3關(guān)于三維調(diào)和向量場的完備的數(shù)學(xué)觀念

1、第五節(jié)關(guān)于三維調(diào)和向量場的完備的數(shù)學(xué)觀念內(nèi)容提要：隨便翻開一本流體力學(xué)教科書，便可發(fā)現(xiàn)在那里只給出了二維流函數(shù)的解析表達(dá)式。關(guān)于三維流函數(shù)只有它所滿足的偏微分方程而未能給岀三維流函數(shù)的解析表達(dá)式。有些學(xué)者（例如,J.貝爾）企圖解決三維流函數(shù)問題，但是由于缺乏應(yīng)有的數(shù)學(xué)工具而不得要領(lǐng)。在超變函數(shù)論產(chǎn)生后，就為三維向量場的完備理論提供了新的數(shù)學(xué)工具。本文將應(yīng)用這些新的數(shù)學(xué)工具重點(diǎn)對(duì)J.貝爾（多孔介質(zhì)流體力學(xué)的作者）的理論提出修正的意見，并且由此引發(fā)出三維調(diào)和向量場的完整理論的數(shù)學(xué)觀念：場中存在三個(gè)度（散度、旋度、副沖量度）；三個(gè)函數(shù)（勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)、副沖量函數(shù)）；三個(gè)曲線（流線、渦旋線、副沖量線）

2、；由等勢(shì)面族、等流面族及等副沖量面族構(gòu)成了三維向量場中的“屋式網(wǎng)格”（由正交的曲面圍成的六面體），它對(duì)研究三維向量場的意義就如同用“流網(wǎng)”研究二維向量場一樣的重要。關(guān)鍵詞：勢(shì)函數(shù)，流函數(shù)，副沖量函數(shù)，比流量及比流量勢(shì)，比勢(shì)量，比沖量分類號(hào)：0174前言目前數(shù)學(xué)上關(guān)于三維向量場的認(rèn)識(shí)存在工具上的不足而難得深入和全面。人們借助于多種工具企圖去解決三維向量場的諸般問題。但是，只要認(rèn)識(shí)不到在三維向量場中存在副沖量度vdbiA及相應(yīng)的副沖量函數(shù)，對(duì)三維向量場的認(rèn)識(shí)就不會(huì)是完備的。我們?cè)谶@里先提出一個(gè)對(duì)稱性原則。就是說，二維向量場有散度和旋度；這兩個(gè)度分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)（共軛）調(diào)和函數(shù)，即流函數(shù)和勢(shì)函數(shù);流函數(shù)

3、和勢(shì)函數(shù)又滿足基于“二元數(shù)”上的復(fù)變函數(shù)的解析（C-R）條件，這就是我們所說的對(duì)稱性；到了三維向量場這里，理應(yīng)存在三個(gè)度及三個(gè)相應(yīng)的函數(shù)。而且，這三個(gè)函數(shù)理應(yīng)滿足基于“三元數(shù)”上的超變函數(shù)的解析條件，如此才是對(duì)稱的。但是，目前數(shù)學(xué)對(duì)三維向量場的上述的對(duì)稱性尚未認(rèn)識(shí)清楚。在下面的行文中，我們將從數(shù)學(xué)上給出三維向量場的完備理論。在那里，現(xiàn)實(shí)與宇宙通則是和諧的。本文重點(diǎn)討論了三維調(diào)和向量場的“屋式網(wǎng)格”，它是二維調(diào)和向量場的“流網(wǎng)”概念的推廣?！拔菔骄W(wǎng)格”是超變函數(shù)論在物理學(xué)的應(yīng)用上的重要結(jié)果，在其上可以對(duì)三維向量場作全面的研究。應(yīng)該說，我們的工作得益于J.貝爾先生的研究成果，是從J.貝爾成果中吸取

