高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義統(tǒng)計

1、統(tǒng)計一.【課標(biāo)要求】1.統(tǒng)計案例通過典型案例，學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實際問題。(1)通過對典型案例(如肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等)的探究，了解獨立性檢驗(只要求 2X2 列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用；(2)通過對典型案例(如質(zhì)量控制、新藥是否有效等)的探究，了解實際推斷原理 和假設(shè)檢驗的基本思想、方法及初步應(yīng)用；(3)通過對典型案例(如昆蟲分類等)的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及初 步應(yīng)用；(4)通過對典型案例(如人的體重與身高的關(guān)系”等)的探究，進(jìn)一步了解回歸的基本 思想、方法及初步應(yīng)用2.隨機變量的分布列(1)在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散

2、型隨機變量及其分布列的概念，認(rèn)識 分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性；(2)通過實例(如彩票抽獎)，理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；(3)在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題；(4)通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型 隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題；(5)通過實際問題，借助直觀(如實際問題的直方圖)，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線 所表示的意義 二.【命題走向】統(tǒng)計案例本部分內(nèi)容主要包括回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用和獨立性檢驗的基本思想和初步應(yīng)用，是教材

3、新增內(nèi)容，估計高考中比重不會過大預(yù)測2010年的高考主要有以下幾種情況：(1)知識點將會考察回歸分析的基本思想方法，用獨立性檢驗判斷A與B間的關(guān)系，及2X 2列聯(lián)表；(2)考查的形式主要以選擇、填空題為主，但不會涉及很多；隨機變量的分布列本部分內(nèi)容主要包括隨機變量的概念及其分布列，離散性隨機變量的均值和方差，正態(tài)分布，從近幾年的高考觀察，這部分內(nèi)容有加強命題的趨勢預(yù)測2010年的高考對本部分內(nèi)容的考查有以下情況：(1)考查的重點將以隨機變量及其分布列的概念和基本計算為主，題型以選擇、填空為主，有時也以解答題形式出現(xiàn)；(2)預(yù)計2010年高考還是實際情景為主，建立合適的分布列，通過均值和方差解釋

4、實際 問題；三.【要點精講】統(tǒng)計案例.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量y與x的一組觀測值，把E(旃一總一封羽苗一師.-廣、3 耳為F為5-疔楂才-射場城-4)叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相 關(guān)程度相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：1r I w 1,且1r I越接近1,相關(guān)程度越大；且Ir I越接近0,相關(guān)程度越小。顯著性水平：顯著性水平是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的一個概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定。 顯著性檢驗：(相關(guān)系數(shù)檢驗的步驟)由顯著性水平和 自由度查表得出臨界值， 顯著性水平一般取0.01和0.05 ,自由度為

5、n - 2 ,其中n是數(shù)據(jù)的個 數(shù)在 相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表 ”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2 (n為觀測值組數(shù)) 相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值0 05或r0 01 ;例如n = 7時，r 0.05 = 0.754 , r 0.01 = 0.874求得的相關(guān)系數(shù)r和臨界值r 0.05比較,若r r 0.05,上面y與x是線性相關(guān)的，當(dāng),W r 0.05或r 0.01 ,認(rèn)為線性 關(guān)系不顯著。結(jié)論：討論若干變量是否線性相關(guān)，必須先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求 回歸直線；通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計，實際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究；我們研究的對象是兩個變量的線性

6、相關(guān)關(guān)系，還可以研究多個變量的相關(guān)問題，這在今 后的學(xué)習(xí)中會進(jìn)一步學(xué)到.卡方檢驗統(tǒng)計中有一個有用的(讀做朱方”)統(tǒng)計量，它的表達(dá)式是：“2n(ad -bc)K 二(a +b)(c+d)(a *c)(b*d),經(jīng)過對統(tǒng)計量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個臨界值：3.841與6.635。當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的 k3.841時，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)k6.635 時，有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)k 3.841時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的。隨機變量.隨機變量的概念如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量常用希臘字母& 符表示。對于隨機變量可能取的值，我們可

