高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊2020B版-【學(xué)案】1第2課時相關(guān)系數(shù)與非線性回歸

1、第2課時Gj措攵相關(guān)系數(shù)與非線性回歸學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1. 了解兩個變量間的線性相關(guān)系數(shù)r,并能利用公式 求相關(guān)系數(shù)r.（重點）1.通過學(xué)習(xí)相關(guān)系數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).2,能利用相關(guān)系數(shù)r判斷兩個變量線性相關(guān)程度的大小，從而判斷回歸直線方程擬合的效果.（重點）3.掌握非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸的方法，會求非線性回歸方程，并作出預(yù)測.（難點）2 .借助非線性回歸方程 的學(xué)習(xí)，提升數(shù)據(jù)分析和 數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).情壯味導(dǎo)學(xué) 情境導(dǎo)學(xué)。探新知 換印京卷影W心情境羽人助學(xué)助效據(jù)隆眾資訊數(shù)據(jù)統(tǒng)計，20172019年截止到10月底的數(shù)據(jù)顯示，聚丙烯期貨價格及現(xiàn)貨價格二者相關(guān)系數(shù)為88.70%,其中2017年二者

2、相關(guān)系數(shù)高達90.86%,2018年降至83.97%,2019年截止到10月底二者相關(guān)系數(shù)為65.23%.問題：什么是相關(guān)系數(shù)，如何計算，它有什么作用？I .新知初探.I.相關(guān)系數(shù)（1）定義：統(tǒng)計學(xué)里一般用r 二來衡量y與x的線性相關(guān)性強弱，這里的r稱為線性相關(guān)系數(shù)（簡稱為相關(guān)系 數(shù)）.（2）性質(zhì)|r|01,且y與x正相關(guān)的充要條件是r0, y與x負相關(guān)的充要條件是r 0)B 散點圖呈曲線，排除A選項，且增長速度變慢，排除選項C、D,故選B.4.在一次試驗中，測得(x, y)的四組值分別為(1,2), (2,0), (4, 4), ( 1,6), 則y與x的相關(guān)系數(shù)為.20 4X1.5X 1-

3、1 法一：x =1.5, y = 1, )x2= 22，國y2= 56, i與xiyi = 20,相關(guān)系數(shù)r=f=一1.7 224X 1.5C. y=x+1D . y= x(2)設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r,y關(guān)于x 一一. A. 一 A_.的回歸直線方程的回歸系數(shù)為b,回歸截距是a,那么必有()A.b與r的符號相同B.a與r的符號相同C.b與r的符號相反D.a與r的符號相同(1)A (2)A (1) v這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為一1,這一組數(shù)據(jù)(x，y1), (x2, y2),的，yn)線性相關(guān),且是負相關(guān)， 56-4X 12法二：觀察四個點，發(fā)現(xiàn)其在一條單調(diào)遞減的

4、直線上，故 y與x的相關(guān)系數(shù)為1.睫畔同廄韓6 合作探究。釋疑難 學(xué)科木艮町鼠要M 1相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)【例 1】(1)在一組數(shù)據(jù)為(xi ,y1),(x2,y2),，(xn,yn)(n2,xi,x2,，xn不全相等)的散點圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為一1，則所有的樣本點(xi, yi)(i=1,2,n)滿足的方程可以是().1 一一A . y= 2x+1B . y=x10優(yōu)教可排除D, B, C,故選A.由公式可知b與r的符號相同.1*，*規(guī)法線性相關(guān)強弱的判斷方法：.散點圖（越接近直線，相關(guān)性越強）；.相關(guān)系數(shù)（絕對值越大，相關(guān)性越強）.跟進訓(xùn)練1 .如圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)

5、的散點圖和回歸直線，若去掉一個點使得余下的（）5個點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大，則應(yīng)當(dāng)去掉的點是B. ED. AA. DC. F因為相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，越接近 1,則說明兩個變量的相關(guān)性越強.因為點E到直線的距離最遠，所以去掉點 E,余下的5個點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大.相關(guān)系數(shù)的計算及應(yīng)用【例2】 假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限 x（單位：年）與所支出的維修費用 y（單位：萬元）有如下統(tǒng)計資料:x23456y2.23.85.56.57.09例教555已知戶 1x2 = 90, 總黃=140.8,*xiyi = 112.3,甲能 8.9,g=1.4.計算y與x之間的相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)

