鉛球擲遠(yuǎn)研究報(bào)告數(shù)學(xué)建模

1、-. z.鉛球擲遠(yuǎn)研究目錄一、問(wèn)題的提出.3二、問(wèn)題分析.3三、模型假設(shè).4四、符號(hào)定義.4五、模型建立與求解.4六、模型的評(píng)價(jià).10七、參考文獻(xiàn).10八、附錄.10摘要：本文研究了鉛球擲遠(yuǎn)的問(wèn)題，分析了擲遠(yuǎn)距離和出手速度、出手角度、出手高度的關(guān)系。得出了對(duì)于不同的出手速度，確定的了最正確出手角度，比擬了擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏度。鉛球投擲作為田徑比賽的一個(gè)重要組成工程，投擲距離s(米)的遠(yuǎn)近是教練員和運(yùn)動(dòng)，員最關(guān)心的問(wèn)題。由投擲常識(shí)知道，影響投擲距離遠(yuǎn)近的因素主要有三個(gè): 鉛球出手時(shí)的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。迄今為止，利用物理中運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)研究鉛球

2、投擲運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象比擬多, 而且在研究時(shí)很少考慮出手高度的影響2, 3。通過(guò)建立模型,尋求初速度v、出手角度A和出手高度h三個(gè)因素對(duì)投擲距離s的影響度的大小，從而在訓(xùn)練和比賽中對(duì)運(yùn)發(fā)動(dòng)和教練員有一定的理論指導(dǎo)意義.關(guān)鍵詞： 鉛球擲遠(yuǎn)投擲距離 出手角度靈敏度一、問(wèn)題提出球擲遠(yuǎn)比賽要求運(yùn)發(fā)動(dòng)在直徑2.135m的圓將重7.257kg男子的鉛球投擲在的扇形區(qū)域，如圖1所示。觀察運(yùn)發(fā)動(dòng)比賽的錄像發(fā)現(xiàn)，他們的投擲角度變化較大，一般在38- 45，有的高達(dá)55，建立模型討論以下問(wèn)題：1以出手速度、出手角度、出手高度為參數(shù)，建立鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型。2在此根底上，給定出手高度，對(duì)于不同的出手速度，確定最正確出手角度。

3、比擬擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏性。452.135m圖1：鉛球擲遠(yuǎn)場(chǎng)地二、問(wèn)題分析針對(duì)如何使鉛球擲得最遠(yuǎn)，只需求得鉛球在空中停留時(shí)間以及鉛球在水平方向的速度即可，鉛球投擲后在空中停留的時(shí)間可以憑借鉛球投擲后在垂直方向上先以向上的速度運(yùn)動(dòng)到靜止，再做自由落體運(yùn)動(dòng)落到地面求出?！?】三、模型假設(shè)人的高度和鉛球投擲初速度是一定的，當(dāng)投擲出時(shí)間后，鉛球到達(dá)最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)間在時(shí)刻時(shí)鉛球落地，重力加速度，速度方向與投擲的水平方向所成角為時(shí)，此情況下鉛球落地點(diǎn)與人的距離是。由于空氣阻力對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)的影響非常小，故忽略空氣阻力對(duì)投擲鉛球的影響?！?】四、符號(hào)定義： 人的高度，假設(shè)為1.7m：鉛球投擲初速度：

4、速度方向與投擲的水平方向所成角：下鉛球落地點(diǎn)與人的距離：重力加速度：當(dāng)投擲出時(shí)間后，鉛球到達(dá)最高點(diǎn)：當(dāng)時(shí)間在時(shí)刻時(shí)鉛球落地五、模型建立與求解：5-1.鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡圖形圖2：鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡圖形5-2.鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡圖形示意可求S：由模擬鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡圖形可知，在時(shí)刻鉛球到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)豎直方向上的速度為0。【3】即最高點(diǎn)可設(shè)該拋物線的方程為又又可得給定出手高度下，下鉛球落地點(diǎn)與人的距離5-3.最大相對(duì)應(yīng)的的求解由最終式子可以看出，一個(gè)人投擲鉛球，在能力即初速度一定時(shí)，所投距離只與投擲角度有關(guān)有關(guān)，要看是否有最大值，即要看關(guān)于的函數(shù)式是否有最大值。因?yàn)?，?dāng)然求最小值無(wú)意義，故有極值且為極大值就為的最大值

5、式子即可得：當(dāng)時(shí)投擲距離最遠(yuǎn)。5-4.模型結(jié)果的圖形表示速度v對(duì)應(yīng)的的函數(shù)由可得速度v對(duì)應(yīng)的的函數(shù)圖像。由圖可知，不同的出手速度對(duì)應(yīng)不同的最正確角度，速度不斷增加的時(shí)候，角度趨于45。5-4. 較擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏性研究1.不同速度不同角度下對(duì)應(yīng)的投擲距離2.不同速度不同角度下的S對(duì)V的求導(dǎo)3.不同速度不同角度下的S對(duì)角度的求導(dǎo)由以上三幅圖可以很直觀的看出擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏性之間的關(guān)系。可以看出初速度v、出手角度A因素對(duì)投擲距離s的影響度的大小，從而在訓(xùn)練和比賽中對(duì)運(yùn)發(fā)動(dòng)和教練員有一定的理論指導(dǎo)意義.4.結(jié)論和建議結(jié)論：通過(guò)上述模型分析, 可得出如下結(jié)論: 在最