4、了其合理因素才引出了“屋式網(wǎng)格”的概念。不同的是在J.貝爾先生那里缺少副沖量函數(shù)的概念。此外，由于副沖量度的存在，使我們得以揭示湍流的形成機(jī)理；還可使我們有理由在麥克斯威電磁（微分）方程組中補(bǔ)充與坡印亭向量的副沖量度有關(guān)的概念，從而可以給出“波粒二重性”的統(tǒng)一表達(dá)。對(duì)此，我們將在以后時(shí)間里與數(shù)學(xué)、物理界的學(xué)者進(jìn)一步地共同研究這個(gè)課題。1.二維向量場在數(shù)學(xué)上是完備的這說明Adx+Ady是勢(shì)函數(shù)xy設(shè)有二維向量場A=Axi+Aj在平面某區(qū)域內(nèi)，rotA=4x=0時(shí),QxQy*(x,y=fMAdx+Ady的全微分。因而有M0 xyQyy1）QAQA當(dāng)在該區(qū)域內(nèi),divAx+a=0時(shí)QxQy這說明Ad

5、x+Ady是流函數(shù)yx屮(x,y=fMAdx+Ady的全微分。因而有M0y些A,Qxy互-AQyx2）3）Q申_Q屮Qx比較（1），（2）于是可知，在無源無旋平面向量場中，可由rotA_0得出勢(shì)函數(shù)*（x,y），又可由TWS-WW8SdW8STWWdivA_0得出流函數(shù)屮（x,y）且流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)是共軛調(diào)和函數(shù)。換句話說，在平面（調(diào)和）向量場中，存在有流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，它們滿足復(fù)變函數(shù)論中的C-R條件。在這里表現(xiàn)出復(fù)變函數(shù)論與場論的密切聯(lián)系。等勢(shì)線-C-c，和流函數(shù)線屮-k,屮-k.，構(gòu)成平面流動(dòng)的特征網(wǎng)，即流1212網(wǎng)。在流網(wǎng)上，可以得到dydy（dxh（臥打_k_-1，也就是說流線與等勢(shì)線在

6、它們的交點(diǎn)處是正交的（圖1）。根涺不可壓縮理想流體的平面無旋流動(dòng)中，動(dòng)能、壓力差、位勢(shì)能之和恒定的原理，將流函數(shù)和速度勢(shì)結(jié)合運(yùn)用，可以分析流速、壓力平面的分布規(guī)律。又由于流函數(shù)及速度勢(shì)函數(shù)都滿足垃普垃斯方程(即為調(diào)和函數(shù))，而調(diào)和函數(shù)滿足線性疊加性，故簡單的平面無旋流動(dòng)可以疊加為復(fù)雜的平面無旋流動(dòng)。由于(3)的關(guān)系，平面向量場又可借用復(fù)變函數(shù)論的方法處理向量方法難于處理的問題，例如：保角映射，邊值問題。如此，研究二維向量場的數(shù)學(xué)工具就很完善了。2。三維向量場的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)設(shè)有向量場A=A(x,y,z)i+A(x,y,z),j+A(x,y,z)k，我們?nèi)匀皇褂孟旅娴膶?duì)照xyz表來說明目前關(guān)于三維向量

7、場的理論的不完善性：物理量環(huán)量(r)通量(N)沖量(H)積分形式fAdLLffAndS工fffApdvQrrr引出的積分類型fAdxxfAdyyfAdzzLffAdydzxffAdzdxyffAdxdyzEJJJ(Adz-Ady)dydzyzfff(Adx一Adz)dzdxzxQfff(Ady-Adx)dxdxyQ微分形式rotA=ijkddddxdydzAAAxyzdAdAdAdivA=x+y+z-dxdydzvdbiA=(?)相應(yīng)的定理斯托克斯公式AtdL=JJrotAdSL為ffAHndSdivAdv為QfffAPdv=ffff(?)droQO相應(yīng)的函數(shù)勢(shì)函數(shù)u=JMAdx+Ady+AM

