從擲骰子說(shuō)起-概率論的起源和發(fā)展簡(jiǎn)介課件

1、從擲骰子說(shuō)起(概率論的起源和發(fā)展簡(jiǎn)介)目錄賭博問(wèn)題,如何分賭資？ 概率論的起源走出賭博現(xiàn)代概率論的發(fā)展及若干分支簡(jiǎn)介概率論應(yīng)用簡(jiǎn)介一、賭博問(wèn)題,如何分賭資？ 概率論的起源 三四百年前在歐洲許多國(guó)家，貴族之間盛行賭博之風(fēng)。擲骰子是他們常用的一種賭博方式。 著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆爾森說(shuō)：“為什么賭博被認(rèn)為是很壞事情呢？最重要的原因可能是道德、倫理和宗教方面，但從經(jīng)濟(jì)學(xué)上看，反對(duì)賭博的理由也相當(dāng)大。首先，即使莊家不去抽頭，不搞別的花樣，賭博也只是毫無(wú)益處地把金錢從一個(gè)人手中轉(zhuǎn)到另一人手中，賭博并不創(chuàng)造新的價(jià)值，卻要耗費(fèi)時(shí)間和資源。所以，除了小額賭博還有某些娛樂(lè)功能外，賭博危害社會(huì)并減少國(guó)民收入。賭博的第二

2、個(gè)壞處是，它趨于過(guò)大收入的不平等和不穩(wěn)定。即：涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際遞減原理。 在當(dāng)時(shí)的歐洲，有的參賭者就想： 如果同時(shí)擲兩顆骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為9與點(diǎn)數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？ 17世紀(jì)中葉，法國(guó)有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德梅耳(De Mere)，發(fā)現(xiàn)了這樣的事實(shí)： 將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個(gè)六點(diǎn)的機(jī)會(huì)比較多，而同時(shí)將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙六的機(jī)會(huì)卻很少。 這就是后人稱為著名的De Mere問(wèn)題。 又有人提出了“分賭注問(wèn)題”： 兩個(gè)人決定賭若干局，事先約定誰(shuí)先贏得6局便算贏家。如果在一個(gè)人贏3局，另一人贏4局時(shí)因故終止賭博，應(yīng)如何分賭本？ 這個(gè)問(wèn)題的一般化是： 進(jìn)行某

3、種獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，失敗的概率為1-p. 問(wèn)在失敗m次之前成功n次的概率是多少？ 諸如此類的需要計(jì)算可能性大小的賭博問(wèn)題提出了不少，但賭徒們自己無(wú)法給出答案。因此就請(qǐng)數(shù)學(xué)家們“參與”賭博。 參賭者將他們遇到的上述問(wèn)題請(qǐng)教當(dāng)時(shí)法國(guó)天才數(shù)學(xué)家 帕斯卡(Bvlaise Pascal) (1623 - 1662), 帕斯卡為了解決這些問(wèn)題，就與當(dāng)時(shí)享有很高聲譽(yù)的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬(Pierre de Fermat)建立聯(lián)系。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)始了深入細(xì)致的研究。Bvlaise PascalPierre de Fermat 這些問(wèn)題被荷蘭科學(xué)家惠更斯(C. H

4、uygans)獲悉，他從荷蘭趕到巴黎參與他們的討論，這樣一來(lái)，使得當(dāng)時(shí)世界上很多有名的數(shù)學(xué)家對(duì)概率論產(chǎn)生濃厚的興趣從而使得概率論這門(mén)學(xué)科得到了迅速的發(fā)展。C. Huygans 如何合理地分賭注呢？帕斯卡提出一個(gè)重要思想： 賭徒分得賭注的比例應(yīng)該等于從中斷賭博以后繼續(xù)賭下去他們能獲勝的概率。 帕斯卡、費(fèi)爾馬和惠更斯分別給出這個(gè)問(wèn)題的三種不同解法。終于完整地解決了“分賭注問(wèn)題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念數(shù)學(xué)期望。 之后，惠更斯經(jīng)過(guò)多年的潛心研究, 解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題. 1657年, 他將自己的研究成果寫(xiě)成了專著論擲骰子游戲中的計(jì)算。這本書(shū)迄今為止被

