新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)13 等差數(shù)列（教師版含解析）

1、27/27考點(diǎn)13 等差數(shù)列知識理解一等差數(shù)列的有關(guān)概念1.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號表示為an1and(nN*，d為常數(shù)2.數(shù)列的單調(diào)性：d0遞增數(shù)列，d=0常數(shù)數(shù)列，d0遞減數(shù)列二等差數(shù)列的有關(guān)公式1.通項(xiàng)公式：ana1(n1)dnd(a1d)當(dāng)d0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)2.前n項(xiàng)和公式：當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)1.中項(xiàng)性質(zhì)(1)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是Aeq f(ab,2)，其中A叫做a，

2、b的等差中項(xiàng)(2)多項(xiàng)數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差數(shù)列，公差為n2d(2)若an是等差數(shù)列，則eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與an首項(xiàng)相同，公差是an公差的eq f(1,2).考向分析考向一 等差數(shù)列基本運(yùn)算【例1】(1)(2020廣東廣州市高三月考)設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則( )A12B35C75D90(2)(2020寧夏銀川九中高三月考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a44，S972，則a10( )A20B23C24D28【答案】(1)B(2)D【解析】(1)設(shè)公差為，則，故解得，故選：

3、B(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a44，S972，得,解得,故選：D.【舉一反三】1(2020四川省廣元市川師大萬達(dá)中學(xué)高三月考)等差數(shù)列中，若，則( )ABC2D9【答案】A【解析】設(shè)公差為，則，所以.故選：A2(2020冷水江市第一中學(xué)高三期中)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于( )A6B7C8D10【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，得：，即，解得：，.故選：D.3(2020廣西玉林市高三其他模擬)若等差數(shù)列an滿足a2=20，a5=8，則a1=( )A24B23C17D16【答案】A【解析】根據(jù)題意，則，故選：A.4(2020梅河口市第五中學(xué)高三月考)已知數(shù)列是公差不為

4、0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則( )A3BC-3D【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)樗?，所以，所以所以故選：D考向二 等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)【例2】(1)(2020全國高三其他模擬)1，3的等差中項(xiàng)是( )A1B2C3D4(2)(2020福建高三學(xué)業(yè)考試)在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=( )A-1B0C1D6(3)(2020貴州貴陽一中高三月考)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=5，則=( )A5B25C35D50【答案】(1)B(2)B(3)B【解析】設(shè)1和3的等差中項(xiàng)為，則，解得，故選：B.(2)等差數(shù)列中，則故選：B(3)由題意可知，為等差數(shù)列，所以故選：B【舉一反三】1(2020

5、上海市七寶中學(xué)高三期中)已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則_.【答案】-12【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得.故答案為：.2(2020貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考)在等差數(shù)列中，若，則_.【答案】【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，可得，因此，.故答案為：.3(2020天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)高三期中)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，已知，則( )ABCD【答案】B【解析】，.故選：B.4(2020靜寧縣第一中學(xué)高三月考)已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為( )A11B12C20D22【答案】D【解析】因?yàn)?，?shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，所以，解得或(舍去)，則，故選：D.5(2020全國高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足且，則( )A-

6、3B3CD【答案】B【解析】,數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：B.考向三 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)【例3】(1)(2020廣東高三月考)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)為，則的值為( )A2B0C3D4(2)(2020石嘴山市第三中學(xué)高三期中)兩等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，若，則( )ABCD(3)(2021天津紅橋區(qū)高三期末)設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則( )ABCD(4)(2021海南省)已知是等差數(shù)列前項(xiàng)和，當(dāng)取得最小值時(shí)( )A2B14C7D6或7(5)(2020湖北武漢市高三期末)若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其首項(xiàng)， ，則使成立的最大自然數(shù)是( )A198B199C200D201(6)(2020新疆高三

7、二模)在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，若，則( )A-4040B-2020C2020D4040【答案】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C【解析】(1)因?yàn)?，成等差?shù)列，故有，解得.故選：A.(2)數(shù)列是等差數(shù)列，則故選：C(3)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以.故選：D(4)設(shè)等差數(shù)列的公差為，聯(lián)立解得：，令，解得當(dāng)取得最小值時(shí)或7故選：D(5)， 和異號；，有等差數(shù)列的性質(zhì)可知，等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又 ，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可知，使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是.故選：A(6)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以是等差數(shù)列因?yàn)?，所以的公差為，又，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以

