波束形成基礎(chǔ)原理總結(jié)

1、波束賦形算法研究包括以下幾個方面:.常規(guī)的波束賦形算法研究。即研究如何加強感興趣信號，提高信道處理增益，研究的是一 般的波束賦形問題。.魯棒性波束賦形算法研究。研究在智能天線陣列非理想情況下，即當(dāng)陣元存在位置偏差、 角度估計誤差、各陣元到達(dá)基帶通路的不一致性、天線校準(zhǔn)誤差等情況下,如何保證智能 天線波束賦形算法的有效性問題。.零陷算法研究。研究在惡劣的通信環(huán)境下，即當(dāng)存在強干擾情況下,如何保證對感興趣信 號增益不變，而在強干擾源方向形成零陷,從而消除干擾，到達(dá)有效地估計出感興趣信號的 目的。自適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)陣列天線基本概念（見基站天線波束賦形及其應(yīng)用研究.白曉平）陣列天線（又稱天線陣）是由假

2、設(shè)干離散的具有不同的振幅和相位的輻射單元按一定規(guī)律排列 并相互連接在一起構(gòu)成的天線系統(tǒng)。利用電磁波的干擾與疊加，陣列天線可以加強在所需方 向的輻射信號，并減少在非期望方向的電磁波干擾，因此它具有較強的輻射方向性。組成天 線陣的輻射單元稱為天線元或陣元。相鄰天線元間的距離稱為陣間距。按照天線元的排列方 式，天線陣可分為直線陣，平面陣和立體陣。陣列天線的方向性理論主要包括陣列方向性分析和陣列方向性綜合。前者是指在陣元排 列方式、陣元數(shù)目、陣間距、陣元電流的幅度、相位分布的情況下分析得出天線陣方向性的 過程；后者是指定預(yù)期的陣列方向圖，通過算法尋求對應(yīng)于該方向圖的陣元個數(shù)、陣間距、 陣元電流分布規(guī)律

3、等。對于無源陣，一般來說分析和綜合是可逆的。陣列天線分析方法天線的遠(yuǎn)區(qū)場特性是通常所說的天線輻射特性。天線的近、遠(yuǎn)區(qū)場的劃分比擬復(fù)雜，一般而 言，以場源為中心，在三個波長范圍內(nèi)的區(qū)域，通常稱為近區(qū)場，也可稱為感應(yīng)場；在以場 源為中心，半徑為三個波長之外的空間范圍稱為遠(yuǎn)區(qū)場，也可稱為輻射場。因此，在分析天 線輻射特性時觀察點距離應(yīng)遠(yuǎn)大于天線總尺寸及三倍的工作波長。陣列天線的輻射特性取 決于陣元因素和陣列因素。陣元因素包括陣元的激勵電流幅度相位、電壓駐波比、增益、方每個天線陣接收期望信號、干擾信號和噪聲信號(高斯白噪聲)。期望信號X.(n)從到達(dá)角為 %。2，配方向接收，干擾信號X,(n)從到達(dá)角

4、為以M方向接收。假設(shè)接收信號已經(jīng)經(jīng)過下變頻和模數(shù)轉(zhuǎn)換，那么陣列系統(tǒng)的輸出y(n)是對各陣元的接收信號向量x(n)在各陣元 上分量的加權(quán)和,表示為：My(n) = w X(n) = Z*X/(n)(1)i=l其中W = wW2,表示天線陣加權(quán)向量;x(n)為陣列接收的總信號向量;H表示加權(quán) 向量w復(fù)數(shù)的共帆轉(zhuǎn)置。接收的期望信號向量定義為：MXs(n) = Z9)%(n)(2)m=式中，。(盤)是“又1維的方向向量，即陣列的導(dǎo)向矢量，由盤決定,表示為(4) = 1 1, exp(j 浮 sin), expj 竽XA(M-l) sin 0m = 1,，,ey(M-1)A(3)T2兀d式中，()?是矩