7、以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。注：隨機變量 輿關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù)，即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一個實數(shù)；隨機變量 的線性組合刀=a E +b(a b是常數(shù))也是隨機變量。.離散性隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量總可能取得值為：X1, X2,，X3,，名取每一個值Xi (1=1, 2,)的概率為P ( * = xi) = P,則稱表X1X2xiPP1P2Pi為隨機變量6的概率分布，簡稱 6的分布列。兩條基本性質(zhì)：pi -0(i =12);Pi + P2+. = 1。.獨立相互獨立事件：事件 A (或B)是否發(fā)生對事件B (或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個 事件叫做

8、相互獨立事件。獨立重復(fù)試驗：若n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果， 則稱這n次試驗是獨立的口公式(1)兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P (A B) =P (A) P(B);推廣：若事件A1, A2,，An相互獨立，則P(A - A2 - An)=P(A1)P(A2)n)。P(2)如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生kk次的概率：Pn(k)=C n Pk(1 P)n-k。.隨機變量的均值和方差(1)隨機變量的均值EXiPi +X2p2 +；反映隨機變量取值的平均水平口(2)離散型隨機變量的方差:2

9、2一反映隨機變量取值的穩(wěn)D -(XlE& P(X2E,) P2 +(Xn_E)2pn 十一定與波動，集中與離散的程度。2基本性質(zhì)：E(aw+b) =aEg+b ； D(aw+b)=aDw.幾種特殊的分布列(1)兩點分步兩點分布：對于一個隨機試驗，如果它的結(jié)果只有兩種情況，則我們可用隨機變量1甲結(jié)果發(fā)生，p乙結(jié)果發(fā)生.，來描述這個隨機試驗的結(jié)果。如果甲結(jié)果發(fā)生的概率為p,則乙結(jié)果發(fā)生的概率必定為1P,所以兩點分布的分布列為:n10PP1 p均值為E=p,方差為D=p (1 p)。(2)超幾何分布重復(fù)進(jìn)行獨立試驗，每次試驗只有成功、失敗兩種可能，如果每次試驗成功的概率為p,重復(fù)試驗直到出現(xiàn)一次成功

10、為止，則需要的試驗次數(shù)是一個隨機變量，用E表示，因此事件 E,n-1=n表示 第n次試驗成功且前n1次試驗均失敗。所以pU = n )= p父(1 - p )，其分布列為:12nPpp(1 -p)p(1 - p 尸(3)二項分布如果我們設(shè)在每次試驗中成功的概率都為巳則在n次重復(fù)試驗中，試驗成功的次數(shù)是一個隨機變量，用 E來表示，則 E服從二項分布.則在n次試驗中恰好成功 k次的概率為：P(2 =k )=C：pk(1 -p 產(chǎn).二項分布的分布列為:01nPC：p0(1 -pF八11 u守Cnp (1 - p )C：pk(1 -pFC：pn(1-pf記e是n次獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則eB

11、( n , p );其概率LkLCnkpkqrqn-p,。，1,2,，n)。期望 E-np,方差 D e =npq。正態(tài)分布密度函數(shù):1 3f(x)=- e 2；二2二二,均值為Ee =科，方差為D& =仃正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線在X軸的上方，與X軸不相交口（2）曲線關(guān)于直線x =科對稱口（3）曲線在x =時位于最高點。（4）當(dāng)x 科時，曲線上升；當(dāng)x 科時，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸 時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。（5）當(dāng)科一定時，曲線的形狀由（T確定。b越大，曲線越 矮胖”，表示總體越分散；（T 越小，曲線越 瘦高”，表示總體的分布越集中。從理論上講，服從正態(tài)分布

12、的隨機變量的取值范圍是R,但實際上巴取區(qū)間（科-3 b ,科+3b ）外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實際問題中常常認(rèn)為它是不會發(fā)生的。因此，往往認(rèn)為它的取值是個有限區(qū)間，即區(qū)間 （科-3 b , w+3b）,這即實用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫 3 b 規(guī)則。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個規(guī)則進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制。四.【典例解析】題型1 :線性相關(guān)性檢驗例1 .一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y （萬元）與該月產(chǎn)量x （萬件）之間由如下一 組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.