8、0 xyz流函數(shù)dz(?)v=(?)副沖量函數(shù)w=（?）這張表的全部內(nèi)容反映了三維向量場的對(duì)稱性，也可以說是其理論的完備性。我們?cè)诔兒瘮?shù)論與場論的關(guān)系一文中已經(jīng)解決了這些問題，即三維勢(shì)函數(shù)u=JMAdx+Ady+AdzM6xyz6及副沖量函數(shù)w(x,y,z)二J(A-A)dx+(A-A)dy+(A-A)dz4）（5）M0有了勢(shì)函數(shù)和副沖量函數(shù)，yxzyx再根據(jù)超變函數(shù)的解析條件可有下面的（6式）v(x,y,z)=i(M0dwdududw、，zdwdu)dx+(-dydzdzdxdudwdwdu石去)dy+(東dydudw)dz,此即dxdy三維流函數(shù)的解析表達(dá)式（見文獻(xiàn)3）。如果在向量場A中

9、恒有divA=0,rotA=0,vabA=0,則稱此向量場為調(diào)和場。在三維調(diào)和場中勢(shì)函數(shù)u、流函數(shù)V、副沖量函數(shù)w,滿足超變函數(shù)的解析條件（見文獻(xiàn)1及3）dvdwdwdvdydzdydzdwdududwdydzdydzdudvdvdudydzdydzdvdwdwdvddxdzdxdwdududwdzdxdzdxdudvdvdududvdwdwdvdzdxdydxdydv_dwdududwdzdxdydxdydw_dudvdvdudzdxdydxdy7)dxdydzijkdddrotA=dxdydzAAAXYZvdbiAd(A-A)-(A-A)dyYXdzXZ其中dAdAdAdivA_x+y+z

10、i+(A-A)-(A-A)kZYdddxXZdydd(A-A)(A-A)jdzZYdxYX_(8)iddxA-AZYddyAAXZkddzAAYX3。對(duì)三維調(diào)和向量場的完善認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)論與平面向量場的和諧性一到了三維空間就不見了。有的物理學(xué)家甚至宣布說，不存在三維流函數(shù)！但是，人們已經(jīng)看到：應(yīng)用超變函數(shù)論我們不但證明了三維流函數(shù)的存在性，而且給出了三維流函數(shù)的解析表達(dá)式。流體力學(xué)的理論中(就二維平10)面場而論)說，根據(jù)不可圧縮理想流體的平面二維無旋流動(dòng)中動(dòng)能、壓力差、位勢(shì)能之和恒定的原理，再將流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)結(jié)合運(yùn)用，可以分析流速、圧力平面的分布規(guī)律；又說，二維流動(dòng)中通過兩條流線間単位厚度的體

11、積流量等于兩條流線上流函數(shù)之差。可見，有了三維流函數(shù)的解析表達(dá)式，它對(duì)研究流速場的意義是多么重大(見文獻(xiàn)7)。至于，人們尚未使用的副沖量函數(shù)，它對(duì)流體場將有什么作用，就是個(gè)更加有意義的新工具。本文中，作者將使人們看到，三維副沖量函數(shù)的發(fā)現(xiàn)將使關(guān)于“場”的理論發(fā)生原則性的變化。為此，首先我們給出下面的定理。定理1：在某空間單鏈域內(nèi)超變函數(shù)f(Q)二U(x,y,z)+iv(x,y,z)+jw(x,y,z)二u+iv+jW的解析條件(7)與在該域內(nèi)可微的三曲面U(x,y,z)、v(x,y,z)、w(x,y,z)的正交條件等價(jià)。證明：由解析幾何學(xué)知，可微的三曲面u(x,y,z)、v(x,y,z)、w(