8、故選：C【舉一反三】1(2020全國高三專題練習(xí))等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100，則前項(xiàng)和為( )A130B170C210D260【答案】C【解析】為等差數(shù)列，成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，解得.故選：C.2(2020重慶高三其他模擬)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則的值等于( )ABCD【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,由題意可得成等差數(shù)列，故，代入數(shù)據(jù)可得，解得故選C3(2020全國高三專題練習(xí))等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則等于( )A B C D 【答案】A【解析】.故選：.4(2020湖南懷化市高三期中)設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則( )A2BCD【答案】

9、A【解析】由題意，故選：A5(2021河北承德)在等差數(shù)列中，公差，為的前項(xiàng)和，且，則當(dāng)為何值時(shí)，達(dá)到最大值.( )ABCD【答案】C【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，所以，又公差，所以，故所以數(shù)列的前6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)；因此，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值.故選C6(2020全國高三其他模擬)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為( )A4或5B3或4C4D3【答案】C【解析】設(shè)公差為，由題意知，解得，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，知，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，最大故選：C7(2020全國高三專題練習(xí))在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和.若，且，則等于( )ABCD【答案】D【解析】是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，設(shè)公差為

10、，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，則，解得.又，.故選：考向四 等差數(shù)列定義運(yùn)用【例4-1】(2021吉林長春市高三二模節(jié)選)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； 【答案】見解析【解析】，()，數(shù)列為等差數(shù)列【例4-2】(2021青海西寧市節(jié)選)已知數(shù)列滿足，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】，兩邊同時(shí)除以，可得：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；，.【方法總結(jié)】等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數(shù)列an，anan1(n2，nN*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)

11、列通項(xiàng)公法前n項(xiàng)和anpnq(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題項(xiàng)和公式法驗(yàn)證SnAn2Bn(A，B為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列【舉一反三】1(2020全國高三月考節(jié)選)已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；【答案】是等差數(shù)列；詳見解析【解析】設(shè)，則，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差的等差數(shù)列.2(2021山西運(yùn)城市高三期中)已知數(shù)列中，設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】證明：當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列 ；3(2021山東高考模擬解析)已知數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；【答案】見解析

12、【解析】，數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列4(2020江西豐城九中高三期中節(jié)選)數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見解析；【解析】，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；5(2020湖北武漢市華中師大一附中節(jié)選)在數(shù)列，中，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】證明：由題意，將代入，可得，即，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列強(qiáng)化練習(xí)一單選題1(2020黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中)在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，是其前項(xiàng)和，若，則( )A15B16C17D18【答案】B【解析】由得，將代入得，因?yàn)?，所以，?故選：B2(2020河南開封市高三一模)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則( )ABCD【答案】B

13、【解析】在等差數(shù)列中，所以，所以，故選：B3(2020全國高三其他模擬)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( )A15B20C25D30【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由已知可得，所以故選：B4(2020甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)高三月考)已知數(shù)列為等差數(shù)列，則( )ABCD【答案】A【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以,.由,得,故選：A.5(2020沙坪壩區(qū)重慶一中高三)正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則( )A35B36C45D54【答案】B【解析】由題意，可得，所以，解得或，因?yàn)?，所以舍去，只有符合題意，所以.故選：B.6(2020河北邯鄲市高三月考)已知，均為正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則的最小值為(

14、 )A4B3CD【答案】D【解析】解析：由題，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立).故選：D7(2020寧夏高三其他模擬)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則( ).A-1B0C1D2【答案】B【解析】因?yàn)椋?，故選：B.8(2020湖北黃岡市黃岡中學(xué)高三)已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前 項(xiàng)和，則( )ABCD【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.9(2020山西高三月考)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則( )A9B6C3D0【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，從?故選：A10(2020舒蘭市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高三學(xué)業(yè)考試)在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和( )A58B88C143D176【答案】C【解析】因?yàn)槭?/p>

15、等差數(shù)列，所以，故選：C11(2020河南高三月考)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若.則( )A9B12C15D18【答案】A【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，即又由等差數(shù)列性質(zhì)知：，即.故選：A.12(2020黃梅國際育才高級中學(xué)高三期中)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則( )A60B120C160D240【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由等差?shù)列的性質(zhì)得，解得，所以故選：B13(2020河北張家口市高三月考)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( )A51B57C54D72【答案】B【解析】，即故選：B14(2020湖南衡陽市八中高三月考)在等差數(shù)列中，則此數(shù)列前13項(xiàng)的和是( )A13B26C52D56【答案】B

16、【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，因?yàn)?，可得，即，故?shù)列的前13項(xiàng)之和故選：B.15(2020湖北高三月考)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等差數(shù)列，若，則( )ABCD【答案】C【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)的公差為，即，所以，即所以是等差數(shù)列，故選：C16(2020福建省平和第一中學(xué)高三期中)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則( )A121B161C141D151【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，即所以故選：B17(2020云南高三期中(理)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則( )A36B18C10D8【答案】A【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，所以，所以，故選：A18(2020河津中學(xué)高三月考)在等差數(shù)列中，則(