13、752.923.033.143.263.363.501）畫出散點圖；2）檢驗相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；3）求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸 直線方程.解析：i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50 xiyi2.432.2642.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245_ .蘇和工=12 , = =2.8475, U =29.808, U =99.2081

14、 , 7=54.2431)畫出散點圖：y -.31. .2012 U 而2五X2)工鼻斯-I國,精引1川*-12，）r=3J-i= 0.99789154243-12 x - xill 1212(29,808-12x (1/)(99.2081-12x(Z)2)在 相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界彳tro.05=0.5766.635，所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。例4. （2009遼寧文）（本小題滿分12分）某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸（單位：mm的值落在（29.94 , 30.06 ）的零

15、件為優(yōu)質(zhì)品。 從兩個分廠生產(chǎn)的零件中個抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，的結(jié)果如下表：甲廠分處中 86,29.90)口，海9昵W叫l(wèi)u)tlOJOJO 14)i!將敦n6386L_614乙廠:力期(29.86.29.90)39,90,29.9029.9429 曬f29 9M001)poofijo L012971號51二一76IS -J試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；（1）由于以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面 2 M 2列聯(lián)表，并問是否有99%勺把握認(rèn)為 兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異甲廠乙廠合計優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品合計2x附：一 - -2n(niin22 -n12n21)ni 門2 n in 22p(x k)

16、0.05 0.01k 3.841 解 （1）甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為36072%320=64%500500；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為甲廠乙廠合計優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320合計5005001000 _22 1000 (360 180 -320 140)x 二500 500 680 3207.35 6.635,所以有99%勺把握認(rèn)為兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異題型3:獨立的概念及應(yīng)用例5.有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90,0.95和0.95,各抽取一件進(jìn)行檢驗口(1)求恰有一件不合格的

17、概率；(2)求至少有兩件不合格的概率(精確到0.001);解析：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C,(1)P(A)=0.90, P(B)=P(C)=0.95 則 P(A)=0.10,P(B )=P(C )=0.05。因為事件A、B、中目互獨立，恰有一件不合格的概率為：P (A B C ) +P (A B , C) +P ( A - B C)=P (A) P (B) P (C)+P(A) P( B)-P (C) +P(A) p(B) P(C)=2X 0.900.95 X 0.05+0.10 X 0.95 X 0.95 =0.176答：恰有一件不合格的概率為0.176.(2)

18、解法一：至少有兩件不合格的概率為：P (A B C ) +P ( A B C ) +P ( A B C) +P ( A B - C )=0.90 X 0.05 X 0.05+2 X 0.10 X 0.05 X 0.95+0.10 X 0.05 X 0.05 0.012.答：至少有兩件不合格的概率為0.012.解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為：P (A BC) =P (A) P ( B) P (C) =0.90 X 0.95 X 0.95 0.812.由(1)知，恰有一件不合格的概率為0.176,所以，至少有兩件不合格的概率為1-P (A B C)+0.176=1- (0.812+0.176) =

19、0.012.答：至少有兩件不合格的概率為0.012.點評：本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和相互獨立事件概率的計算及運用數(shù)學(xué)知 識解決問題的能力例6. (2009山東卷理)某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品 96 98 100 102 104 106f頻率間距 0*15010.125OJOOq0.0750,050196 98 100 102 104第8題圖凈重的范圍是96, 106,樣本數(shù)據(jù)分組為96, 98), 98, 100),100 , 102), 102, 104),104 , 106,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于

20、100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是().A.90B.75C. 60D.45答案A解析 產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100) X 2=0.300,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于 100克的個數(shù)是36,設(shè)樣本容量為n,36一 二0.300則n，所以n =120，凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為 (0.100+0.150+0.125) X 2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120 X 0.75=90.故選 A.【命題立意】：本題考查了統(tǒng)計與概率的知識，讀懂頻率分布直方圖，會計算概率以及樣

21、本中有關(guān)的數(shù)據(jù).題型4:隨機變量的分布列例7. (2009全國卷H理)(本小題滿分12分)某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核口(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；(I2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)記.表不抽取的3名工人中男工人數(shù)，求一的分布列及數(shù)學(xué)期望。分析 (1)這一問較簡單，關(guān)鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性別無關(guān)。(2)在第一問的基礎(chǔ)上，這一問處理起來也并不困難。_ 1_ 1C4 C6從甲組抽取的工人中恰有1名