12、x,y,z)，保持序向的正交變換的充要條件恰好為解析函數(shù)f(Q)二U(x,y,z)+iv(x,y,z)+jw(x,y,z)二u+iv+jw的解析條件(7)，定理自然得證。這個(gè)定理說明，在三維調(diào)和向量場中存在的流函數(shù)、勢(shì)函數(shù)、副沖量函數(shù)是正交的。換句話說，等流面、等勢(shì)面、等副沖量面三者在三維空間內(nèi)構(gòu)成一組“屋式網(wǎng)格”，構(gòu)成各網(wǎng)格的界面皆正交?，F(xiàn)在，我們將討論這三個(gè)曲面的交線。為此，先看一下J。貝爾在多孔介質(zhì)流體動(dòng)力學(xué)中是如何認(rèn)識(shí)三維流線的。J貝爾認(rèn)為空間流線是兩個(gè)流面九二九(x,y,z)=constX=X(x,y,z)=const的交線。交線上任一點(diǎn)的切線方向即為流速方向(圖2)，這條交線即為流

13、線。它滿足微分方程組9)dxdydz=一AAAxyzdxdydz對(duì)于方程=，J貝爾在多孔介質(zhì)流體力學(xué)(見文獻(xiàn)4)中給出了一個(gè)AAAxyz結(jié)果：創(chuàng)。九dx。九3/3x3y3z3z3y,3y3z3x3x3z33九3/3九3/3z3x3y3y3x(10)式中的是比流量勢(shì)，并且q二-grad，其中，比流量q=grad咒xgrad九=xyz可以發(fā)現(xiàn)（10）式類似于超變函數(shù)的解析條件（7）中的三個(gè)方程：(7-2)(7-5)(7-8)dv_dwdududwTOC o 1-5 h z,dxdydzdydzdv=dwdududwdydzdxdzdxdv=dwdududw,dzdxdydxdy比流量勢(shì)“實(shí)際上就是

14、超變函數(shù)中的流函數(shù)v，在差一個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)比流量就是向量。故，按照我們的符號(hào)，比流量q=-gradwxgradu但是J貝爾認(rèn)為空間流線是兩個(gè)流面九=九（x,y,z）=constX=X（x,y,z）=const的交線。這顯然是個(gè)錯(cuò)誤的的概念。為什么？我們知道，在平面（調(diào)和）流場中，任兩條等流線是不會(huì)相交的；同樣，在三維（調(diào)和）流場中，任意兩等流面也不會(huì)相交。這一明顯的錯(cuò)誤，反映了物理學(xué)的困惑，即目前的流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、電磁力學(xué)等等學(xué)科不知道在三維向量場中存在副沖量函數(shù)，故而才產(chǎn)生了j.貝爾式的錯(cuò)誤。其實(shí)，如果視九=九（X,y,Z）=COnSt為勢(shì)面，X=X（X,y,Z）=COnSt為副沖量面（圖4

15、）就一切都合理起來了。此時(shí)，圖6中J.貝爾流管就應(yīng)是由一對(duì)勢(shì)面和一對(duì)副沖量面圍成.眾所周知，在二維（調(diào)和）流場中由等勢(shì)線和等流線圍成的“流網(wǎng)”（對(duì)研究二維流場的性態(tài)）是個(gè)重要的工具；現(xiàn)在，當(dāng)我們?yōu)槿S（調(diào)和）流場補(bǔ)充了副沖量面后就可以由一對(duì)流面、一對(duì)勢(shì)面和一對(duì)副沖量面圍成“屋式網(wǎng)格”。“屋式網(wǎng)格”必將成為研究三維流場的性態(tài)的重要工具。我們對(duì)J.貝爾理論的開拓性認(rèn)識(shí)就始于這一“屋式網(wǎng)格”。實(shí)際上，“屋式網(wǎng)格”是由三個(gè)管（流管、勢(shì)管及副沖量管）正交而成。J貝爾只研究了流管，現(xiàn)在對(duì)勢(shì)管及副沖量管做相應(yīng)的研究將會(huì)得出什么結(jié)果呢？讓我們對(duì)此作如下的分析：由流體力學(xué)知，渦旋線是這樣一條曲線（在定常流動(dòng)中）