5、陣轉(zhuǎn)置，/ =sinQ, , d為陣元間距，4為入射波波長。 * III勺IIIX將式的期望信號向量寫成矩陣的形式為：(4)X,(n) = AS(n)其中，4是NxM維向量，是期望信號的方向向量，定義為： TOC o 1-5 h z A = a),。(。2)，縱如)】(5)S(n)是M x 1維向量，是期望信號向量，定義為：S(n) = Sj (n), S2 (n),Sm (n)7(6)同樣地，我們可以得到干擾信號向量X,(n) = ai(n)(7)其中4是Nxl維向量，是干擾信號的方向向量,定義為4 =(4),4(。2),(d)(8) /(n)是lx 1維向量，是干擾信號向量，定義為:i(n

6、)=匕(口)%。),，/(n)/于是,陣列接收的總信號向量表示為期望信號與干擾信號和噪聲信號之和： TOC o 1-5 h z X(n) = X,(n) + X,(n) + (n)(9)利用式(9)導(dǎo)出的結(jié)果重寫式得：y(n) = W X (n) = y(n) = W X, (n) + X(n) + n(n)(10)陣列的幅度波束圖定義為：F(e)= |w (切(id為了將波束指向法線方向(o = 0)取(12)此時波束圖為:sin(M /7/2) _ sin(M 71d / 2) sin 0sin(/? / 2) sin(%d / 2) sin 0(13)MF(e)=|w 例=X?！盳=1式

7、中，陣元間距d二二入/2。波束形成的基本自適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)波束形成網(wǎng)絡(luò)設(shè)M為均勻直線陣列的陣元數(shù)目，陣元沿x軸均勻排列。考察一個入射到陣列上與陣列軸線所夾的入射角為。的平面波。設(shè)第一個陣元為參考陣元,位于原點處。入射到陣元皿m = 2,M)的信號與入射到參考陣元的信號分量間的相位差表示為：=分,sin(92萬其中，尸=為相位傳播因子，4為載波波長。2y設(shè)由第-k = l,2,D)個信號源輻射到天線陣列的波前信號為心,假設(shè)S(t)為窄帶信號,那么竦(。可以表示為以下形式:SMt) = 1(t)exp(jwJ)式中5,(t)是信號&(t)的復(fù)包絡(luò)，w,是信號s的角頻率。假設(shè)D個信號具有相同的

8、中心 頻率，所以有：27Vdm式中。4,是陣元間距，a是入射波波長。當(dāng)信源信號入射到天線陣列時，相對于參考陣元，其它陣元所接收到的信號都會存在一個時間 延遲，所以其中某一個陣元的接收信號可以表示為&(t-r),其中丁為該陣元相對于參考陣 元的時間延遲，假設(shè)信號源是窄帶信號,有如下近似:Sk (t- r) Sk (t)故延遲后的波前信號為:Sk(t-r) = 5(t-r)expjw0(t-r)。Sk(t)exp(jwot)exp(-jw0 r) = &(t)exp(jw r)所以，假設(shè)以第一個陣元為參考點，那么t時刻等間距直線陣中的第m(m = 1,2,M)個陣元對應(yīng)的陣元間距為4 =(m-l)

9、d，第m個陣元與第1個陣元間的波程差所引起的信號相位差為%=(m-1)公啦，對第k個信號源的感應(yīng)信號為: ASa (t) exp| - j(m-1) 2，4 A其中，為第m個陣元對第k個信號源的影響，假設(shè)各陣元無方向性，所以可取a=l。6k為第K個信號源的方位角?？紤]測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為：龍=Z S k (t) exp-j(m-1 產(chǎn)：mk=4所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于第k個信號源。 設(shè)r -/ 1、27rdsm Qia,(4) = exp-j(m-l)-LA為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。那么第m個陣元的輸出信號為：D七(。