5、認(rèn)為是概率論中最早的論著。因此可以說(shuō)早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)爾馬和惠更斯。人們把帕斯卡和費(fèi)爾馬建立聯(lián)系的日子(1654年7月29日)作為概率論的生日。這一時(shí)期被稱為組合概率時(shí)期，計(jì)算各種古典概率。 在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家族貝努利家族的幾位成員。雅可布貝努利在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問(wèn)題，給出了“賭徒輸光問(wèn)題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個(gè)定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結(jié)果。 大數(shù)定律證明的發(fā)現(xiàn)過(guò)程是極其困難的，他做了大量的實(shí)驗(yàn)計(jì)算，首先猜想到這一事實(shí)，然后為了完善這一猜想的證明，雅可布花了20年的時(shí)光。雅可

6、布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學(xué)研究之中，從中他發(fā)展了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證明(后人稱貝努利大數(shù)定律)。 伯努利家族丹尼爾伯努利 雅科布伯努利(Jocob Bernoulli) 尼古拉貝努利Nicolaus Bernoulli James Bernoulli (1654-1705) 約翰伯努利(歐拉的老師) 歐拉 1713年，雅可布的著作猜度術(shù)出版。遺憾的是在他的大作問(wèn)世之時(shí)，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古拉貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問(wèn)題”： 甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲一次出現(xiàn)正面，則乙付給甲一個(gè)盧布；若甲第一次擲

7、得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個(gè)盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個(gè)盧布。一般地，若甲前n1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個(gè)盧布。問(wèn)在賭博開(kāi)始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博而不致虧損乙方？ 尼古拉同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個(gè)問(wèn)題，并給出了一些不同的解法。但其結(jié)果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無(wú)限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進(jìn)行，乙肯定是要賠錢的。 二、走出賭博 隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會(huì)現(xiàn)象與機(jī)會(huì)游戲相似，從而由機(jī)會(huì)游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時(shí)也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展。 法國(guó)數(shù)學(xué)家La

8、place將古典概率論向近代概率論進(jìn)行推進(jìn)，他首先明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學(xué)分析工具，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。他還證明了“De Moivre - Laplace中心極限定理”，把De Moivre的結(jié)論推廣到一般場(chǎng)合，還建立了觀測(cè)誤差理論和最小二乘法。 Laplace于1812年出版了他的著作分析的概率理論，這是一部繼往開(kāi)來(lái)的作品。這時(shí)候人們最想知道的就是概率論是否會(huì)有更大的應(yīng)用價(jià)值？是否能有更大的發(fā)展成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.Laplace De Moivre 概率論在20世紀(jì)再度迅速地發(fā)展起來(lái)，則是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要而產(chǎn)生的。1906年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家Mark

9、ov提出了被后人稱為“馬爾科夫鏈”的數(shù)學(xué)模型。1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽又提出一種在時(shí)間中均勻進(jìn)行著的平穩(wěn)過(guò)程理論。 如何把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，這是從概率誕生時(shí)起人們就關(guān)注的問(wèn)題，這些年來(lái)，好多數(shù)學(xué)家進(jìn)行過(guò)嘗試，終因條件不成熟，一直拖了三百年才得以解決。 Andrei Markov (1856 - 1922)辛欽 20世紀(jì)初完成的勒貝格測(cè)度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測(cè)度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ)。在這種背景下Andrei N. Kolmogorov (1903 - 1987)于1933年在他的概率論基礎(chǔ)一書(shū)中首次給出了概率的測(cè)度論式定義和一套嚴(yán)密的公理體系即概率論的

10、公理化定義。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。Andrei N. Kolmogorov (1903 - 1987)三、現(xiàn)代概率論的發(fā)展及若干分支 雖然概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，但由于它所使用的無(wú)非是數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)等分析類工具，沒(méi)有自己解決問(wèn)題的方法，概率論在數(shù)學(xué)大家族中還是一個(gè)小弟弟，因此，研究概率論學(xué)者被別的數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)者小視。 在這期間，有一位著名的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Doob利用公平賭博的思想，引進(jìn)了一類新的隨機(jī)過(guò)程類Martingale (離散時(shí)間鞅)，與此同時(shí)，日本著名數(shù)學(xué)家Ito研究了Brown運(yùn)動(dòng)的軌道性質(zhì)。于是，概率論有自己的理論和研究方法，并把其應(yīng)用于

11、其他數(shù)學(xué)分支的研究中。從此，現(xiàn)代概率論開(kāi)始發(fā)展了。 J. L. Doob K. Ito1.半鞅論和隨機(jī)分析的建立 1953年，Doob 在其著作Stochastic Processes(Wiley, New-York)中首次系統(tǒng)地介紹了鞅論，使之成為隨機(jī)過(guò)程理論的一個(gè)獨(dú)立分支。但是，在此后的10年內(nèi)，鞅論的發(fā)展比較緩慢。20世紀(jì)60年代初期， Doob的學(xué)生法國(guó)大數(shù)學(xué)家 P.A. Meyer以及他的女弟子C. Doleans-Dade 解決了由Doob提出的上鞅分解問(wèn)題，并且發(fā)展了平方可積鞅理論。 1967年，H. Kunita 和S. Watanabe研究了平方可積鞅的隨機(jī)積分，這些重要工作

