魯棒控制理論及應(yīng)用課件

1、2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏1第五講：狀態(tài)空間H控制理論2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏2CCPPreyuH控制的提出與發(fā)展1981：Zames利用H范數(shù)作為性能指標(biāo)，提出最小靈敏度控制問題H控制問題；1988：Zhou獲得H控制問題的狀態(tài)反饋控制解；1989：Doyle等發(fā)表著名的DGKF論文，獲得H控制問題的輸出反饋控制解H控制理論形成。d WSS =11 + PC2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏3狀態(tài)空間H控制問題主要討論三種形式：H狀態(tài)反饋控制靜態(tài)狀態(tài)反饋增益矩陣的設(shè)計(jì)

2、H輸出反饋控制輸出反饋補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測(cè)器的H狀態(tài)反饋控制狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)與靜態(tài)狀態(tài)反饋增益矩陣的設(shè)計(jì)G = C1 11 12 2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏4魯棒控制理論及應(yīng)用H狀態(tài)反饋控制問題D D A B1 B2 I 0 0 zw (s) = (C1 + D12 F )(sI A B2 F ) 1B1 + D11控制問題：尋找狀態(tài)反饋增益矩陣F，使A+B2F穩(wěn)定，而且Tzw (s) , 次優(yōu)問題min Tzw (s) ,最優(yōu)問題GF狀態(tài)反饋控制：u=Fxzwuy&x = Ax + B1 w + B2 uz = C1 x + D11 w + D12 uy = x

3、G = C1 11 12 K =2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏5魯棒控制理論及應(yīng)用H輸出反饋控制問題&x = Ax + B1 w + B2 uz = C1 x + D11 w + D12 uy = C2 x + D21 w + D22 u A B1 B2 D DC2 D21 D22 控制器為輸出反饋補(bǔ)償器：& = Ak + B k yu = C k + D k y AkCkBk Dk lTzw (s) = F (G, K )控制問題：尋找動(dòng)態(tài)輸出反饋補(bǔ)償器K，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且 Tzw (s) , 次優(yōu)問題min Tzw (s) , 最優(yōu)問題zGKwuyx = Ax

4、 + B1 y + B 2 u& = A + B1 y + B 2 ux = C + D y2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏6關(guān)于態(tài)觀測(cè)器的H狀態(tài)反饋控制問題Tzw (s) ,次優(yōu)問題min Tzw (s) ,最優(yōu)問題同維的狀態(tài)觀測(cè)器：降維的狀態(tài)觀測(cè)器： 基于狀態(tài)估計(jì)值的反饋控制：u = Fx控制問題：尋找狀態(tài)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋增益矩陣，使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且zGwuyFF狀態(tài)觀測(cè)器H控制器KG21 (s) G21 (s)2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏7魯棒控制理論及應(yīng)用H控制問題wzGG(ss)KK(ss)uy x& = Ax

5、+ B1 w + B2 uG(s) : z = C1 x + D11 w + D12 u y = C2 x + D21 w + D22 uB2 G11 (s) G12 (s)D12 = D22 B1D11D21 AG(s) = C1C2 02007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏假定條件的解釋條件(2)意味著G12(s)在虛軸上沒有零點(diǎn):G11(s)G12(s)G21(s)G22(s)K(s)zywuz=C11w+D12u若G21(j)在所有的處是滿秩的,此時(shí)12有界的z(j)2 有界的的u(j)2條件(5)意味著G21(s)在虛軸上沒有零點(diǎn):14 外部輸入w在所

6、有頻率處都影響輸出yy=C21w+D21u( j )G若G21(j)在所有的處是滿秩的,則：min G21 ( j )G ( j ) 0= 2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏15魯棒控制理論及應(yīng)用假定條件的等價(jià)變換 z z2 Tzw (s) w w2 Tzw (s) Tzw (s) GKzz3w2z2ww3為了滿足條件(1), 必須使不能由w和u控制的部分是穩(wěn)定的為了滿足條件(2), 可追加z2為了滿足條件(3), 可追加w3為了滿足條件(4), 要使不能由y測(cè)量的部分是穩(wěn)定的為了滿足條件(5), 可追加w2為了滿足條件(6), 可追加z3uy中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏

7、16魯棒控制理論及應(yīng)用不滿足D22=0的情況系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且尋找D22=0時(shí)對(duì)象G% ( s) 的控制器 K% (s) , 使閉環(huán)控制 0D F F + F ) B X = F FF GF2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏18H狀態(tài)反饋控制器的一般形式 (2)狀態(tài)反饋控制可解的充分必要條件是，T而且黎卡提方程TT T對(duì)于一個(gè)充分小的常數(shù)0具有正定解 x0 .此時(shí)，狀態(tài)反饋增益矩陣為T T T12F = (使A+B2F穩(wěn)定，而且 Tzw (s) A X + XA + 2 XB1 B1 X XB2 B2 X + C1 C1 + I = 02007年10月9日魯

8、棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏19TH狀態(tài)反饋控制器的簡(jiǎn)單形式 (1)假設(shè)：(A, B2)可穩(wěn)定，而且D11 = 0D12 = C D12 = 0 I Tzw (s) = (C1 + D12 F )(sI A B2 F )1 B1H狀態(tài)反饋控制可解的充分必要條件：黎卡提方程T T T T對(duì)于一個(gè)充分小的常數(shù) 具有正定解 0.T使A+B2F穩(wěn)定，而且 Tzw (s) 2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏20H狀態(tài)反饋控制器的簡(jiǎn)單形式 (2)假設(shè)：(A, B2)可穩(wěn)定，而且D11 = 0D12 = 0Tzw (s) = C1 (sI A B2 F

9、 )1 B1H狀態(tài)反饋控制可解的充分必要條件：T T 1 T T對(duì)于一個(gè)充分小的常數(shù) e具有正定解 X0。B2T X12如果這樣的和X存在，則狀態(tài)反饋增益矩陣 F = 使A+B2F穩(wěn)定，而且 Tzw (s) 0。2007年10月9日T T 1 1 H dom ( Ric )，Ric ( H ) 0T T T TTG = C12007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏22H輸出反饋控制的假定條件B1D11D21 A C2B2 D12 D22 (A, B1)是可穩(wěn)定的 , (C1, A)是可檢測(cè)的;(A, B2)是可穩(wěn)定的,(C2, A)是可檢測(cè)的;D12T CD12

10、= 0 I B1 T 0 21 D11=0, D22=02007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏23假定條件說明及穩(wěn)定化控制器存在條件條件(2)是G為可穩(wěn)定化的充分必要條件條件(3), (4)是正交條件條件(5)是為了獲得一種較為簡(jiǎn)單的形式的H輸出反饋控制器條件(1), (3), (4)保證閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性等價(jià)于Tzw(s)RHG = C1K = A + B2 DC2Tsw (s) = C + D D CB1 + B2 Dk D21 2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏24魯棒控制理論及應(yīng)用H輸出反饋控制問題B1D11D21 A C2B2 D1

11、2 D22 AkCkBk Dk B2 CkAkD12 CkBk C2 1 12 k 2Bk D21 D12 Dk D12 控制問題:使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定,而且滿足Tzw(s).對(duì)于哈密頓矩陣 J = B1 1B 2 C1 C1 C2 C2 A2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏25Jdom(Ric), Y=Ric(J)0成立頻譜半徑H輸出反饋控制器存在的充要條件T THdom(Ric), X=Ric(H)0成立T TT AT 有 ( X Y ) 2 2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏26魯棒控制理論及應(yīng)用H輸出反饋控制器中心解(Centra

12、l Solution): A Z L K (s) = F 0其中:12A = A + 2 B1 BT X + B2 F + Z L C2F = B2T X L = Y C TZ = (I 2Y X )1閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定,而且滿足Tzw(s)r.2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏271 2H輸出反饋控制對(duì)應(yīng)的黎卡提方程條件a）意味著存在一個(gè)滿足黎卡提方程T T而且使 A + 2 B1 BT X B2 BT X 穩(wěn)定的半正定解 X 0條件b）意味著存在一個(gè)滿足黎卡提方程T TT TM = F 2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳

13、 敏28H輸出反饋控制器的參數(shù)化形式MQyuZ B2 I 0 K (s) = Fl (M , Q) A Z L0C2 I max( max D1111H dom( Ric), X = Ric( H ) 0J dom( Ric), Y = Ric( J ) 0 ( X Y ) 2K (s) = F (M , Q), Q RH , Q B2 D D T = I D( 2 I D DA = A + BF + B D C2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏34H輸出反饋控制器的一般形式 (2)使閉環(huán)控制系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定，而且滿足Tzw(s)控制器:B1D11D 21 A