10、,(4后(0 k=l波束形成器的輸出為一復(fù)標(biāo)量y,即y(t) = % (t) + 叱2 (t) + + WNXN (t) + /N=2叱玉(。+/ i= WHa(0)S + In其中，W =W,W2，,Wn；T ,S=S,S2,So7 a(6) = a(a),a(%),a(%) TOC o 1-5 h z - 11 1e 一用ej2. e 麗 2兀d sin aR=:-71。(或)= 1, exp。sin，J ,expj(Nl)sin 0m I/tANdA(6) = Z wi exPj 2萬(i-1) sin 0 - WH i=%那么A(6)為陣列因子，它決定了陣列輸出端的信號y(t)與參考陣

11、元處測得的信號s(t)的比值。通過調(diào)整權(quán)向量W可以將天線陣列波束圖的最大主瓣對準(zhǔn)任意方向6LIn=,%),幾mF為外加噪聲。對乙進行N點采樣，我們要處理的問題就變成了通過輸出信號七的采樣4(i),i = 1,2, .,M估計出信號源的波達(dá)方向角%為，/。當(dāng)陣元響應(yīng)具有全方向特性時，波束方向圖5(。)就等于陣列因子，即b(。)= 4，)在實際中，每個陣元都不是全向的，而是有一定的方向性，如偶極子陣元。故陣列方向圖為陣列因子和陣元輻射方向圖的乘積，即B= AS)B,陣列天線的這種特性被稱為方向圖乘法。常用的算法性能準(zhǔn)那么波束賦形可以認(rèn)為是一種特殊的自適應(yīng)濾波問題，實現(xiàn)過程中所遇到的最正確化問題都是

12、非線 性的。通常是在一定的約束條件下使非線性問題中的代價函數(shù)到達(dá)最小或者最大來獲得最優(yōu) 解。因此,代價函數(shù)的最小值或者最大值以及約束條件就被稱為最正確準(zhǔn)那么，不同代價函數(shù)就對 應(yīng)不同的準(zhǔn)那么。本節(jié)主要介紹最小均方誤差準(zhǔn)那么、最大信干噪比準(zhǔn)那么、最小二乘準(zhǔn)那么、最大 似然準(zhǔn)那么最小均方誤差準(zhǔn)那么(MMSE)最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE)準(zhǔn)那么是B.Widrow等人首先提出的,它基于 大多數(shù)情況下人們對有用信號具備某些先驗知識的事實,提出在接收系統(tǒng)中設(shè)置本地參考信 號，然后調(diào)整陣列加權(quán)，使陣列輸出與參考信號的均方誤差值最小.設(shè)輸入信號為x(k) =

13、X(k),X2(k),XN(k)，參考信號為d(k)，加權(quán)向量為W ,那么陣列的輸出可以表示為： TOC o 1-5 h z y(k) = wH (k) x(k)(1)設(shè)估計誤差可以表示為：e(k)= d(k) y(k)(2)那么MMSE準(zhǔn)那么的代價函數(shù)可以表示為：J(w) = E(k)|2(3)其中，表示統(tǒng)計平均。最正確處理問題歸結(jié)為如下的無約束最正確化問題:(4)MznJ(w) = E(|e(k)|2由上式可得：1(w) = E1|e(k) = Ee(k)/(k) = (J(k) - wHx(k)(d(k) - wHx(k)y= Ed(k)d*(k) Ed(k)(wx(k)* E/x(k)

14、d*(k) + E/x(k)(wx(k)* (5)=E 1|d(k)1 - 2 Re E wx(k)d* (k) + E w，Mk)( /x(k)*令輸入矢量信號x(k)與參考信號d(k)之間的互相關(guān)可以表示為Rn/(k)： TOC o 1-5 h z Rw(k) = Mk)d*(k)(6)關(guān)于w%(k)為一個標(biāo)量，因此：(wMk)* = (wx(k)*y = (/Mk) = wMk)(7)令輸入矢量信號x(k)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為/?u(k)RKk) = x(k)x”(k)(8)將式( 8)帶入式得：J(w) = E|d(k) 2Rew(9)那么，(w)取最小值時的最正確權(quán)向量叱卯可以通過