17、 )A5B8C11D14【答案】C【解析】，.為等差數(shù)列，.故選：C19(2020全國高三月考)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則( )ABCD【答案】D【解析】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，構(gòu)成等差數(shù)列，所以，且，化簡解得.又，從而.故選：D21(2020河北衡水市衡水中學(xué)高三)兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和之比為，則它們的第7項(xiàng)之比為( )ABCD【答案】B【解析】設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列分別為，它們的前項(xiàng)和分別為，則，故選：22(2020四川高三一模)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an0，若a5=3a3，則( )ABCD【答案】D【解析】依題意，又，故選：D.23(2020廣東肇慶市高三月考)等差數(shù)列中，是數(shù)列的

18、前n項(xiàng)和，則( )AB是中的最大項(xiàng)C是中的最小項(xiàng)D【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，所以，A.因?yàn)?，故正確；B. 因?yàn)椋圆皇侵械淖畲箜?xiàng)，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以不是中的最小項(xiàng)，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；故選：A24(2020西藏拉薩市拉薩那曲第二高級中學(xué))在數(shù)列中，則( )A101B100C99D98【答案】A【解析】，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差的等差數(shù)列，.故選：A.二、多選題25(2020遼寧高三期中)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則( )ABCD【答案】AC【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由，可得，解得，.故選：AC.26(2020河北滄州市高三期中)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且

19、，則( )ABCD【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以公差故選：BD27(2020全國高三其他模擬)已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則( )AB最大CD【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，即，因?yàn)閿?shù)列遞減，所以，則，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：ABD.28(2020全國高三專題練習(xí))等差數(shù)列an中，若S6S7且S7S8，則下面結(jié)論正確的是( )Aa10BS9S6Ca7最大D(Sn)maxS7【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，若S6S7且S7S8，則a7S7S60，a8S8S70，則有da8a70，對于A，必有a1a87d0，A正確；對于B，

20、S9S6a7+a8+a93a80，必有S9S6，B正確；對于C，等差數(shù)列an中，d0，數(shù)列an為遞減數(shù)列，故a1最大，C錯(cuò)誤；對于D，數(shù)列an為遞減等差數(shù)列，a70，a80，故必有(Sn)maxS7，D正確；故選：ABD29(2020全國高三專題練習(xí))等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是( )ABCD【答案】ABD【解析】根據(jù)題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，前9項(xiàng)的和最小，故正確；，故正確；，故正確；，故不正確.故選：.30(2020河北張家口市高三月考)在等差數(shù)列中，公差，前項(xiàng)和為，則( )AB，則C若，則中的最大值是D若，則【答案】AD【解析】對于，因?yàn)?，且，所以，所以，故正確；對于，因?yàn)椋?/p>

21、所以，即，即，因?yàn)?，所以，所以，即，故不正確；對于，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)時(shí)，等差數(shù)列遞增，則，所以中的最小值是，無最大值；當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列遞減，則，所以中的最大值是，無最小值，故不正確；對于，若，則，時(shí)，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，故正確.故選：AD31(2020福建莆田市莆田一中高三期中)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是( )ABCD當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值【答案】AC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：AC三、填空題32(2020河南開封市高三一模(理)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則_.【答案】【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，可得，故答案為

22、：33(2020浙江寧波市高三期中)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_.【答案】305【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得則故答案為：30534(2020貴州安順市高三其他模擬)已知數(shù)列中，則_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以 為公差的等差數(shù)列，所以，所以 ，故答案為；35(2020咸陽市高新一中高三月考)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所?故答案為：.36(2020全國高三專題練習(xí)(理)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則_.【答案】【解析】設(shè)的公差為，則=由已知可得，解得：，則；故答案為：.37(2020全國高三專題練習(xí))已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根則=_.【答案】【解析】方程的兩根為2,3，由題意得設(shè)數(shù)列的公差為d，則，解得，從而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：38(2020廣東深圳市高三開學(xué)考試)如果復(fù)數(shù)成等差數(shù)列，則_.【答案】4【解析】，故答案為：4.39(2021石嘴山市第三中學(xué)高三期末(文)在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，若，則_.【答案】【解析】，即，即，則.故答案為：.40(2020湖北襄陽市高三月考)設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_.【答案】【解析】令，則由，得又由等差數(shù)列的性質(zhì)得，成等差數(shù)列，故有，相