6、,并求出回歸直線方程；根據(jù)回歸方程，預(yù)測假設(shè)使用年限為 10年時，維修費用約是多少萬元?解(1) v x2+3+4+ 5+ 6=4,2.2 + 3.8+5.546.5+7.0 TOC o 1-5 h z y = 5.? ,Li Zxiyi 5 x y = 112.3 5X4X5=12.3, o -ooi*25x2=90 5X42=10, -oi與y2 5 y 2= 140.8- 125= 15.8,0.987.12.312.312.312.3#10X15.8 V158 2XV79 1.4X 8.91.23.人 Ixiyi-5x k 112.35X4X5Ex2-5x2 =90-5X42;i =

7、1a= y bx = 5 1.23X 4 = 0.08.所以回歸直線方程為y=1.23x+ 0.08.(2)當(dāng) x=10 時，y= 1.23 0+0.08=12.38(萬元)，即假設(shè)使用10年時，維修費用約為12.38萬元.跟進訓(xùn)練2.某廠的生產(chǎn)原料耗費x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有 如下的對應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070計算x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并求其回歸直線方程；(2)若實際銷售額不少于80百萬元，則原料耗費應(yīng)該不少于多少？解(1)畫出(x, y)的散點圖如圖所示，由圖可知x, y有線性關(guān)系.46 K再4X=5, y=47.5, Ex2=120, Eiy2=9 9

8、00, )xiy = 1 080,故相關(guān)系數(shù)r =,xyi 4 x y4411x24二方y(tǒng)、4歹2_1 0804X5X47.50982 70 120-4X52 9 900-4X47.52 .4i 中yi 4 x y 1 080 4X5X47.5b - -4Ex2-4 x2 i = 1120 4X52= 6.5,a= y -bx =47.56.5X5=15.故回歸直線方程為y=6.5x+15.(2)由回歸直線方程知，A一一.當(dāng)y80即6.5x+1580l寸，x10.故原料耗費應(yīng)不少于10百萬元.M5TB非線性回歸方程探究問題已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個函數(shù)中，哪一個作為回歸模型最好?x1

9、23y35.9912.01y=3X2x1;y=log2x;、=4x;y=x2.提示作出散點圖(圖略)，觀察散點圖中樣本點的分布規(guī)律可判斷樣本點分布在曲線y=3X2x-1附近.作為回歸模型最好.si優(yōu)教【例3】 某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本 組成.每件產(chǎn)品的非原料成本y（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得 到如下數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型y=a+b和指數(shù)函數(shù)模型v= 06dx分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合.已求得用指數(shù)函 x.數(shù)

10、模型擬合的回歸方程為，=96.54e 0.2x, In y與x的相關(guān)系數(shù)ri= 0.94.1參考數(shù)據(jù)其中Ui =：xi8Ruiyi一u一2 U8Eu2 i=18Eyi i = 1 J8耳y2 i =v0.61X6 185.52 e183.40.340.1151.5336022 385.561.40.135（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程;（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01）,并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本；（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根 據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單

11、的概率為0.8,簽訂10千件訂單的概率為0.2;若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為 0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2） 的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應(yīng)選擇100元還是90元，請說明理0優(yōu)教由.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(U1 , 5),(U2,明 ，(un, in),其回歸直線u= a工 -ui n u u+ B u的斜率和截距的最小二乘估計分別為： 片一n, a= u 0u ,斗2 nU2工 -3ui 如一n u ui = 1相關(guān)系數(shù)r= nnEu2 nH2 i5一nJ21 . . b.思路點撥(1)首先可令u = X并將y=a