16、：這條曲線上的毎一點(diǎn)的切線與位于該點(diǎn)的流體微團(tuán)的渦量W的方向相同（圖3），其微分方程組為dxdydz=一(11)wwwxyz其中，x為流速場的旋度。圖2圖3W=w(x,y,z)i+w(x,y,zj+w(x,y,z)k圖4由J貝爾的方法，渦線(我們也稱其為勢(shì)線)微分方程組(11)可以給出下列結(jié)果:笫一，渦線是流面與副沖量面的交線；第二，由此可得dudvdwdwdvdxdydzdydzdudvdwdwdvdydzdxdzdxdudvdwdwdvdzdxdydxdy(7-1)(7-4)(7-7)可以引入勢(shì)函數(shù)的梯度向量：P=-gradu，稱p=-gradvxgradw為比勢(shì)量。其實(shí)在相差一個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，

17、比勢(shì)量現(xiàn)在，我們對(duì)流體力學(xué)要補(bǔ)充一個(gè)定義：定義1：副沖量線是這樣一條曲線，這條曲線上的每一點(diǎn)的切線與位于該點(diǎn)的流體微團(tuán)的副沖量度R方向相同(圖2,不過此處視圖中曲線是副沖量線而已)，其微分方程組為dxdydzRRRxyz其中R=vdbiA=R(x,y,z)i+R(x,y,z)j+R(x,y,z)kxyz為流速場的副沖量度。同樣，按J貝爾的方法，由微分方程組(12)可以得出下列結(jié)果:第一，副沖量線是勢(shì)面與流面的交線；第二，由此可得dw_dudvdvdudxdydzdydz(73)12)dw_dudvdvdudydzdxdzdx(76)dw_dudvdvdudzdxdydxdy(79)就是向量可以

18、引入副沖量函數(shù)的梯度向量（并且稱其為比沖量）T=-gradw，其中比沖量T二一graduxgradv。在相差一個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，其實(shí)比沖量就是向量dwdwdwdx內(nèi)dz由以上的敘述，可得定理2：在三維流速調(diào)和場內(nèi)的任一點(diǎn)處存在正交的三條曲線：渦線（或說是勢(shì)線）、流線、副沖量線及比流量、比勢(shì)量、比沖量三個(gè)向量。以上所述是我們對(duì)三維流速場（更一般說是三維調(diào)和向量場）給出的完善的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)場中存在三個(gè)度（散度、旋度、副沖量度），三個(gè)函數(shù)（勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)、副沖量函數(shù)），三個(gè)曲線（流線、渦旋線、副沖量線）。由等勢(shì)面族、等流面族及等副沖量面族構(gòu)成了三維向量場中的“屋式網(wǎng)格”（由正交的曲面圍成的六面體），它對(duì)研究三維

19、向量場的意義就如同用“流網(wǎng)”研究二維向量場一樣的重要。對(duì)J.貝爾理論的修正結(jié)果,即在他給出的比流量概念的基礎(chǔ)上很自然地拓廣出比勢(shì)量、比副沖量的概念，而且自洽而和諧地進(jìn)入超變函數(shù)論的領(lǐng)域。即，由J.貝爾的比流量及拓廣出的比勢(shì)量、比副沖量等概念所得之九個(gè)偏微分方程怡好就是超變函數(shù)的解析條件這不但為三維流場提供了完善的理論，而且又反證了超變函數(shù)論體系的正確性及其廣泛應(yīng)用的實(shí)踐意義?，F(xiàn)在我們將對(duì)“屋式網(wǎng)格”做進(jìn)一步的研究?；貞浺幌掠嘘P(guān)二維向量場的“流網(wǎng)”概念想必是有益的。因?yàn)樵凇傲骶W(wǎng)”上，我們可以分析場中任何一個(gè)局部處的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)以及由它們引出的各樣的物理問題。設(shè)有二維向量場a=ai+AjxyTO