12、為鞅和隨機(jī)積分理論的發(fā)展開(kāi)辟了新的道路。在同時(shí)，P.A. Meyer和C. Dellacherie等又創(chuàng)立了隨機(jī)過(guò)程一般理論，為鞅論和隨機(jī)積分理論的發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具。從此，特別是進(jìn)入20世紀(jì)70年代后，半鞅和隨機(jī)積分理論成為隨機(jī)過(guò)程理論中最活躍和最富于成果的分支之一。它是隨機(jī)分析的有力工具。 半鞅是可以合理定義隨機(jī)積分的最大被積過(guò)程類。基于半鞅的隨機(jī)分析是現(xiàn)代概率論的一個(gè)主要分支。它不僅是研究概率論的許多分支（Markov過(guò)程與擴(kuò)散過(guò)程、隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程、隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)、隨即濾波與控制等）的重要工具，而且在數(shù)學(xué)許多分支（偏微分方程、調(diào)和分析、微分幾何等）以及數(shù)學(xué)物理中有廣泛的應(yīng)用。它還逐步滲透到

13、工程數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)、金融數(shù)學(xué)以及其它領(lǐng)域中。 嚴(yán)加安院士及悟道詩(shī)2.隨機(jī)微分方程和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 關(guān)于對(duì)Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程是由K. Ito引進(jìn)和發(fā)展的。在1942年，K. Ito首先把它應(yīng)用于Markov過(guò)程的構(gòu)造，后者起源于Kolmogorov的分析方法與Feller的半群方法。但是對(duì)于擴(kuò)散過(guò)程，更接近物理直觀的Langevin方程是很有吸引力的，可惜的是Brown運(yùn)動(dòng)對(duì)于幾乎所有的樣本軌道無(wú)處可微，因此從數(shù)學(xué)上說(shuō)不能按照一般的想法定義Brown運(yùn)動(dòng)的積分。 至今，從Ito開(kāi)始的隨機(jī)微分方程不僅適應(yīng)于擴(kuò)散過(guò)程，而且適應(yīng)于一大類非常廣泛的隨機(jī)過(guò)程，例如：半鞅、期權(quán)定價(jià)理論等。

14、 從20世紀(jì)80年代以后，L. Arnold開(kāi)始對(duì)一般的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)理論進(jìn)行研究,現(xiàn)在主要是研究有隨機(jī)微分方程所生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的性質(zhì)，例如：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，隨機(jī)吸引子的存在性，隨機(jī)吸引子分形性質(zhì)。 半鞅、隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程是研究數(shù)理金融的有力工具。3.隨機(jī)偏微分方程及其應(yīng)用 1986年J.B. Walsh開(kāi)始引進(jìn)和研究Brown單和鞅測(cè)度，從此開(kāi)始了隨機(jī)偏微分方程的研究。開(kāi)始主要是研究隨機(jī)偏微分方程的強(qiáng)解、弱解和軌道解的存在和唯一性?，F(xiàn)在，白噪聲分析方法和超過(guò)程方法也是研究隨機(jī)偏微分方程的有利工具。4. Dirichlet型式 20世紀(jì)70-80年代日本著名數(shù)學(xué)家M. Fukus

15、hima引進(jìn)和發(fā)展了Dirichlet型式，Dirichlet型式起源于對(duì)Markov過(guò)程半群理論的研究，目的是利用泛函分析的方法研究Markov過(guò)程半群理論，M. Fukushima建立了對(duì)稱Markov過(guò)程半群的無(wú)窮小算子和Dirichlet型式之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，20世紀(jì)90年代，我國(guó)的馬志明院士建立了非對(duì)稱Markov過(guò)程半群的無(wú)窮小算子和非Dirichlet型式之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而把隨機(jī)問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為非隨機(jī)問(wèn)題的研究?，F(xiàn)在這是一個(gè)非?；钴S的概率論研究分支。 Masao Fukushima 5.白噪聲分析 早在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，由于數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的需要，V. Volterra