12、 + b轉(zhuǎn)化為v= a+ bu,然后根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)以及線性回歸方程的相關(guān)公式計算出 b以及a,即可得出結(jié)果;計算出反比例函數(shù)模型的相關(guān)系數(shù) r并通過對比即可得出結(jié)果；(3)可分別計算出單價為100元和90元時產(chǎn)品的利潤，通過對比即可得出結(jié)果.爸 一a 占Uy 8uy b;.u2 8-u2 i=1 TOC o 1-5 h z 解(1)令u=1,則y=a + b可轉(zhuǎn)化為y=a+bu,因為刀M等MdS,所以 人入183.4-8X0.34X45611008X0.115O.61則a=一b u =45 100X0.34= 11,a所以丫= 11 + 100u,a 100所以y關(guān)于x的回歸方程為y= 11

13、 + .1(2)y與;的相關(guān)系數(shù)為： x2 =工 2 1uiyi n u y612 - 2二一10.61X6 185.5 i? 1吁 8ui?8y= 0.99.j怪因為|ri|0.711 附，e 0.36x+ 32 0.711 8= eln 0711 8= e a34,所以0.36x+3.62 d0.34,解得x11因此預(yù)測在收購該型號二手車時車 輛的使用年數(shù)不得超過11年.課堂知漢卦實 課堂小結(jié)”提素養(yǎng) 風(fēng)基盲在掃除口必備素養(yǎng)口.判斷變量的相關(guān)性通常有兩種方式：一是散點圖，二是相關(guān)系數(shù)r,前者只能粗略的說明變量間具有相關(guān)性，而后者從定量的角度分析變量相關(guān)性的強 弱.只有當(dāng)兩變量間呈線性相關(guān)關(guān)

14、系時，才可以求回歸系數(shù)，得到回歸直線、一 A A A 一.方程y=bx+a;若兩變量間的關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系，應(yīng)觀察分析其散點圖，找 出擬合函數(shù)，通過變量代換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題.匚j學(xué)以致用.兩個變量之間的線性相關(guān)程度越低，其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值()A.越接近于1B.越接近于0C,越接近于1D.越小B 由相關(guān)系數(shù)的含義可得：兩個變量之間的線性相關(guān)程度越低，其線性相 關(guān)系數(shù)的數(shù)值越接近于0.故選B.如圖所示，給出了樣本容量均為 7的A, B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點圖，已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為 門，B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r2,則( B. r1r2D.無法判定C 根據(jù)A, B兩組樣本數(shù)據(jù)的

15、散點圖知，A組樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上,且成正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為ri應(yīng)最接近1, B組數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，：相關(guān)系數(shù)為2,滿足r2V門，即rir2,故選C.3.對于線性相關(guān)系數(shù)r,敘述正確的是（）A. rC（oo, +oo）,且r越大，相關(guān)程度越大B . r C （ 00, + 00 ）, 且|r整大，相關(guān)程度越大r-1,1,且r越大，相關(guān)程度越大r-1,1,且|r|越大，相關(guān)程度越大D 相關(guān)系數(shù)r是來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度的，線性相關(guān)系數(shù)是 一個絕對值小于等于1的量，并且它的絕對值越大就說明相關(guān)程度越大.故選D.若回歸直線方程中的回歸系數(shù)b = 0,則相關(guān)系數(shù)r =相關(guān)

16、系數(shù)nn國 xi又 2i51 yi-Vn百1 xi x yi yn耳Ai= 1h 與 b=一2xi x yi y二的分子E xi- x 2i = 1相同，故r=0.根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量 y（百千克）與某種液體肥料 每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示.m 二一t八Q 24 5 68可千克）（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計 算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若|r|0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型 擬合）；12千克時，西紅（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為13必措攵柿畝產(chǎn)量的增加量y約為多少？附：相關(guān)

17、系數(shù)公式nn0.9=0.95.0.3=0.55,=3+4+4+4+5=4.回歸方程y = bx + a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b =nn方 xi- x y- y 斗yi nx y二 xi-占15春=注0.95一一一3所以與(xi- x)(yi- y) = ( 3)X(1)+(1)X0+0X0+1X0+3X 1 = 6, x a= y b x .=V -32+ -1 2+02+12+32 =廓,因為r0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.5人i =1(2)b= xi x yi y5E i=1一 2 xi x6 20=0.3.14e危攵人那么 a = 4 5X0.3 = 2.5.所以回歸方程為y=0.3x+ 2.