15、對w求偏導(dǎo)數(shù)得到。令J(w) = 2七 w-24” =0(10)OW假設(shè)是可逆矩陣，最正確權(quán)向量可以表示為：(11)最大信干噪比準(zhǔn)那么(MSINR)最大信干噪比(Max Signal to Interference plus Noise Ratio, MSINR)準(zhǔn)那么用來選擇使 SINR 最大的權(quán)向量，陣列接收信號可以表示為：x(k) = s(k) + u(k)(1)其中，s(k) = E(k),S2(k),SN(k)r,(k) = (k),2(k),N(k)r分別表示輸入信號和 噪聲與干擾。相應(yīng)的輸出信號可以表示為：y(k) = ws(k) + w(k) = yv (k) + % (k)(

16、2)其中，乂(k) = ws(k),y(k) = vv(k)那么輸出SINR可以表示為：“ws(k) E| wH(k) w”(k) |wH w凡(3)其中q(k) = k(k)/(k),4(k) = Eu(k)uH(k)要得到滿足MSINR的權(quán)向量,需要將式對w進行求偏導(dǎo),wR dJ令 =J,=0w Rlll w dw根據(jù)求偏導(dǎo)數(shù)的商法那么可得：-= w &尸&w -wH RwRw = Q lt *t t_l)(12)1 + cr-1 x(n)R：(nl)x(n)=a- R： (n-l)-g(n) x (n)&： (n-1)式中,增益向量g(n) =R：(n-l)x(n)a + xH (n)R

17、： (n-1) x(n)化簡可得到:化簡可得到:g(n) = R：(n)x(n)(13)按照迭代次數(shù)n重新整理最優(yōu)維納解并將式(11)代入得w(n) = R;(n)力(n) = aR;(n)力(n-1) + R1(n) x(n)d* (n)將式(12)、式(13)代入式(14)得到權(quán)向量更新公式w(n) = w(n-l) + g(n)d* 一 x (n) w(n-l)(14)(15)比擬式(15)和式，兩者在形式上相同。RLS算法采用遞推的方法來完成矩陣求逆運算，因而收 斂速度快，對特征值的散布度不那么敏感。最優(yōu)最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)算法假設(shè)是均勻直線陣，輸入有用信號向量可表示為:(1

18、)S(k) = aos(k) + u(k)式中，為為方向向量，是一個固定向量。陣列的輸出信號為 TOC o 1-5 h z y(k) = w”S(k) + w(k) = w/6z0S(k) + w(k)(2)其中，M(k)為干擾加噪聲信號。于是天線陣輸出干擾加噪聲功率：以=E1|y(k) = w凡w(3)R“=exh/.為干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣。設(shè)計波束形成的目標(biāo)是如下：最小化輸出干擾噪聲的功率石|凡“；保證有用信號的 無失真。即叫wdr = argmin “ &產(chǎn)( 4)LJW %=1或者D)個陣元組成的等間距直線陣洛陣元特性相同洛向同性，陣元間隔為 d,并且陣元間隔不大于最高頻率信號半波長

19、。天線陣列處于各信號源的遠(yuǎn)場中，即天線陣列接收從各信號源傳來的信號為平面波。各陣元上有互不相關(guān)，與各待測信號也不相關(guān)，方差為。2的零均值高斯白噪聲(t)。各接收支路具有完全相同的特性。SM，)圖3.1等距線陣與遠(yuǎn)場信號設(shè)由第Z(k = 1,2,D)個信號源輻射到天線陣列的波前信號為&(t),前面已假S*(t)為窄帶信號，那么心可以表示為以下形式:&(t) = A(t)exp(jwJ)式中&(。是信號耳的復(fù)包絡(luò)，Wk是信號短的角頻率。前面已經(jīng)假設(shè)D個信號具有相 同的中心頻率,所以有：271dW& = W =A式中。d是電磁波波束，X是公用的信號波長。當(dāng)信源信號入射到天線陣列時，相對于參考陣元，其

