t1 附近的時(shí)間間隔 t，並使其趨近於 0。4-3 平

4、均速度與瞬時(shí)速度 (續(xù))當(dāng)t 0 極限時(shí)，我們有 vavgv；同時(shí)，最重要的是 vavg 在切線的方向上，所以 v 也在同樣的方向上：在三維空間的運(yùn)動(dòng)也是同樣的結(jié)果：v 總是與粒子的路徑相切。圖4-4 在時(shí)間 t1 時(shí)，粒子在位置 1，其位置向量是 r1；在時(shí)間 t2 時(shí)，粒子在位置 2，其位置向量是 r2。在時(shí)間間隔t 內(nèi)粒子的位移便是r。同時(shí)也畫出粒子於位置 1 時(shí)路徑的切線。圖4-5 粒子的速度 v 跟 v 的純量分量。4-4 平均加速度與瞬時(shí)加速度 在時(shí)間t 間隔內(nèi)，若粒子的速度從 v1 改變到 v2。那麼，粒子在時(shí)間t 內(nèi)的平均加速度（average acceleration）aav

5、g 為4-4 平均加速度與瞬時(shí)加速度 (續(xù)) 對(duì)於某一時(shí)刻，我們縮短t 並使它趨近於 0。那麼，在此極限下，aavg 趨近於在那一時(shí)刻的瞬時(shí)加速度instantaneous acceleration；或簡(jiǎn)稱加速度（acceleration） a；也就是將 4-16 式以單位向量表示可以將它改寫成4-4 平均加速度與瞬時(shí)加速度 (續(xù)) 4-17式中，a 的純量分量為對(duì) v 的純量分量做微分可以得到 a 的純量分量。4-5 拋體運(yùn)動(dòng)一粒子在鉛直面上運(yùn)動(dòng)，它的初速是 v0；不過，加速度一直都是向下的自由落體加速度 g。這樣的粒子就叫作拋體（projectile；意指投射或投擲），而它的這種運(yùn)動(dòng)就稱為

6、拋體運(yùn)動(dòng)（projectile motion）。4-5 拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))拋體運(yùn)動(dòng)，乍看之下似乎很複雜，但卻可以用以下的特性（由實(shí)驗(yàn)得知）簡(jiǎn)化：利用這個(gè)特性，我們能將二維運(yùn)動(dòng)的問題分成兩個(gè)獨(dú)立且較簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)問題。其中之一為水平運(yùn)動(dòng)（加速度為 0），另外一個(gè)是鉛直運(yùn)動(dòng)（有向下的等加速度）。4-5 拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))兩個(gè)高爾夫球圖 4-10 為兩張高爾夫球的連續(xù)快照，其中一球只是被簡(jiǎn)單地釋放並落下，另一顆球則是用彈簧將它水平射出落下。在相同的時(shí)間內(nèi)它們落下的鉛直距離一樣，因此它們?cè)阢U直方向上的運(yùn)動(dòng)是相同的。雖然第二顆球在落下時(shí)有水平運(yùn)動(dòng)，但這個(gè)事實(shí)並沒有影響到它的鉛直運(yùn)動(dòng)；也就是說，水平和鉛直運(yùn)動(dòng)

7、互相獨(dú)立。圖4-10 一球由靜止被釋放；同一時(shí)刻，另一顆球則是水平地往右方射出。它們?cè)阢U直方向上的運(yùn)動(dòng)是相同的（圖片來源：Richard Megna/FundamentalPhotographs）。4-5 拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))一個(gè)令人深思的實(shí)驗(yàn)圖 4-11 是一個(gè)生動(dòng)有趣的實(shí)驗(yàn)示範(fàn)。它包括以一顆小球當(dāng)作拋體的吹管 G，目標(biāo)為懸於磁鐵 M 下方的鐵罐，並使吹管對(duì)準(zhǔn)鐵罐。我們特意安排實(shí)驗(yàn)，使小球離開吹管的那一瞬間，磁鐵的磁力恰好消失並釋放鐵罐。假若 g（自由落體加速度的大?。?0，小球?qū)?huì)沿著圖 4-11 中的直線前進(jìn)；而磁鐵釋放鐵罐後，鐵罐仍會(huì)漂浮在原地。因此，小球一定能擊中鐵罐。圖4-11 射出

8、的小球總能擊中掉下來的鐵罐。小球和鐵罐兩者均從無自由落體加速度時(shí)的位置落下 h的距離。水平方向的運(yùn)動(dòng)由於在水平方向沒有加速度，拋體的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，速度的水平分量保持不變並與初始值 v0 x 相同。在任何時(shí)刻 t，拋體與其初始位置 x0 的水平位移 x x0 可由 2-15 式並令 a=0 求得。我們可以寫出因?yàn)?v0 x= v0 cos0，上式寫為4-6 分析拋體運(yùn)動(dòng)鉛直方向的運(yùn)動(dòng)鉛直方向的運(yùn)動(dòng)即為 2-9 節(jié)中所討論過的自由落體運(yùn)動(dòng)，最重要的特點(diǎn)是加速度是個(gè)常數(shù)。因此表 2-1 的方程式可以應(yīng)用，只要將 a 以 g 代替，並轉(zhuǎn)換成 y 座標(biāo)的記號(hào)。例如 2-15 式就變成4-6 分析拋體運(yùn)

