鉛球擲遠(yuǎn)研究報告數(shù)學(xué)建模

1、-. z.鉛球擲遠(yuǎn)研究目錄一、問題的提出.3二、問題分析.3三、模型假設(shè).4四、符號定義.4五、模型建立與求解.4六、模型的評價.10七、參考文獻(xiàn).10八、附錄.10摘要：本文研究了鉛球擲遠(yuǎn)的問題，分析了擲遠(yuǎn)距離和出手速度、出手角度、出手高度的關(guān)系。得出了對于不同的出手速度，確定的了最正確出手角度，比擬了擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度和出手角度的靈敏度。鉛球投擲作為田徑比賽的一個重要組成工程，投擲距離s(米)的遠(yuǎn)近是教練員和運(yùn)動，員最關(guān)心的問題。由投擲常識知道，影響投擲距離遠(yuǎn)近的因素主要有三個: 鉛球出手時的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。迄今為止，利用物理中運(yùn)動學(xué)知識研究鉛球

2、投擲運(yùn)動現(xiàn)象比擬多, 而且在研究時很少考慮出手高度的影響2, 3。通過建立模型,尋求初速度v、出手角度A和出手高度h三個因素對投擲距離s的影響度的大小，從而在訓(xùn)練和比賽中對運(yùn)發(fā)動和教練員有一定的理論指導(dǎo)意義.關(guān)鍵詞： 鉛球擲遠(yuǎn)投擲距離 出手角度靈敏度一、問題提出球擲遠(yuǎn)比賽要求運(yùn)發(fā)動在直徑2.135m的圓將重7.257kg男子的鉛球投擲在的扇形區(qū)域，如圖1所示。觀察運(yùn)發(fā)動比賽的錄像發(fā)現(xiàn)，他們的投擲角度變化較大，一般在38- 45，有的高達(dá)55，建立模型討論以下問題：1以出手速度、出手角度、出手高度為參數(shù)，建立鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型。2在此根底上，給定出手高度，對于不同的出手速度，確定最正確出手角度。

3、比擬擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度和出手角度的靈敏性。452.135m圖1：鉛球擲遠(yuǎn)場地二、問題分析針對如何使鉛球擲得最遠(yuǎn)，只需求得鉛球在空中停留時間以及鉛球在水平方向的速度即可，鉛球投擲后在空中停留的時間可以憑借鉛球投擲后在垂直方向上先以向上的速度運(yùn)動到靜止，再做自由落體運(yùn)動落到地面求出?！?】三、模型假設(shè)人的高度和鉛球投擲初速度是一定的，當(dāng)投擲出時間后，鉛球到達(dá)最高點(diǎn)，當(dāng)時間在時刻時鉛球落地，重力加速度，速度方向與投擲的水平方向所成角為時，此情況下鉛球落地點(diǎn)與人的距離是。由于空氣阻力對鉛球運(yùn)動的影響非常小，故忽略空氣阻力對投擲鉛球的影響?！?】四、符號定義： 人的高度，假設(shè)為1.7m：鉛球投擲初速度：

4、速度方向與投擲的水平方向所成角：下鉛球落地點(diǎn)與人的距離：重力加速度：當(dāng)投擲出時間后，鉛球到達(dá)最高點(diǎn)：當(dāng)時間在時刻時鉛球落地五、模型建立與求解：5-1.鉛球運(yùn)動軌跡圖形圖2：鉛球運(yùn)動軌跡圖形5-2.鉛球運(yùn)動軌跡圖形示意可求S：由模擬鉛球運(yùn)動軌跡圖形可知，在時刻鉛球到達(dá)最高點(diǎn)，此時豎直方向上的速度為0?！?】即最高點(diǎn)可設(shè)該拋物線的方程為又又可得給定出手高度下，下鉛球落地點(diǎn)與人的距離5-3.最大相對應(yīng)的的求解由最終式子可以看出，一個人投擲鉛球，在能力即初速度一定時，所投距離只與投擲角度有關(guān)有關(guān)，要看是否有最大值，即要看關(guān)于的函數(shù)式是否有最大值。因為，當(dāng)然求最小值無意義，故有極值且為極大值就為的最大值

5、式子即可得：當(dāng)時投擲距離最遠(yuǎn)。5-4.模型結(jié)果的圖形表示速度v對應(yīng)的的函數(shù)由可得速度v對應(yīng)的的函數(shù)圖像。由圖可知，不同的出手速度對應(yīng)不同的最正確角度，速度不斷增加的時候，角度趨于45。5-4. 較擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度和出手角度的靈敏性研究1.不同速度不同角度下對應(yīng)的投擲距離2.不同速度不同角度下的S對V的求導(dǎo)3.不同速度不同角度下的S對角度的求導(dǎo)由以上三幅圖可以很直觀的看出擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度和出手角度的靈敏性之間的關(guān)系?？梢钥闯龀跛俣葀、出手角度A因素對投擲距離s的影響度的大小，從而在訓(xùn)練和比賽中對運(yùn)發(fā)動和教練員有一定的理論指導(dǎo)意義.4.結(jié)論和建議結(jié)論：通過上述模型分析, 可得出如下結(jié)論: 在最