20、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark72 o Current Document ,QAQAc在平面某區(qū)域內(nèi)，rotA=A=0時(shí)，這說明Adx+Ady是勢(shì)函數(shù)申（x,y）= HYPERLINK l bookmark116 o Current Document QxQyxyJMAdx+Ady的全微分，即d=Adx+Ady；Mxyxy0QAQA當(dāng)在該區(qū)域內(nèi)，這說明-Adx+Ady是流函數(shù)yxdivA=+斗=0時(shí)，QxQy即d屮(x,y)=Adx+Ady。yx屮-屮=JM-Adx+Ady的全微分,BAMyx0眾所周知，在二維向量場Ai+Ayj中，穿過場中曲線AB的通量及沿著

21、AB的環(huán)量分別為N=JAdyAdx=Jd=屮屮xyABABr=JAdx+Ady=JdxyBA13)AbAb二一BA我們?cè)凇傲骶W(wǎng)”上（見圖5）繼續(xù)討論上式的意義。設(shè)A、B為兩條流線屮,屮上的兩個(gè)點(diǎn)（為簡化起見，A、B兩點(diǎn)也為等勢(shì)線，上的212兩點(diǎn)），Ab表連結(jié)這兩點(diǎn)的任意曲線弧，則由（13）式知，在無源、無旋場中穿過弧Ab的流量過n=屮-屮；沿著Ab的環(huán)量r=-。也就是說，二維流動(dòng)中兩條流線間BABA單位厚度通過的體積流量就等于該弧兩端點(diǎn)上流函數(shù)值之差；同樣，沿Ab弧上的速度環(huán)量就等于該弧兩端點(diǎn)上速度勢(shì)之差。二維流場中這一和諧的概念，推廣到三維（調(diào)和）向量場時(shí)是否仍然如此地和諧呢？回答是肯定的。

22、j貝爾在多孔介質(zhì)流體力學(xué)中討論了三維流函數(shù)的物理意義。為此，他給出了由四個(gè)流面構(gòu)成的空間流管（見圖6，這里仍保畄原文的各個(gè)記號(hào)）。圖6中陰影部分表空間流管的橫截面（在垂直于流線的曲面上）的面積dS,通過該流管的流量為Q=一口q-dS;dS=dvdpsin9;(As)圖6,grad九=q=grad%grad九|sin9;Q=空厶乜sin29dvd卩dvsin9d卩sin9（As）=_f九zzd咒dX=-A/AX=-（X-X）（咒-x）2121Xx（14）如何評(píng)價(jià)J.貝爾關(guān)于三維流函數(shù)的物理意義的上述觀點(diǎn)呢？前已敘及,在流體不可圧縮的空間內(nèi),任兩流面是不能相交的。因而構(gòu)成三維流管的四張曲面應(yīng)該是一

23、對(duì)等副沖量面w（J.貝爾用的符號(hào)是x,且把它也視為流函數(shù)）和一對(duì)等勢(shì)面u（J.貝爾用的符號(hào)是久，且也把它也視為流函數(shù)）。這與J.貝爾觀點(diǎn)有原則性的差別。J.貝爾是在曲面斜交的情況下做推導(dǎo)的由于J.貝爾不知道在三維向量場中尙存在副沖量函數(shù)，因而就不可能研究三維勢(shì)量管及三維副沖量管及其連帶的物理意義。我們現(xiàn)在是在曲面正交的情況下（在曲線坐標(biāo)系中）給出下面的論述。為此，首先給出如下的定義2：稱由兩等勢(shì)面和兩等副沖量面圍成的管狀體為空間流管；稱由兩等流面和兩等勢(shì)面圍成的管狀體為空間副沖量管；稱由兩等流面和兩等副沖量面圍成的管狀體為空間勢(shì)量下圖中，曲面ABCD及EFGH為一對(duì)等勢(shì)面；曲面ABEF及CDH

