2018考研數(shù)學(xué)瘋狂做真題之高等數(shù)學(xué)三一元函數(shù)積分學(xué)答案

1、第三章一元函數(shù)積分學(xué)【說(shuō)明】（1）所有重難點(diǎn)題目及其方法總結(jié)與結(jié)論補(bǔ)充，“超精講”均有非常詳細(xì)的講解!這也是做最大的收獲，旨在完善知識(shí)體系，對(duì)重要題型及其方法結(jié)論形成完美補(bǔ)充！此處只簡(jiǎn)單，便于大家快速確定自己的對(duì)錯(cuò)；（2）簡(jiǎn)單題目了詳細(xì)（這并不是咱們超精講，也不是沖刺階段的重心所在）大題配套了中心嚴(yán)格評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)！學(xué)會(huì)按標(biāo)準(zhǔn)來(lái)答題.例 1【詳解】應(yīng)選（B）例 2【詳解】應(yīng)選（A）例 3【詳解】應(yīng)選（B）例 4【詳解】應(yīng)選（C）例 5【詳解】應(yīng)選（C）例 6【詳解】應(yīng)選（A）例 7【詳解】應(yīng)選（B）當(dāng)0 x 時(shí)， 0 sin 4ln s i，于是o t ln sin xdx ln cos xdx l

2、n cot xdxc444，故000例 8【詳解】應(yīng)選（D）x 2x2C 或arcsinC ，其中C 為任意常數(shù)例 9【詳解】應(yīng)填2 arcsin2 dx dx arcsin x 2 C2 2)24也可令t x ，則1重要題型二 不定積分的計(jì)算重要題型一 定積分的定義與性質(zhì) dx 2 dt t x i Cn2 ar cs i n C 2 2 ar cs x(4 x)24 t2例 10【詳解】應(yīng)填cotx C ，其中C 為任意常數(shù)l n ( s ixn i n )2dxdcxot si n2 x cot cot1)dxx C 32C ，其中C 為任意常數(shù)ln(例 11【詳解】應(yīng)填例 12【詳解】

3、e) C例 13【詳解】arctan ex1e2 xdx arctan e 2x2 xd (e)2分1 dex earctan e 22 xx4分e (1 e 1 (e2 2注：2 x2 x) arctan ex ) C中缺任意常數(shù)C扣1分6分例 14【詳解】設(shè) x tan u ，則dx sec2 udu1 分duco sudu c o su ( 2 t2aun1)原式=22u sin 2uc os d ( s i un)1 sin2 u3分= arctan(sin u) C5分 arctan C（其中C為任意常數(shù)）x6分1 x2例 15【詳解】2 C1例 16【詳解】設(shè) x tan t ，則

4、xearctan xet tan tdx sec tdt e sin tdt2t33(1 x2 )(1 tan2 t)22又2 et sin tdt etd cos t et cos t et cos tdt et cos t et sin t et sin tdt12故 e sin dt ttsin tco t)C.因此(x 1)exearctan xarctan x 1x1C Cdxe2arctan x3(1 x2 )22其中C 為任意常數(shù).1例 17【詳解】應(yīng)填 (ln x)22arcsin ex例 18【詳解】 ln(11 e) x C2 xex1x2 C例 19【詳解】例 20【詳解

5、】 arcsinx ln xd)dx2分x 26分xx 28分1 x 4 2) 2x C10分3 1例 21【詳解】應(yīng)填124例22【詳解】應(yīng)填 1 sin xsin xf (x) 有一個(gè)原函數(shù)，則 f2x3重要題型三 定積分的計(jì)算 2x222 1 2 0 2 4 1 34例 23【詳解】48例 24【詳解】應(yīng)填例 25【詳解】應(yīng)填1 e1 例 26【詳解】12例 27【詳解】應(yīng)填令t x 1，則11 122212112f (x 1)dx 1 f (t) 2 tet dt (1)dt 0 t 1 2 1121222例 28【詳解】由題意知 f (0) 0 ， f (0) 2 ， f (3) 2

