人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

1、3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程在經(jīng)歷了橢圓和雙曲線的學(xué)習(xí)后再學(xué)習(xí)拋物線，是在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上從幾何與代數(shù)兩個角度去認(rèn)識拋物線.教材在拋物線的定義這個內(nèi)容的安排上是：先從直觀上認(rèn)識拋物線，再從畫法中提煉出拋物線的幾何特征，由此抽象概括出拋物線的定義，最后是拋物線定義的簡單應(yīng)用.這樣的安排不僅體現(xiàn)出課程標(biāo)準(zhǔn)中要求通過豐富的實例展開教學(xué)的理念，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)和理解.坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個“圓錐曲線方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點掌握的基本數(shù)學(xué)方法 運動變化和

2、對立統(tǒng)一的思想觀點在這節(jié)知識中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進行教學(xué) 課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 掌握拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念B.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程C.明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題D.拋物線的簡單應(yīng)用1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線的定義2.邏輯推理：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 3.數(shù)學(xué)運算：根據(jù)條件求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 4.直觀想象：拋物線的定義的運用重點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程 難點：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一類圓錐曲線拋物線

3、如圖，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)，直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣，把一根繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上點A，截取繩子的長等于A到l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直角尺左右滑動，這樣鉛筆就畫出了一條曲線，這條曲線就叫做拋物線1.拋物線的定義 究概念形成 比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？ 同橢圓雙曲線的情形一樣，下面我們用坐標(biāo)法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。如圖所示，以直線KF為x軸，線段KF的垂直平分

4、線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，此時，拋物線的焦點為Fp2,0,準(zhǔn)線為x=-p2設(shè)M x,y是拋物線上一點，則M到F的距離為MF=(x-p2)2+y2, 則M到直線l的距離為x+p2,所以(x-p2)2+y2=x+p2上式兩邊平方，整理可得y2=2 p x 建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？請?zhí)骄恐筇顚懴卤?拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)xeq f(p,2)y22px(p0) Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p

5、,2)，0)xeq f(p,2)x22py(p0)Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)yeq f(p,2)x22py(p0)Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)yeq f(p,2)1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡一定是拋物線 ()(2)y4x2的焦點坐標(biāo)為(1,0) ()(3)以(0,1)為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y () 提示(1)(2)(3)2拋物線y28x的焦點到準(zhǔn)線的距離是()A1B2C4D8C由y28x得p4，即焦點到準(zhǔn)線的距離為4.3拋物線x4y2的準(zhǔn)線方程是()Ay

6、eq f(1,2) By1Cxeq f(1,16) Dxeq f(1,8)C由x4y2得y2eq f(1,4)x，故準(zhǔn)線方程為xeq f(1,16).4拋物線y4ax2(aR且a0)的焦點坐標(biāo)為_eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,16a)把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2eq f(1,4a)y，所以焦點在y軸上，坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,16a).二、典例解析例1. 分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)準(zhǔn)線方程為2y40；(2)過點(3，4)；(3)焦點在直線x3y150上思路探究eq x(確定拋物線的位置)eq x(設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)eq x(確

7、定參數(shù))eq x(寫出方程).解(1)準(zhǔn)線方程為2y40，即y2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x22py(p0)又eq f(p,2)2，2p8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y. (2)點(3，4)在第四象限，拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22p1y(p10)把點(3，4)的坐標(biāo)分別代入y22px和x22p1y中，得(4)22p3,322p1(4)，即2peq f(16,3)，2p1eq f(9,4).所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2eq f(16,3)x或x2eq f(9,4)y.(3)令x0得y5；令y0得x15.拋物線的焦點為(0，5)或(15,0