6、正確出手角度的容差圍, 對(duì)于同一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)而言, 滑步速度是影響投擲距離的最重要的外界因素, 其次是出手高度, 故在訓(xùn)練中應(yīng)注意加強(qiáng)滑步運(yùn)動(dòng)和出手速度的練習(xí); 運(yùn)發(fā)動(dòng)應(yīng)根據(jù)各自的具體情況, 確定與自身相適應(yīng)的最正確拋射角度, 而不必過(guò)分追求最正確理論拋射角。建議：( 1) 選拔投擲鉛球的運(yùn)發(fā)動(dòng)時(shí), 要選身高體壯、爆發(fā)力強(qiáng)的運(yùn)發(fā)動(dòng), 這是因?yàn)楫?dāng)出手角度、出手速度一定時(shí), 身高者其出手高度必然高, 故有助于增加投擲距離。( 2) 加強(qiáng)爆發(fā)力和出手速度的訓(xùn)練, 有利于提高投擲距離。( 3) 為了更好的利用上述結(jié)論作為指導(dǎo), 在日常的投擲訓(xùn)練中應(yīng)注意以下要領(lǐng): 滑步時(shí)應(yīng)低、平、快;過(guò)渡階段隨著左腿低而快

7、地直抵趾板下沿, 推髖側(cè)移, 使鉛球低而遠(yuǎn)的遠(yuǎn)離出手點(diǎn); 最后發(fā)力階段突出向前性。六、模型的評(píng)價(jià)1上面的模型忽略了鉛球在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的空氣阻力的影響，重力加速度隨地域不同的變化，出手高度因運(yùn)發(fā)動(dòng)個(gè)體差異引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式將會(huì)更加準(zhǔn)確，但處理過(guò)程會(huì)變得很復(fù)雜；2鉛球投擲問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，可以應(yīng)用于鐵餅、標(biāo)槍或籃球投籃等投擲問(wèn)題；3該模型可以得出初速度v、出手角度A因素對(duì)投擲距離s的影響度的大小，從而在訓(xùn)練和比賽中對(duì)運(yùn)發(fā)動(dòng)和教練員有一定的理論指導(dǎo)意義.七、參考文獻(xiàn)【1】蕭樹鐵：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育【2】美霞, 嚴(yán)波濤, 吳廷禧. 鉛球投擲最正確出手角度的假設(shè)檢驗(yàn)J. 體育

8、學(xué)院學(xué)報(bào)【3】來(lái)福, 曾文藝 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模M : 師大學(xué)七、附錄Matlab程序：%由角度a和初速度v求最大投擲距離%function f = fun_s(a,v)f =(2.*1.7.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./2/9.8).2).0.5+v.*v.*sin(2*a)./2./9.8;%不同速度 不同角度下的S 對(duì) 角度 的求導(dǎo) 函數(shù)文件%function f = fun_da(a, v)h=1.7;f= .4.*sin(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin(2*a)./9.8)./9

9、.8./sqrt(8*9.8*h.*v.*v.*cos(a).2+v.4.*sin(2*a).2)+v.2.*cos(2*a)./9.8; %f不同速度 不同角度下的S 對(duì) 速度 的求導(dǎo)函數(shù)文件%function f = fun_dv(v, a)w = 4.*1.7.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+v.*v.*v.*sin(2.*a).*sin(2.*a)./9.8./9.8;q = (2.*1.7.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./2/9.8).2).0.5;f = 1/2.*w./q +v.*sin(2*a)./2./

10、9.8;%在給定速度V下，投擲距離S最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的角度f(wàn)%function f = fun_sv(v)f = 1/2*acos(1.7*9.8/(1.7*9.8+v*v)/pi*180;%在假設(shè)運(yùn)發(fā)動(dòng)的身高H為1.7M，重力G為9.8。的情況下，%可得不同速度V時(shí)，到達(dá)投擲距離S最大時(shí)對(duì)應(yīng)的角度a。%fplot(fun_sv,0,100);*label(速度V m/s);ylabel(角度 );title(不同速度下得到最大投擲速度對(duì)應(yīng)的角度值) ;a*is(0 100 0 60 );%-%figure%v = linspace(0,20,100);a = linspace(0,pi/2,100);A,V=meshgrid(a,v);S = fun_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel(速度V m/s);*label(角度 );zlabel(投擲距離);title(不同速度不同角度下的距離) ;a*is(0 pi/2 0 20 0 50);shading flat %-dv = fun_dv(V,A)surf(A/3.14*180,V,dv)*label(角度 );ylabel(速度V m/s);zlabel(不同角度下的dv);title(不同速度不同角度下的S對(duì)V的求導(dǎo)) ;a*is(0 90 0 20 0 3);s