6、正確出手角度的容差圍, 對于同一個運(yùn)發(fā)動而言, 滑步速度是影響投擲距離的最重要的外界因素, 其次是出手高度, 故在訓(xùn)練中應(yīng)注意加強(qiáng)滑步運(yùn)動和出手速度的練習(xí); 運(yùn)發(fā)動應(yīng)根據(jù)各自的具體情況, 確定與自身相適應(yīng)的最正確拋射角度, 而不必過分追求最正確理論拋射角。建議：( 1) 選拔投擲鉛球的運(yùn)發(fā)動時, 要選身高體壯、爆發(fā)力強(qiáng)的運(yùn)發(fā)動, 這是因為當(dāng)出手角度、出手速度一定時, 身高者其出手高度必然高, 故有助于增加投擲距離。( 2) 加強(qiáng)爆發(fā)力和出手速度的訓(xùn)練, 有利于提高投擲距離。( 3) 為了更好的利用上述結(jié)論作為指導(dǎo), 在日常的投擲訓(xùn)練中應(yīng)注意以下要領(lǐng): 滑步時應(yīng)低、平、快;過渡階段隨著左腿低而快

7、地直抵趾板下沿, 推髖側(cè)移, 使鉛球低而遠(yuǎn)的遠(yuǎn)離出手點(diǎn); 最后發(fā)力階段突出向前性。六、模型的評價1上面的模型忽略了鉛球在空氣中運(yùn)動時受到的空氣阻力的影響，重力加速度隨地域不同的變化，出手高度因運(yùn)發(fā)動個體差異引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式將會更加準(zhǔn)確，但處理過程會變得很復(fù)雜；2鉛球投擲問題的數(shù)學(xué)模型，可以應(yīng)用于鐵餅、標(biāo)槍或籃球投籃等投擲問題；3該模型可以得出初速度v、出手角度A因素對投擲距離s的影響度的大小，從而在訓(xùn)練和比賽中對運(yùn)發(fā)動和教練員有一定的理論指導(dǎo)意義.七、參考文獻(xiàn)【1】蕭樹鐵：數(shù)學(xué)實(shí)驗，高等教育【2】美霞, 嚴(yán)波濤, 吳廷禧. 鉛球投擲最正確出手角度的假設(shè)檢驗J. 體育

8、學(xué)院學(xué)報【3】來福, 曾文藝 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模M : 師大學(xué)七、附錄Matlab程序：%由角度a和初速度v求最大投擲距離%function f = fun_s(a,v)f =(2.*1.7.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./2/9.8).2).0.5+v.*v.*sin(2*a)./2./9.8;%不同速度 不同角度下的S 對 角度 的求導(dǎo) 函數(shù)文件%function f = fun_da(a, v)h=1.7;f= .4.*sin(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin(2*a)./9.8)./9

9、.8./sqrt(8*9.8*h.*v.*v.*cos(a).2+v.4.*sin(2*a).2)+v.2.*cos(2*a)./9.8; %f不同速度 不同角度下的S 對 速度 的求導(dǎo)函數(shù)文件%function f = fun_dv(v, a)w = 4.*1.7.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+v.*v.*v.*sin(2.*a).*sin(2.*a)./9.8./9.8;q = (2.*1.7.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./2/9.8).2).0.5;f = 1/2.*w./q +v.*sin(2*a)./2./

10、9.8;%在給定速度V下，投擲距離S最大時，對應(yīng)的角度f%function f = fun_sv(v)f = 1/2*acos(1.7*9.8/(1.7*9.8+v*v)/pi*180;%在假設(shè)運(yùn)發(fā)動的身高H為1.7M，重力G為9.8。的情況下，%可得不同速度V時，到達(dá)投擲距離S最大時對應(yīng)的角度a。%fplot(fun_sv,0,100);*label(速度V m/s);ylabel(角度 );title(不同速度下得到最大投擲速度對應(yīng)的角度值) ;a*is(0 100 0 60 );%-%figure%v = linspace(0,20,100);a = linspace(0,pi/2,100);A,V=meshgrid(a,v);S = fun_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel(速度V m/s);*label(角度 );zlabel(投擲距離);title(不同速度不同角度下的距離) ;a*is(0 pi/2 0 20 0 50);shading flat %-dv = fun_dv(V,A)surf(A/3.14*180,V,dv)*label(角度 );ylabel(速度V m/s);zlabel(不同角度下的dv);title(不同速度不同角度下的S對V的求導(dǎo)) ;a*is(0 90 0 20 0 3);s