20、它陣元所接收到的信號都會存在一個時間 延遲，所以其中某一個陣元的接收信號可以表示為工(t-t),其中為該陣元相對于參考陣 元的時間延遲，那么根據(jù)窄帶假設(shè),有如下近似：故延遲后的波前信號為：Sk(t t) = Sk (t-tj) expjw0 (t- t)卜 & (t) expjw0 (t-t,)所以，假設(shè)以第一個陣元為參考點，那么t時刻等間距直線陣中的第m(m = 1,2,M)個陣元對第 k個信號源的感應(yīng)信號為：aA. Sk (t) exp- j(m-1)/t其中，為第m個陣元對第k個信號源的影響，前面己假設(shè)各陣元無方向性，所以可取a,=lo4為第K個信號源的方位角，(m-表示由第m個陣元與第

21、1個陣元間A的波程差所引起的信號相位差?？紤]測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為:七,= Sk(t)exp-j(m-l)(t)k=其中乙(0是測量噪聲，所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于第k個信號源。設(shè)a,(4)= expj(mI)*：/t為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。那么第m個陣元的輸出信號為：D/=電+乙(。k=l其中S,(t)是第k個信號源在陣元上的信號強度。運用矩陣的定義，可以得到更為簡潔的表達(dá)式：X = AS + N式中X (?) = %,，龍m (Ofs=sst),s2(t),sD(t)YA = a(q )/(%),/(%)廠- 1 1

22、 . 1 -e-j泌.e-jPo _/(MT泗 e-j(MT)% AMT)劭 _27rd sin 0,隊=：L71n=%，“r對4(t)進行N點采樣，我們要處理的問題就變成了通過輸出信號/(t)的采樣4(i),i = 1,2,M估計出信號源的波達(dá)方向角3%,且。由此，可以很自然的將陣列信號看作是噪聲干擾的假設(shè)干空間諧波的疊加，從而將波達(dá)方向 估計問題與譜估計聯(lián)系起來。對陣列輸出X作相關(guān)處理，得到其協(xié)方差矩陣Rx :Rx=EXXh其中,H表示矩陣共扼轉(zhuǎn)置。前面已假設(shè)信號與噪聲互不相關(guān)、且噪聲為零均值白噪聲，因此將式(3-9)代入式(3.15),可以得到Rx =(AS + N)(AS + N)”=

23、AE(SS)A+E(NN)=AR A+/?n式中=E(SS)稱為信號的相關(guān)矩陣。Rn=4I是噪聲的相關(guān)矩陣,。CT?是噪聲功率，/是xM階的單位矩陣。 當(dāng)所有信號互不相關(guān)時，有A 0, iw j / S,. S：)=.其中，4為第i個信號源的功率。此時信號相關(guān)矩陣為Rs =diag(Pi，Pz，,PQ為一對角陣,其秩為Rank(Rs) = D對于信號局部相關(guān)的情況，Rs不是一個對角陣，但其秩仍為Rank(Rs) = D對角元素仍為信號功率，第i行第j列的元素表示第i個信源與第j個信源 之間的相關(guān)程度。對于信號局部相干的情況，Rs不是一個對角陣，且其秩：LJRank(Rs) D,那么有：Rank