16、, R. Gateaux, P. Levy 和Frechet 等已經(jīng)開(kāi)始了無(wú)窮維分析的研究。然而其中最富有成果的研究方向是由N. Wiener和A.N. Kolmogorov開(kāi)始的與隨機(jī)過(guò)程理論緊密相連的無(wú)窮維積分理論。1923年，作為Brown運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，Wiener首先在連續(xù)函數(shù)空間上構(gòu)造了一個(gè)概率測(cè)度，即Wiener測(cè)度。此后，R. Gameron和W. Martin的一系列成果揭示了Wiener積分的許多重要性質(zhì)，特別是Gaiss測(cè)度的擬不變性。 1931年，A.N. Kolmogorov導(dǎo)出了 擴(kuò)散過(guò)程轉(zhuǎn)移概率所滿足的二階拋物型偏微分方程，從而建立了隨機(jī)過(guò)程和偏微分方程之間的聯(lián)系

17、。20世紀(jì)40年代，K. Ito（同時(shí)還有I.I. Gikhman）開(kāi)創(chuàng)了隨機(jī)過(guò)程軌道的無(wú)窮小分析，即隨機(jī)分析學(xué)。通過(guò)Ito隨機(jī)微分方程，人們可以直接構(gòu)造擴(kuò)散過(guò)程的軌道，將擴(kuò)散過(guò)程看作Brown運(yùn)動(dòng)的軌道泛函，即Wiever泛函，提供了用概率方法解決微分方程問(wèn)題的可能性，與此同時(shí)，R. Feynman和M. Kac用泛函積分方法解決數(shù)學(xué)物理方程的著名工作以及量子場(chǎng)論的發(fā)展給了無(wú)窮維分析以新的推動(dòng)力。 20世紀(jì)70-80年代，日本著名數(shù)學(xué)家T. Hida創(chuàng)建了白噪聲分析。白噪聲分析是Brown運(yùn)動(dòng)的廣義導(dǎo)數(shù)，其樣本空間是Schwartz廣義函數(shù)空間，Hida將Schwartz泛函看作白噪聲泛函，

18、在此基礎(chǔ)上建立了無(wú)窮維Schwartz理論，白噪聲分析有著深刻的物理背景，它在Feynman積分和量子場(chǎng)論中的成功應(yīng)用已越來(lái)越引起物理學(xué)家的重視。 Wiener空間上的Dirichlet Forms 也是現(xiàn)在概率論研究的重點(diǎn)問(wèn)題之一。Takeyuki Hida6. Malliavin分析 幾乎與Hida同時(shí), 即20世紀(jì)70-80年代, P. Malliavin創(chuàng)立隨機(jī)變分學(xué), 拓廣了微分的概念, 使常見(jiàn)的Wiener泛函可以無(wú)窮次微分, 并將梯度、散度和Ornstein-Uhlenbeck算子等成功地推廣到無(wú)窮維空間, 在此基礎(chǔ)上, S. Watanabe, I. Shigekawa, D.

19、W. Stroock和P.A. Meyer等建立了無(wú)窮維Sobolev理論. Malliavin分析在偏微分算子、熱核的正則性和漸進(jìn)估計(jì)、隨機(jī)振蕩積分以及隨機(jī)系數(shù)的濾波與控制等方面成功地應(yīng)用已使它成為當(dāng)今隨機(jī)分析領(lǐng)域中最矚目的成果之一。Paul Malliavin7.隨機(jī)過(guò)程的極限定理 隨機(jī)過(guò)程極限定理是近代概率論的一個(gè)重要分支。自1956年Yu.V. Prokhorov和A.V. Skorokhod發(fā)表他們的著名論文后，隨機(jī)過(guò)程極限定理的研究得到了飛速發(fā)展。20世紀(jì)70-80年代，半鞅理論和隨機(jī)分析的興起，給這一理論注入了嶄新的內(nèi)容和研究方法。它對(duì)隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性理論的研究提供了方法和手段

20、，特別地，它是對(duì)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)理論發(fā)展的基礎(chǔ)。 Yu.V. Prokhorov A.V. Skorokhod8. 隨機(jī)微分幾何 在數(shù)學(xué)的各分支中，幾何學(xué)自古以來(lái)一直被數(shù)學(xué)家所重視。其原因在于：幾何學(xué)研究的是自然現(xiàn)象的某種表現(xiàn)形式，而自然現(xiàn)象具有很真實(shí)的感覺(jué)，一直是數(shù)學(xué)家靈感的重要源泉。因此，幾何學(xué)和其他數(shù)學(xué)分支有著極為密切的關(guān)系；也由于自然科學(xué)的發(fā)展而得到推動(dòng)，如：20世紀(jì)30年代Einstein提出的廣義相對(duì)論，近20年來(lái)Yang-Mills提出的規(guī)范場(chǎng)論等，都是幾何學(xué)和物理學(xué)結(jié)合的最好例子。幾何學(xué)的主要部分是微分幾何，近代微分幾何研究流形上的解析結(jié)構(gòu)和這種結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的幾何現(xiàn)象。 微分幾何要求