6、 ， f (3) 2 ， f (3) 03(x x) f (x)dx2033| (x x) f (x) (2x 1) f (x)dx200333| (2x 1) f (x)dx (2x 1) f (x) 2f (x)dx00033| 7 (2) 2 2f (x)dx 16 2 f (x) 16 4 2000e2例 29【詳解】應(yīng)填111111d 1 e e e1e222222e2x x x21例 30【詳解】應(yīng)填 ln 32例 31【詳解】應(yīng)填44x t ，則設(shè) 20 x cosxdx 0 2t cos tdx 2t sin t 4t sin tdt|2200| 4t cos t 4cos t

7、dt 4002例 32【詳解】應(yīng)填例 33【詳解】 4ln 2例【詳解】應(yīng)填2xe2a2 x 0e2a121a1114aaa0e 2dxx e2a( 2a 41) 4e422200012解得a 24例 35【詳解】應(yīng)填2 24sin x|21 cos02 32例 36【詳解】應(yīng)填例 37【詳解】 ln(2 2例 38【詳解】ln 2423）13例 39【詳解】應(yīng)填3 2tdt2t|0令t x 2 ，則原式=arctan(t2 9)t3304e2例 40【詳解】應(yīng)填例 41【詳解】應(yīng)填5重要題型四 反常積分的計(jì)算 sec t tan tdtdx令 x sect, dt .dx sect tan

8、tdt,則于是2 2sec t tan t2x x2 11004例 42【詳解】應(yīng)填令 x sin t ，則22 4xdxsin t cos tdtd (cos t)1 arctan(cos t) 2(2 sin2 t) cos t1 cos2 t00(2 x )21 x20012例 43【詳解】應(yīng)填1 d (1 x2 )xdx1 1102=2 (1 0 2例 44【詳解】 1例【詳解】應(yīng)填例【詳解】應(yīng)填例【詳解】應(yīng)填ln 2 ln x 1 ln x ln xd dx ln x dx ln 2(1113例 48【詳解】應(yīng)填 81 1 arctan x 1 1 3112 2 4228例 49【詳

9、解】應(yīng)選（D）例 50【詳解】應(yīng)選（D）例 51【詳解】應(yīng)選（D）例 52【詳解】應(yīng)選（C）6例 53【詳解】應(yīng)選（A）令 x2 t2 u ，則d0 11 d1x2原式x2 f (u) du 0 f (u)du f dx 22 dx2例 54【詳解】應(yīng)填sin x2令 x t u ，則2f (x ) d dx d dx d dxx0 xsin(x t) dt ( sin u )du sin u d2 u sin x2220 x0例 55【詳解】應(yīng)填 xf (x2 )令 x2 t2 u ，則0 d11 d1x2原式x2 f (u) du 0 f (u)du f dx 22 dx22f (x )例

10、 56【詳解】 f (x) (x 1)ex 1例 57【詳解】應(yīng)選（D）例 58【詳解】 2 2 2,), x 0, 例 59【詳解】 f (4 例 60【詳解】應(yīng)選（C）例 61【詳解】例【詳解】應(yīng)填例【詳解】應(yīng)填dx ex 1A xe0000714a例 64【詳解】應(yīng)填e )4aA 1 2 (ea )2 d 1 2 e2a d 14a1e2a20(e4a 1) 4a2200例 65【詳解】應(yīng)填4ln 2 4331A (4x x)dx 2 x dx 4 ln 2 4 ln 2x220112例 66【詳解】應(yīng)填例 67【詳解】xf1f (x) f ( f (x) 211 f (x)x1 2x1

11、11 xf2 (x)xf (x) f ( f (x) ，321 f (x)1 3x2x由數(shù)學(xué)歸納法得 f (x) (n 1, 2,3,).4 分n1 nx于是dx 1 ln(1 n)111 xdx 11S 9 分1 nx nn1 nxnn200 lim 1 ln(1 n) 1故lim nS11 分n nnn例 68【詳解】 f (x) 3 ax2 (4 a)x ， a 52例 69【詳解】 y ax21aax當(dāng) x 0 時(shí)，由，得 x ，y ，故直線(xiàn)OA 的方程為 y 1 a1 a1 a y 1 x2旋轉(zhuǎn)體的體積為8 a2 x21V a2 x4 dx1a 1 a04 分211aa2a25a2x