24、(ARsAH) = D由于Rx =EXX,所以有：R： = Rx即Rx是Hemrite矩陣，它的特征值都是實數(shù)。又由于Rs是正定的，矩陣A Rs A是半正定的，它有D個正特征值和M-D個零特征值。再考慮有噪聲存在的情況Rx =AR,AH + a2I AD由于/ o為滿秩陣，所以&有m個正實特征值4,4,4,分別對應(yīng)于M個特征向量匕。又由于Hx是Hemriet矩陣,所以各特征向 量是相互正交的，即匕匕=。j與信號有關(guān)的特征值只有D個,分別等于矩陣A A的各特征值與/之和,其余的加-。個特征值為CT?,也就是說，標(biāo)是Rx的最小特征值，它是維的。對應(yīng)的特征向量匕,i = 1,2,M中，也有D個是與信

25、號有關(guān)的， 另外M O個是與噪聲有關(guān)的。MUSIC算法的基本原理通過對陣列協(xié)方差矩陣的特征分解，可以得到如下的結(jié)論：將矩陣Rx的特征值進行從小到大的排序，即4 2 %之,24。其中D個較大的特征值對應(yīng)于信號，個較小的特征值對應(yīng)于噪聲。 矩陣Rx的屬于這些特征值的特征向量也分別對應(yīng)于信號和噪聲，因此，可以把Hx的特征值（特征向量）劃分為信號特征值（特征向量）與噪聲特征值（特征 向量）。設(shè)4是矩陣Rx的第i個特征值，匕是與4個相對應(yīng)的特征向量，那么有：&匕=4匕再設(shè)4 = /是的最小特征值Rxvi =i = D + l,D + 2,M將Rx =ARsAH + a2I A3代入上式,可得：a2vi

26、= （A Rs A + cr2/）vz將上式右邊展開與左邊比擬，可得：ARsAHvi=O因AA是DxD維的滿秩矩陣，（A A/存在;而Ri同樣存在,那么上式 S兩邊同乘以R：（AA）T A”后變成：A；（A”A）1 AhARs A匕=0于是有A匕=0 i = D + l,D + 2,M上式說明:噪聲特征值所對應(yīng)的特征向量（稱噪聲特征向量）匕與矩陣A的 列向量正交，而A的各列是與信號源的方向相對應(yīng)的。這就是利用噪聲特征向 量求解信號源方向的出發(fā)點。用各噪聲特征向量為列，構(gòu)造一個噪聲矩陣 ：1一監(jiān)例2該式中分母是信號向量和噪聲矩陣的內(nèi)積，當(dāng)。(夕)和線的各列正交時，該分母為零，但由于噪聲的存在,它

27、實際上為一最小值，因此P“”,(6)有一尖峰。由該式，使。變化，通過尋找波峰來估計到達(dá)角的方法叫做MUSCI方法。通常把信號特征矢量覆蓋的空間稱為信號局部空間 (SignalSubspace),噪聲特征向量覆蓋的空間稱為噪聲局部空間(NoiesSubspace),把基于這個原 理的估計波達(dá)方向的方法稱為局部空間法(SubspaeeMethod)。MUSIC算法的實現(xiàn)MUSIC算法的實現(xiàn)步驟：(1)根據(jù)N個接收信號矢量得到下面協(xié)方差矩陣的估計值:對上面得到的協(xié)方差矩陣進行特征值分解Rx =ARsAH + a2I(2)按特征值的大小順序，把與信號個數(shù)D相等的特征值和對應(yīng)的特征向量看作信號局部空 間

28、，把剩下的個特征值和特征向量看作噪聲局部空間。得到噪聲矩陣耳?：A匕=07=。+ 1,。+ 2,=。+1，。+2，匕3使獨化，按照式P“小西金麗使獨化，按照式P“小西金麗來計算譜函數(shù)，通過尋求峰值來得到波達(dá)方向的估計值。MUSIC算法的波束賦形當(dāng)有多個信號入射時，其中有一個信號是期望信號，N-1個信號是需要抑制的，為此建 立約束條件，(以四個信號為例，第一個信號是期望信號，其余的信號是需要抑制的)：WAS =1,0,0,0求解得到：ESPRIT算法基本的ESPRIT算法的工作原理ESPRIT算法的主要優(yōu)點是：傳感器陣列分解為兩個完全相同的子陣列，兩個子陣列每兩個相 對應(yīng)的陣元有著相同的平移（相