21、所研究的對(duì)象具有很好的解析性質(zhì)，但是，有時(shí)這些性質(zhì)不具備，傳統(tǒng)的方法無(wú)法使用。因此，隨機(jī)的方法就被引入到微分幾何學(xué)的研究中。隨機(jī)微分幾何是概率論的重要分支，國(guó)內(nèi)外有眾多專家和學(xué)者從事這一領(lǐng)域的研究，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳木法院士也在這一領(lǐng)域內(nèi)作出了很多優(yōu)秀的成果。9. Markov過(guò)程和擴(kuò)散過(guò)程 Markov過(guò)程的原始模型馬爾可夫鏈，由俄國(guó)數(shù)學(xué)家Markov于1907年提出。該過(guò)程具有如下特性：在已知目前狀態(tài) (現(xiàn)在)的條件下，它未來(lái)的演變(將來(lái))不依賴于它以往的演變(過(guò)去)。在現(xiàn)實(shí)世界中，有很多過(guò)程都是馬爾可夫過(guò)程，如液體中微粒所作的布朗運(yùn)動(dòng)、傳染病受感染的人數(shù)、車站的候車人數(shù)等，都可視為馬爾可夫過(guò)程

22、。關(guān)于該過(guò)程的研究，1931年A.H.柯?tīng)柲缏宸蛟诟怕收摰慕馕龇椒ㄒ晃闹惺紫葘⑽⒎址匠痰确治龅姆椒ㄓ糜谶@類過(guò)程，奠定了馬爾可夫過(guò)程的理論基礎(chǔ)。 1951年前后，伊藤清建立的隨機(jī)微分方程的理論，為馬爾可夫過(guò)程的研究開(kāi)辟了新的道路。1954年前后，W.費(fèi)勒將半群方法引入馬爾可夫過(guò)程的研究。流形上的馬爾可夫過(guò)程、馬爾可夫向量場(chǎng)等都是正待深入研究的領(lǐng)域。 這是概率論最重要最基本的研究分支，概率論很多問(wèn)題的研究最終大都要?dú)w結(jié)到Markov過(guò)程的研究。10. 倒向隨機(jī)微分方程及應(yīng)用 正向微分方程的研究已有近半個(gè)世紀(jì)的歷史, 取得了輝煌的成果. 它不僅有直接的應(yīng)用背景, 并且與其他數(shù)學(xué)分支如測(cè)度論、偏微分

23、方程、微分幾何、位勢(shì)理論等發(fā)生了非常自然的而且常常是意想不到的聯(lián)系, 互相促進(jìn), 相映生輝. 許多著名的數(shù)學(xué)家都為之吸引, 在這一領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn). 其結(jié)果又反過(guò)來(lái)促進(jìn)了其它學(xué)科的進(jìn)展. 近期一個(gè)典型的例子就是P. L. Lions 等提出的非線性二階偏微分方程的粘性解理論, 其直接動(dòng)力就是來(lái)源于他在隨機(jī)微分方程和隨機(jī)控制理論方面的研究. 與這一進(jìn)展形成鮮明對(duì)照的是: 關(guān)于倒向隨機(jī)微分方程的研究才剛剛開(kāi)始, 其線性情況由Bismut 在1978年提出的, 而非線性情況下的基本框架是由彭實(shí)戈院士與法國(guó)數(shù)學(xué)家Pardoux 在1990年提出并證明其存在唯一性的. 非常巧合的是, 在經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中, 著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Duffie 和Epstein 也獨(dú)立地在1992 年提出了這一方程的一個(gè)特別典型的情況. 倒向隨機(jī)微分方程的研究之所以大大滯后于正向隨機(jī)微分方程, 現(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)分析應(yīng)不外乎以下兩個(gè)原因: 首先, 正向隨機(jī)微分方程與倒向隨機(jī)微分方程在結(jié)構(gòu)上有本質(zhì)的區(qū)別. 所以難以從正向隨機(jī)微分方程出發(fā)猜想出倒向隨機(jī)微分方程的形式. 其次, 從應(yīng)用的角度講. 正向隨機(jī)微分方程考慮的是如何認(rèn)識(shí)一個(gè)客觀存在的隨機(jī)過(guò)程, 而倒向隨機(jī)微分方程則主要關(guān)心在有隨機(jī)干擾的環(huán)境中如何使一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo). 從認(rèn)