12、5 | x3 153(1 a)5(1 a)205352a(1 a)2 a2 (1 a)2dV2 (4a a2 ) 2 da15(1 a)5715(1 a)2dV令 0 ，得唯一駐點(diǎn)a 4 ，故a 4 時(shí)體積最大，最大體積為da2V8 分52575124例 70【詳解】 y x x2例 71【詳解】22 245（I）V (2x ) dx (32 a )a1 分15y2a2V2 a 2a 02dy 2 a a a224443 分（II）V V V 4 (32 a5 ) a4125由V 4 a3(1 a) 0 ，得區(qū)間(0, 2) 內(nèi)唯一駐點(diǎn)a 1當(dāng)0 a 1時(shí)，V 0 ；當(dāng)a 1時(shí)，V 05 分因

13、此a 1時(shí)體積最大，最大體積為129 7 分51例 72【詳解】 A e 1 ，V (5e 12e 3)226例 73【詳解】（I）所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 x xaV (a) xa a dx xd aa ln a002x axaaadx aa0 xa ln a ln aln a 09a(ln a 1)（II）V (a) 2ln3 a令V (a) 0 ，得ln a 1，從而a e .當(dāng)1 a e 時(shí)，V (a) 0 ，V (a) 單調(diào)減少；當(dāng)a e 時(shí)，V (a) 0 ，V (a) 單調(diào)增加，2e所以a e 時(shí)V 最小，最小體積為V (e) e2 . ln e 176 24例 74【詳解】V 例 7

14、5【詳解】應(yīng)填 24e y dx 2)ee例 76【詳解】523 z 3aVx x 3 dx 4 分50 6aa a Vy dy8 分y770756 a 3，即 10 3 a3a 7，解得由V 10V710 分yx75例 77【詳解】V 2 ln 2 5 4 例 78【詳解】 1 cos 2x 2 A2V 2 A2 sin2 xdx A2dx 23 分12400由 A 0 ，得x Asin xdx Axd cos xV 2222200 20 A x cos2 cos xdx 2 A28 分010 2 A28 2 A ，所以 A 因?yàn)閂1 V2 ，即10 分42例 79【詳解】 例 80【詳解】

15、因?yàn)?f (x) ， g(x) 在a, b 上連續(xù)，且 g(x) 0 ，由最值定理知 f (x) 在a, b 上有最大值 M 和最小值m ，即m f (x) M故mg(x) f (x)g(x) Mg(x)2 分bf (x)g(x)dx Mbm g(bb(f )x (g )x d x x) dx xM( g，)xm da4 分baaag(x)dxabf (x)g(x)dx由介值定理知存在 a,b，使 ) f (abg(x)dxabb )g(x)dx即f (x)g(x)dx f (6 分aa例 81【詳解】例 82【詳解】例 83【詳解】（I）設(shè) M 與m 是連續(xù)函數(shù) f (x) 在a, b 上的

16、最大值與最小值，即m f( x) M, x a, bb積分性質(zhì)，有m(b a) f (x)dx M (b a) ，a 1 b ab即m f (x)dx M2 分a 1 b ab) 由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點(diǎn) a,b，使得 f (f (x)dxab即f (x)dx f ()(b a)4 分a11（II）由（I）的結(jié)論，可知至少存在一點(diǎn) 2,3，使得3(x)dx )(3 2) ()6 分23又由(2) ( x)dx ) ，知2 3(2對(duì)(x) 在1, 2和2, 上分別應(yīng)用( ) ( 2，) 得日中指定理，并注意到(1) (2) ，( ) (2) (1)0,1 212 11) () (2) 0, 2 ( 39 分 121在1,2 上對(duì)導(dǎo)函數(shù)(x) 應(yīng)用日中值定理，有 ) )( ) 0, ( , ) (1,3)2111 分 1221例 84【詳解】（I）由積分的性質(zhì)知對(duì)任意的實(shí)數(shù)tt 2t 202tf (x)dx t f (x)dx f (x)dx 2f (x)dx2 分0令 s x 2 ，則t 2tt0tf (x)dx f (s 2)ds f (s)ds t f (x