14、M = C1C2D12 0 T12 12 1121 T T 其中: D11 = D1121 D1111 ( 2 I D1111 D1111 )1 D1112 D1122)1 D1121T1111 11112TB2 = Z1 ( B2 + H1 D12 ) D12C2 = D21 (C2 + D21 F1 )11 2 2 12 11 1 11 21Z = I 2Y X 這種形式更具一般性2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏35全信息 (FI)問題 B I 0 0 相應(yīng)的條件:(A, B1)是可穩(wěn)定的,(C1, A)是可檢測(cè)的(A, B2)是可穩(wěn)定的D12T C1

15、D12 = 0 I 2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏36全信息問題的解當(dāng)且僅當(dāng) H dom(Ric), X = Ric(H ) 0 時(shí)，存在控制器K (s) = F Q(s) 1 B1T X Q(s)Q(s) RH , Q(s) 使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且由w到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tzw(s)滿足Tzw(s)= C1x B X x + wT (B1T X x) + (B1T X x)T w+ uT (B2T X x) + (B2T X x)T ux + B XTT= z + 2 w 2 w 2 B1T X x + u + B2T X x222007年10

16、月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏372 221 222最壞情況下的討論 (1)如果對(duì)于哈密頓矩陣H, 存在 X = Ric(H ) , 則:d T T Tdtd T T T T T T T T T Tdt2 u + B2T X x 2 w 2 B1T X xz最優(yōu)輸入: u = B X x ,使z 2 w 2 = u + B X x 2T2w B X x z 2 2 w 22007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏魯棒控制理論及應(yīng)用38222221222 T根據(jù)等價(jià)關(guān)系:2 2Tzw (s)2222Tzw (s) u + B2T X x = Q(s)( w 2

17、 B1T X x)w = B2T X x + Q(s)( w 2 B1T X x)最小最壞擾動(dòng):最大T22w 2w = 2 B1T X x ,使最壞情況下的討論 (2)假設(shè) x(0) = x() = 0, w L2 0, + ) , 從t=0到t=進(jìn)行積分:z 2w 2G(s) = C1I 2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏39魯棒控制理論及應(yīng)用全控制 (FC)問題 I00B10D21 AC200相應(yīng)的條件:(A, B1)是可穩(wěn)定的,(C1, A)是可檢測(cè)的(C2, A)是可檢測(cè)的 B1 T 0 21 K (s) = , Q(s) RH , Q(s)2007年10月9日魯棒控

18、制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏40全控制問題的解當(dāng)且僅當(dāng) H dom(Ric), X = Ric(H ) 0 時(shí)，H控制器1 L 1Y C T Q(s) Q(s) 使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且由w到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tzw(s)滿足Tzw(s)CD12 12007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏41魯棒控制理論及應(yīng)用擾動(dòng)前饋 (DF)的問題B10I AG (s) = C1C2B2 D12 0 相應(yīng)的條件:A-B1 C2是穩(wěn)定的, (C1, A)是可檢測(cè)的(A,B2)是可穩(wěn)定的TD12 = 0 I 2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏

19、42擾動(dòng)前饋的問題的解當(dāng)且僅當(dāng) H dom(Ric), X = Ric(H ) 0 時(shí)，H控制器K (s) = F1 (M DF , Q), Q RH , Q 其中:M DFB10I A + B2 F B1C2= F C2 1 BT X 1B2 I 0 使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且由w到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tzw(s)滿足Tzw(s)2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏43& & & 擾動(dòng)前饋的問題與全信息問題若給出了x和y, 則可用觀測(cè)器x = Ax + B1 w + B2 u x A B1C2 x B2 w = y C2 x e 0 A B1C2 e 0

20、x e x I 0 0 2 x = Ax + B1 w + B2 u消去e后的形式 x I x 0與全信息問題具有相同的形式用全信息問題的解即可得到擾動(dòng)前饋的問題的解2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏44魯棒控制理論及應(yīng)用輸出估計(jì) (OE)問題B10D21 AG(s) = C1C2B2 I 0 滿足下述條件：(A, B1)是可穩(wěn)定的，AB2 C1是穩(wěn)定的；(C2 , A)是可檢測(cè)的； B1 T 0 21 =K (s) = 2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏45輸出估計(jì)問題的解當(dāng)且僅當(dāng) J dom( Ric), Y = Ric( J ) 0