8、)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y或y260 x.1用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時需注意的三個問題(1)把握開口方向與方程一次項系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；(2)當(dāng)拋物線的位置沒有確定時，可設(shè)方程為y2mx(m0)或x2ny(n0)，這樣可以減少討論不同情況的次數(shù)；(3)注意p與eq f(p,2)的幾何意義跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為yeq f(2,3)；(2)焦點在y軸上，焦點到準(zhǔn)線的距離為5；(3)經(jīng)過點(3，1)；(4)焦點為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點解(1)因為拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且eq f(p,2)eq f(2,3)，則

9、peq f(4,3)，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2eq f(8,3)y.(2)已知拋物線的焦點在y軸上，可設(shè)方程為x22my(m0)，由焦點到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y. (3)點(3，1)在第三象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p(3)，解得peq f(1,6)；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p(1)，解得peq f(9,2).所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2eq f(1,3)x或x29y.(4)對于直線方程

10、3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，拋物線的焦點為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點為(0，3)時，eq f(p,2)3，p6，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點為(4,0)時，eq f(p,2)4，p8，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.例2. 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)（2）為了增強衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時星波束反射聚

11、集點的坐標(biāo)典例解析解：（1）以頂點為原點，焦點所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)拋物線的方程為y22px（p0），代入點（0.5，2.4），可得2.422p0.5，解得p5.76，即拋物線的方程為y211.52x，焦點為（2.88，0）；（2）設(shè)拋物線的方程為y22mx（m0），代入點（0.5，2.6），可得2.622m0.5，解得m6.76，即有拋物線的方程為y213.52x，焦點為（3.38，0）求解拋物線實際應(yīng)用題的步驟跟蹤訓(xùn)練2.一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬AB恰好是拱高OD的4倍若拱口寬為a m，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值

12、解以拱頂O為原點，拱高OD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)拋物線方程為x22py(p0)AB是OD的4倍，點B的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,4).由點B在拋物線上，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup24(2)2peq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，peq f(a,2).拋物線方程為x2ay.設(shè)點E(0.8，y0)為拋物線上一點，代入方程x2ay，得0.82ay0，y0eq f(0.64,a)，點E到拱底AB的距離heq f(a,4)|y0|eq f(a,4)eq f(0.64,a)，令h3

13、，則eq f(a,4)eq f(0.64,a)3，解得a6eq f(2r(241),5)或a6eq f(2r(241),5)(舍去)a的最小整數(shù)值為13.類比橢圓和雙曲線的學(xué)習(xí)，制定研究路線圖。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過典型例題，熟練掌握根據(jù)條件求拋物線的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達標(biāo)檢測1準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過點(1，eq r(2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay22xBy22x Cx

14、22y Dx22yB由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2ax，則(eq r(2)2a，解得a2，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22x，故選B.2過點A(3,0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為()A圓 B橢圓 C直線 D拋物線D由題意可知，動圓的圓心到點A的距離與到直線y軸的距離相等，滿足拋物線的定義，故應(yīng)選D.3設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是_6由拋物線的方程得eq f(p,2)eq f(4,2)2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為426.4如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米2eq r(6)建立如圖所示的平面直角

15、坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x22py，則點(2，2)在拋物線上，代入可得p1，所以x22y.當(dāng)y3時，x26，所以水面寬為2eq r(6)米5若拋物線y22px(p0)上有一點M，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點的距離為10，求點M的坐標(biāo)解由拋物線方程y22px(p0)，得其焦點坐標(biāo)為Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，準(zhǔn)線方程為xeq f(p,2).設(shè)點M到準(zhǔn)線的距離為d，則d|MF|10，即eq f(p,2)(9)10，得p2，故拋物線方程為y24x.由點M(9，y)在拋物線上，得y6，故點M的坐標(biāo)為(9,6)或(9，6)6.若位于y軸右側(cè)的動點M到Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq f(1,2).求點M的軌跡方程解由于位于y軸右側(cè)的動點M到Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq f(1,2)，所以動點M到Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)的距離與它到直線l：xeq f(1,2)的距離相等由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點)，其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式，而eq f(p,2)eq f(1,2)，