22、女工人的概率Cl15(3)的可能取值為0,1,2, 3P( =0)C2c3P( =3)C10C2C10c5C27510c5 一 75P( =1)=c：c6c3c5C228C5 - 75P( =2) =1-P( =0)-P( =1)-P( =3) =3175分布列及期望略.評析：本題較常規(guī)，比 08年的概率統(tǒng)計題要容易。在計算 P(- =2)時，采用分類的方法，用直接法也可，但較繁瑣，考生應(yīng)增強靈活變通的能力。例8.設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整后出現(xiàn)廢品的概率為0.1,而且一旦出現(xiàn)廢品就要重新調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品的數(shù)目不小于5的概率。分析：如果用隨機變量 刀表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù)

23、，而且我們知道一旦出現(xiàn)廢品就重新調(diào)整生產(chǎn)線，所以兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品是連續(xù)出現(xiàn)的，那么隨機變量Y的取值就服從幾何分布，我們在解題時應(yīng)先求出Y的分布列。然后再計算事件含格品數(shù)不小于5”即 Y 5的概率。解析：設(shè)隨機變量Y表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù)，則 Y服從幾何分布， 事件刀=k就表示生產(chǎn)了 k1件合格品，且第k件產(chǎn)品是廢品。容易求得：P(Y =1)=0.1,P(r =2)=(10.1)X0.1=0.09,P(n =3)=(1 -0.1 f 父0.1 =0.081.寫成分布列的形式為:n123456P0.10.090.810.07290.065610.059049題目中要求計

24、算 所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率，即P(r 5),因為事件 Y 5所包含的基本事件為刀=6, Y = 7,，刀= n,，所以有P(叮 5) = P(刀=6)+P(r) =7) + P( y) =n)+ 我們應(yīng)用分布列的性質(zhì)計算上式的值.因為 P(r 5) = 1-P(y 5) = 1- P* =1) + P(y =2)+ P* =3)+P(y =4)+P(y =5) = 1 -(0.1 + 0.09 + 0.081 + 0.0729 + 0.06561) = 0.49049, 所以事件兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率為0.49049點評：這是一道綜合例題，包括了分列的計算及分布

25、列的應(yīng)用兩個步驟。該題對于我們鞏固所學(xué)知識，深入了解分布列有很大幫助 題型5:隨機變量的均值例9. (1) (2009湖南卷文)一個總體分為A, B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量10的樣本.已知B層中每個個體被抽到的概率都為12 ,則總體中的個體數(shù)為答案 120解析設(shè)總體中的個體數(shù)為X,貝u x 12x =120.0.618(2) (2009四川卷文)設(shè)矩形的長為 a,寬為b,其比滿足b ： a=2,這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中。下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.63

26、9乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C.兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D.兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定答案 A解析甲批次的平均數(shù)為0.617,乙批次的平均數(shù)為0.613例10.設(shè)離散型隨機變量：可能取的值為1, 2, 3, 4。P(=k) = ak+b(k=i, 2, 3, 4)。又的數(shù)學(xué)期望EE=3,則a+b= ；解析：設(shè)離散性隨機變量，可能取的值為1,234, P(=k)=ak+b(k=1,234

27、 ),所以 (a +b)+(2a +b)+(3a +b) +(4a +b) =1 ,即 10a +4b =1 ,又之的數(shù)學(xué)期望E 3,則(a+b)+2(a + b廣3網(wǎng)b力4a4 b :)即1c1a =,b =03 0a + 10= 310- a+b=10。,點評：均值計算時要根據(jù)公式進(jìn)行簡化計算，從而達(dá)到簡化運算的目的題型6:隨機變量的方差例11.甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為e、Y , e和刀的分布列如下：012012P613P532101010101010試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較。分析：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的

28、平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小解析：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為： TOC o 1-5 h z 613E ； =012 = 0.7101010,262123D ；(0-0.7)2(1 -0.7)2(2 -0.7)2 =0.891101010:工人乙生產(chǎn)出次品數(shù) Y的期望和方差分別為: TOC o 1-5 h z LC 5,3c2 cE=0 12一 =0.7101010,252322D =(0 -0.7)2(1 -0.7)2(2 -0.7)2 = 0.664101010.由Ee =Er知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但 De Dr,可見乙的技術(shù)比 較穩(wěn)定。點評：期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的大小還不夠。如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算方差。方差大說明隨機變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。 題型7:正態(tài)分布例12. 2009全國卷H文)(本小題滿分12分)某車間甲組有10名工