21、時(shí)，H控制器tK (s) = F (M DE , Q), Q RH , Q 使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且由w到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw(s)矩陣滿足Tzw(s) ，其中2M DEL0I B2 1Y C1T I0 A + L C2 BC1C1 C2對(duì)于Q=0時(shí)的情況， H控制器為 Aoep C1L 0 2Aoep = A + L C2 BC1 Atmp y = Gtmp Gtmp = F C22007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏46H輸出反饋控制器及其存在條件的證明思路r = w 2 B1T X v = u F xTzw (s) Tvr (s) v r B10D2

22、1B2 I 0 2Atmp = A + 2 B1 B T X 即滿足Tvr(s) 的控制器就是滿足Tzw(s) 的控制器， H輸出反饋控制問題即是對(duì)Gtmp 的輸出估計(jì)問題。2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏47關(guān)于Gtmp的引理引理：若Hdom(Ric), X= Ric(H) 0, 則Atmp+B2F是穩(wěn)定的若Jtmpdom(Ric), Ytmp=Ric(Jtmp) 0, 則(C2 , Atmp)是可檢測(cè)的這樣, 對(duì)于Gtmp的輸出估計(jì)問題，下述條件得到滿足:(Atmp, B1)是可穩(wěn)定的，(Atmp+B2F)是穩(wěn)定的；(C2 , Atmp)是可檢測(cè)的；

23、B1 T 0 21 T =T J tmpT = J = T 2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏48H輸出反饋控制的證明過程 (1)在Jtmp和J 之間尋找相似變換 I0 2 X I 1Y = Y 2Y11Ytmp1 = Y1 2 X Y 2Ytmp2 = Y 2定義：Ytm p = Ytm p 2 Y tm p 1 1Ytmp1 Y1 Ytmp2 Y 2 = Y 2 ( I X Y Y )Y = Y 2Y (I 2 X Y 2Y 1 )1 A + 2 B1 BT X Ytmp C2 C2 + B2 F2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工

24、程學(xué)院吳 敏49H輸出反饋控制的證明過程(2)Ytmp = Y 2 (Y1 2 X Y 2 )112 1 2 1= Y (I 2 X Y )1= (I 2Y X )1Y= ZY 0TFK (s) = Ytmp C2T 02007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏50基于同維觀測(cè)器的H狀態(tài)反饋控制B10D21 AG(s) = C1C2B2 D12 0 (1) (A, B1)是可穩(wěn)定的，(C1 , A)是可檢測(cè)的；(2) (A, B2)是可穩(wěn)定的，(C2 , A)是可檢測(cè)的；(3) rank D12= m2，rank D21= p2?？刂破鳎簎 = Fx2007年10月

25、9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏511 1基于觀測(cè)器的H狀態(tài)反饋控制規(guī)律當(dāng)且僅當(dāng)下述三個(gè)條件均滿足時(shí)，使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且使Tzw(s) 的H控制器存在。a) 存在半正定矩陣X0，滿足黎卡提方程T T Tb) 存在半定矩陣Y0，滿足黎卡提方程T T T T2定義： A = A + 2 B1 BT X + L C2 + 2 L D21 BT X 1 T TT A = A , B1 = L , B2 = B2 , F = Fz 2 2 w 2 = v 2 2 r2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏52& 11最壞擾動(dòng)的討論假設(shè)X0存在

26、，并且引入r = w 2 B1T X x1T T12G(s)： x = ( A + 2 B1 BT X ) x + B1r + B2 u1 1T T T T12 1 12y = (C2 + 2 D21 BT X ) x + D21r2 2 222w 1很顯然， s = 2 BT X x是最壞的擾動(dòng)。2007年10月9日魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏53狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)造 (1)構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器及基于狀態(tài)估計(jì)值的反饋控制規(guī)律：B (C + 2 D B y + Bu = F x則 x 是G(s)在最壞擾動(dòng)下的狀態(tài)估計(jì)值。這樣，問題變成：確定 B 1，使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，而且Tz

27、w(s) 。Tvr (s) = (D D12 ) F sI A + B B X B1 2 21 1 X )(C + 2 D BT魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏54狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)造 (2)對(duì)于G(s)，假設(shè)由r到v的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為Tvr(s) ，則T zw (s) Tvr (s) 即滿足Tvr(s) 的觀測(cè)器增益 B1 也滿足Tzw(s) = x x1T112 1 1T 2 2 T1 11(B D21 B )2007年10月9日2007年10月9日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院吳 敏55魯棒控制理論及應(yīng)用使用降維觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)& B2I1sCB1FGwuzyx&ADH控制器K = A + B1 y + B2 uu = Fx&魯棒控制理論及應(yīng)用中南大學(xué)信息