9、動(dòng) (續(xù))路徑方程式將 4-21 式和 4-22 式中的時(shí)間變數(shù) t 消去，便可求得拋體的運(yùn)動(dòng)路徑（軌跡；trajectory）方程式。將 4-21 式的 t 解出，並將它代入 4-22 式中。整理後得由於 g、0及 v0 均為常數(shù)，4-25 式有 y=ax+bx2 的函數(shù)形式，其中的 a 及 b 均為常數(shù)。這是一個(gè)拋物線方程式，因此該路徑呈拋物線形。4-6 分析拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))水平射程拋體的水平射程（horizontal range）R 是該物體與它初始位置（拋射時(shí)位置）在同一高度時(shí)的水平距離。要求出 R，我們令 4-21 式中的 x x0=R 及 4-22 式中的 y y0=0，可得利用恆

10、等式 sin 20=2 sin0 cos0，可得4-6 分析拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))當(dāng) sin 20=1 時(shí)，4-26 式中的 R 有最大值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的角度是 20=90，也就是0=45。4-6 分析拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))空氣的效應(yīng)我們?cè)?jīng)假設(shè)空氣不會(huì)影響拋體的運(yùn)動(dòng)。在很多情形下，由於空氣會(huì)（反向）阻擋物體的運(yùn)動(dòng)，這使得我們計(jì)算出的結(jié)果與拋體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)有很大的不同。例如圖 4-13 繪出一個(gè)被擊出的球之兩種運(yùn)動(dòng)路徑。這個(gè)球的初速是 44.7 m/s 並與水平成 60。路徑 I（由打擊手實(shí)際擊出的高飛球）是考慮一般球賽周遭的空氣條件時(shí)，所算出的運(yùn)動(dòng)路徑；路徑 II（物理教授的高飛球）是球在真空中的運(yùn)動(dòng)路徑。4

11、-6 分析拋體運(yùn)動(dòng) (續(xù))圖4-13 路徑 I 是考慮空氣的阻擋效應(yīng)所算出的運(yùn)動(dòng)路徑。球在真空中的運(yùn)動(dòng)路徑 II 是以本章的方法計(jì)算出的。參考表 4-1中的資料。（取材自“ The Trajectory of a Fly Ball, ” by Peter J. Brancazio,The Physics Teacher, January 1985.）表4-1 練習(xí)1大聯(lián)盟最快速球的紀(jì)錄是由2003年費(fèi)城人隊(duì)的Billy Wagner 所投出的101mi/hr, 如果一般投手以此速度大小, 水平地投球, 當(dāng)球飛行60.5呎的水平距離抵達(dá)本壘時(shí), 球下墜了多少垂直高度?練習(xí)2 請(qǐng)問石頭掉下海灘費(fèi)時(shí)

12、多久?觸地時(shí)之速率與角度為何?假若一粒子以固定的（均勻的）速率在一圓周或圓弧上運(yùn)動(dòng)，我們稱此粒子正在做等速圓周運(yùn)動(dòng)（uniform circular motion）。等速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度又被稱為向心加速度（centripetal acceleration）。加速度 a 的大小為上式中，r 為圓的半徑，v 是粒子的速率。4-7 等速圓周運(yùn)動(dòng)雖然粒子正在做加速，但卻是維持等速率運(yùn)動(dòng)。因此，粒子繞行圓周一圈（距離 2r）所需時(shí)間便是T 稱為迴轉(zhuǎn)週期（period of revolution），或簡(jiǎn)稱為週期（period）它通常是指粒子繞行一個(gè)封閉路徑一次所需的時(shí)問。4-7 等速圓周運(yùn)動(dòng) (續(xù))圖4

13、-18 等速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度向量和加速度向量。4-8 一維的相對(duì)運(yùn)動(dòng)一粒子的速度與觀察者或測(cè)量者所使用的參考座標(biāo)系（reference frame）有關(guān)。假設(shè) Alex（位於圖 4-20 內(nèi)參考座標(biāo)系 A 的原點(diǎn)）將車停於公路旁，觀察 P 車（視為粒子）的速度。Barbara（位於參考座標(biāo)系 B 的原點(diǎn)）以等速率沿著公路行駛並同樣觀察 P 車。由圖 4-20可以看出這方程式的意義是A 測(cè)量到的 P 的位置座標(biāo) xPA，等於 B 測(cè)量到的 P 的位置座標(biāo) xPB 加上 A 測(cè)量到的 B 的位置座標(biāo) xBA。4-8 一維的相對(duì)運(yùn)動(dòng) (續(xù))此方程式的意思為A 測(cè)量到的 P 的速度 vPA，等於 B 測(cè)量到的 P 的速度 vPB 加上 A 測(cè)量到的 B 的速度 vBA。4-8 一維的相對(duì)運(yùn)動(dòng) (續(xù))要將 Barbara 和 Alex 測(cè)量到的 P 之加速度關(guān)聯(lián)起來，我們可以對(duì) 4-41 式取時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得因?yàn)?vBA 是常數(shù)，最後一項(xiàng)是 0，所以圖4-20 Alex（座標(biāo)系 A）及 Barbara（座標(biāo)系 B）以不同的速度，沿著兩座標(biāo)系共同的 x 軸運(yùn)動(dòng)，並觀察 P 車。圖中畫出某一時(shí)刻的情形。 xBA 是 B 在座標(biāo)系 A 的座標(biāo)，xPB 是 P 在座標(biāo)系 B的座標(biāo)，xPA= xPB+ xBA 則是 P 在座標(biāo)系 A 的座標(biāo)。4-9 二維