高考數(shù)學(xué)構(gòu)造新數(shù)列與數(shù)列中的放縮法大綱版

1、構(gòu)造新數(shù)列與數(shù)列中的放縮法數(shù)列問題中的構(gòu)造新數(shù)列與放縮法證明不等式在近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)。這類題目的難度及區(qū)分度往往很大，考生不容易掌握，有時(shí)甚至無從下手。現(xiàn)通過幾個(gè)具體問題的分析 談?wù)劤Ｓ玫臉?gòu)造數(shù)列的方法與放縮手段，希望對(duì)眾考生的備考有所幫助例1已知數(shù)列a0滿足：a1 =1且2an 3an二白(n.2).(2)分析:求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式;設(shè) mwN +，m n 2,證明(a n + 工)m (m-n+1) 2n2m -1n 時(shí)，bnbn 1m -n 1_1),即數(shù)列bn是遞減數(shù)列.因?yàn)閚2,故只須證b23 一，即證（一）m2a。事m實(shí)上，(U)m 1 Cm1m2 2m不等式成立。無獨(dú)有偶

2、，在不到 1個(gè)月的06年全國一卷高考題 22中恰出現(xiàn)了本例中 構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式 an的模型。有興趣的同學(xué)可找做一做。例2設(shè)數(shù)列an滿足a1 =3,an書=2an -n +1(1) 求an的通項(xiàng)公式;1.(2 )右 Ci 1, bn - cn + _ cn , dncncn 1an -n1求證：數(shù)列bn dn的刖n項(xiàng)和sn -分析：(1)此時(shí)我們不妨設(shè)an書十A(n+1)+B = 2(an+An+B)即an書=2an +An A + B與已知條件式比較系數(shù)得A= 1, B =0.，an4 (n 1) =2(an n)又a1 1 = 2,二an n是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)歹U。, an n

3、=2n,即an =2n +n . TOC o 1-5 h z 一n1一(3) 由(1)知 an =2 +n,. bn =.當(dāng) n 之 2 時(shí),2ncn 二G(C2-G)(c3-c2).(Cn-cn,)=1 W出2111二1 -222n=1 時(shí)=1 也適1合上式，所以 =2-2口,bndn2n(2n 1 - 2)(2n 1-1)方法一:丁 2n4一222n, 2n由一1 A3 (這步難度較大，也較關(guān)鍵，后一式縮至常數(shù)不易想到必須要有執(zhí)果索因的分析才可推測(cè)出.) b d w 1 S - + 1 + + 1 n n 3 2n , n 3 2 3 22 3 2n方法二：在數(shù)列中，簡(jiǎn)單嘗試的方法也相當(dāng)重

4、要.很多學(xué)生做此題時(shí)想用裂項(xiàng)相消法但是發(fā)現(xiàn) 此種處理達(dá)不到目的.但是當(dāng)n之3時(shí)，我們看：顯然6 714 15(211 11+ _ + .67 14151這樣Sn =6+ 2n 1 -2) 2n 1 -1)11十 (-)+ + ( (15 30，2n -1 一*11_ n / 一 一n 1-2-12-20,12n 1 -1故sn ：得證.這樣也實(shí)現(xiàn)了我們的初 3、，1 1由前二項(xiàng)會(huì)得到-3 7我們可重新加括號(hào)得-172) -201 _1步想法.也易讓學(xué)生接受易驗(yàn)證當(dāng)n=1, 2時(shí)sn 1.綜上sn C133下面我們?cè)倥e一個(gè)數(shù)列中利用放縮法證明不等式的問題1.例3已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a =1,qa

5、n4=、；an +2 an, (n N )(n 1)(1) 判斷數(shù)列an的單調(diào)性;(2),、1求證：11 Hn111再證：an an 1故數(shù)列an為遞增數(shù)列.111(2)不妨先證,an- an 1 (n . 1)2an-1an :二 1(n 1)11 原解答中放縮技巧太強(qiáng)，下面給出另一種證法 n 2 a a n - an 1 . anan 1 (n 1)2, an 1 (n 1)2)：:7+ +32(n 1)n(n 1)(用到了累差迭加法及2(n 1)n(n 1)這種常用的放縮手段).二1二1 一-Jan 1：n 1(n 1)an=.an1. an(n 1)(n 1)2a an 1 -工 anan(n 1)2 anan2(n 1)2an 1an(n 1)21an(n 1)(n 1)( n 1這種證法還是比較自然的,也易讓學(xué)生接受JJ當(dāng)n之2時(shí)，上 .1 n