29、差），即陣列具有陣列不變性，每兩個位移相同的傳感器配 對。在實際情況下，比方等空間的直線陣列或雙直線陣列等都可以滿足ESPRIT算法對于陣 列天線的要求。考慮一個具有2m個陣元的陣列天線，分為兩組，每一組有m個，兩組陣列的對應(yīng)陣元有 相同的平移。對應(yīng)于每組陣元，接收信號分別為D-1%i=Zs&（t）ai（）+ n（）,i（t）k=0D-1= Z 4 exp。您 xcos 媒)az. () + n0J (t)k=0其中，由是信號的入射方向，D是入射信號數(shù)目。將兩個陣列的輸入信號寫成矩陣形式，即%（t） = As（t） + n0（t）% （t） = AO s（t）+ 11,（0其中=diag （e

30、xp（j您xcos。（）,/3A xcos ）表示兩個陣列之間的相位延遲。在復(fù)數(shù)域中，中表示一個比例算子，在實數(shù)中那么相當(dāng)于一個二維旋轉(zhuǎn)算子。將上面的矩 陣表達(dá)式改寫成；u(t) =/、%(t)u(t) =/、%(t)=As(t) n(t)其中,其中,，（。=nO(t)n/t)ESPRIT的核心思想是利用陣元平移不變性到處基本信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變性。相關(guān)的兩個子空間包含兩個子陣列的輸出與和（。對輸出信號進行采樣，得到兩組矢 量和匕，這兩組矢量分別構(gòu)成兩個相同的子空間。信號子空間由輸入信號的自相關(guān)矩陣凡=祇）+山得到。假設(shè)信號數(shù)目小于等于陣列數(shù)目，即D 4 ）：- H VmVoi - V； rV

31、o Vil = VAVH_V. J將V劃分為dxd的子陣列：v V v= 11 12k. v22j計算中二九%的特征值k，Dk = O,L,d 1。估計波達(dá)方向為arg（ Q（pL. - arccos c您x從上面的步驟可以看出，ESPIRT算法回避了許多DOA估計方法需要的譜鋒搜索過程, 而是利用特征值直接估計DOA.由V J = 0可以求得最正確權(quán)向量應(yīng)該滿足的方程為:X(n)A(n)X()叱必=X(n)A(n)d()(5)那么：叫小=x(n)A(n)X5) X(n)A(n)d5)(6)27r其中，夕=把為相位傳播因子，丸為載波波長。2設(shè)由第Z(k = 1,2,D)個信號源輻射到天線陣列的

32、波前信號為心,假設(shè)S(t)為窄帶信號,那么亂可以表示為以下形式:式中耳(t)是信號&(t)的復(fù)包絡(luò)，W4是信號&(。的角頻率。假設(shè)D個信號具有相同的中 心頻率，所以有：2兀dm WLW=式中。4是陣元間距，4是入射波波長。當(dāng)信源信號入射到天線陣列時，相對于參考陣元，其它陣元所接收到的信號都會存在一個時間 延遲，所以其中某一個陣元的接收信號可以表示為臬(t-tj,其中M為該陣元相對于參考陣 元的時間延遲，假設(shè)信號源是窄帶信號,有如下近似:故延遲后的波前信號為:SMttj = S/tt)expjwo(t。)k Sk(t)expUWo(tt J = S%(t)exp(所以，假設(shè)以第一個陣元為參考點,

33、那么t時刻等間距直線陣中的第m(m = 1,2,.,)個陣元對應(yīng)的陣元間距為4 =(m-1)。,對第k個信號源的感應(yīng)信號為：a& Sk (t) exp j(m 1) 27rd ：血 * A其中，為第m個陣元對第k個信號源的影響，前面己假設(shè)各陣元無方向性，所以可取ak=l。4為第K個信號源的方位角，(m-1)四辿表示由第m個陣元與第1個陣元間 A的波程差所引起的信號相位差?？紤]測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為:(=E S k (t) exp-j(m-l) 27rd4 + nm (t)k=九其中勺是測量噪聲，所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于第k個信號源。

34、設(shè)a,”(4)= exp_j(m_l)2d；n4/t為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。那么第m個陣元的輸出信號為：Dk=l其中s*(t)是第k個信號源在陣元上的信號強度。運用矩陣的定義，可以得到更為簡潔的表達(dá)式：X = AS + N式中X (0 = %) Q),(/),XS = SiQ),S2),SqQ)FA = a(),a(2a()r-11.1-小伏e 一泌.百麗 271d sin 0.5=:-LN = %),%，勺)對進行N點采樣，我們要處理的問題就變成了通過輸出信號與的采樣/（，）,i = 1,2,.,M估計出信號源的波達(dá)方向角。2，/。，x-exp j 27r(N-1)sin 0

35、A(2)根據(jù)信號在空間傳播時延表現(xiàn)在各陣元接收信號中為相應(yīng)的相移，即相位差這些接收機的輸 出可以表示為一個N維矢量，即x = x-exp j 0, x- exp j Iti sin 9, A其中N為陣元數(shù)，x為第一個陣元接收到的復(fù)基帶信號，均為陣列導(dǎo)向矢量，即(3)(3)乂=卜，exp(jsin J ，expj- (N-l) sin 0m TOC o 1-5 h z /t/L最優(yōu)最小方差無失真響應(yīng)（MVDR）算法假設(shè)接收到N個復(fù)觀察數(shù)據(jù)，即一次快拍數(shù)：%=不，%2，,，/（1）它包括有用信號與、多個平面波干擾玉以及空間白噪聲歪,因此有X = X + X +（ 2 ）I I其中有用信號的到達(dá)角和

36、未知幅度、隨機相位的非隨機平面波信號。干擾和噪聲建模為 零均值高斯隨機過程，因此可以用二階統(tǒng)計量完整描述兩者的統(tǒng)計特性，即協(xié)方差矩陣。 對最優(yōu)波束賦形，干擾和噪聲假設(shè)是的，通常假設(shè)不相干的，他們的協(xié)方差矩陣描述如 下：Km = Ri + R其中，鳥=石%/7為干擾的協(xié)方差矩陣，（=石%?為噪聲的協(xié)方差矩陣，為干擾 加噪聲的協(xié)方差矩陣。波束形成器的輸出矢量表示形式表示為y =,接收信號表示為y-, +， = % + %陣列的輸出信號為y（k） = wHsys + wHyin =廬 sy, + wHyin設(shè)計波束形成的目標(biāo)是如下：最小化輸出干擾噪聲的功率保證有用信號的無失真。又E| 加 卜 仔匕/

37、耳 xinxHn w = wflRi nw第二個目標(biāo)是保證有用信號的無失真，即WH S = 1(5)(5)(6)(7)其中S為具有單位模值的導(dǎo)向矢量，即其中乙為陣列導(dǎo)向矢量，其中觀察方向為。，為矢量的2-范數(shù)，計算如下: TOC o 1-5 h z ve 小(8)將上述問題組合如下：argmin(9)或者 I / J(10)s.t. wHs = 1最優(yōu)化問題可以利用lagrange乘數(shù)方法求解，最小化函數(shù)即lagrange函數(shù)為/(2)=4,尸+ ws -1)(11)求上式關(guān)于坡”的梯度，可得(=4+而=?；蛘遅= -/IR-* i,n代入約束條件得(_狼5)5 = 1 iji即得2 =H n y R- S(=4+而=?；蛘遅= -/IR-* i,n代入約束條件得(_狼5)5 = 1 iji即得2 =H n