24、G為一對(duì)等副沖量面；曲面ADHE及BCGF為一對(duì)等流面。由于這三個(gè)曲面互相正交，故而我們可以如圖示的那樣按排各對(duì)曲面，并且可以選用曲線坐標(biāo)系（圖7）。相互正交；相應(yīng)地，各坐標(biāo)曲面也互相正交。我們用e,e,e依次表示坐標(biāo)曲線上的切線單位向量，其正方向分別指向q,q,q增加的一側(cè)。123123在曲線坐標(biāo)系的有關(guān)結(jié)果中，我們（按下面敘述的需要）摘錄如下的內(nèi)容：數(shù)性函數(shù)U（q,q,q）的挮度gradU在坐標(biāo)曲線q,q,q上的切線單位向量上的投影為123123gradUe1auH3qII,gradU=e21auHdq22,gradU=e31auHaq3315)其中Hi，H2,H3是拉梅（Lame）系數(shù)。

25、1.在正交曲線坐標(biāo)系中，體積單元dV=HiH2Hdqdqdq；面積單元分別為3123dS1=HHdqdq；1212dS2=H2H3dqdq；dS3=H1H3dq1dq32232331313aU2.在曲線q上，對(duì)任一數(shù)性函數(shù)U,有dU=-1aq1dq；同樣可有dU=dq及1aq22dUauaq3dq316)在以上引用的曲線坐標(biāo)知識(shí)后，我們就可以糾正J.貝爾們的錯(cuò)誤，并把相關(guān)的理論加以拓廣。在此要說到的是，今后一切符號(hào)的意義都與超變函數(shù)論中的符號(hào)保持一致。先在圖7的曲線坐標(biāo)系中，重新計(jì)算通過流管（由一對(duì)勢(shì)面ABCD、EFGH及一對(duì)副沖量面ABEF、DCGH圍成）橫截面的流量：N=口qdS；ds=H

26、Hdqdq；331313眾所周知對(duì)任一數(shù)性函數(shù)U,因在坐標(biāo)qi上dq2二dq3-0所以從而dU=QUQsQuQq1dq11QUgradUe1Qq1dU1QUQsHQq11同理,有g(shù)raddU1QUe2QsHQq22gradU=e3dUQs1QUHQq33于是,gradU=QU1QUQUHQq11HQq22HQq33(17)又要注意下列事實(shí)：（1）J.貝爾的q二-gradQ,其中Q為比流量勢(shì);在超變函數(shù)論中q二-gradv，其中v為勢(shì)函數(shù);（2）J.貝爾的Q二-JJqdSS中q=grad咒xgrad九且q指向s的外部（見J.貝爾給JJq-dSS;時(shí)，要求q指向屋（As）出的示意圖（圖6）；而超變

27、函數(shù)論中在做積分Q=（As）式網(wǎng)格內(nèi)部（見后面圖7,卩對(duì)應(yīng)于ee?i，x對(duì)應(yīng)于e蘿2,“對(duì)應(yīng)于ee；卩=工劉）我們說過，應(yīng)視九=九（x,yz）=const為勢(shì)面eu，z=z（兀yz）=Et為副沖量面潛121于是，應(yīng)有比流量q=gradwxgradv（3）式中，dS=eds，而e方向垂直于流面；As表積分曲面為ADHE面32323定理3：在三維調(diào)和場內(nèi)通過“屋式網(wǎng)格”每一格的勢(shì)量等于兩等勢(shì)面的值差與兩副沖量面的值差之積；通過“屋式網(wǎng)格”每一格的副沖量等于兩流面的值差與兩勢(shì)面的值差之積；通過“屋式網(wǎng)格”每一格的流量等于兩流面的值差與兩副沖量面的值差之積。證明1：（仿J.貝爾的（14）式）在我們這里

28、因q=一gradwxgradv，所以Q_UqdS=(As)=JJgradwxgradv-dSS;S;3(As)則由J.貝爾的結(jié)果且考慮我們使用的是正交坐標(biāo)系，那么J.貝爾的|q|=grad別grad九|sin9;grad咒=d九1d卩sin9dS二dvd卩sin9分別對(duì)應(yīng)于我們的（sin9=1）gradwxgradv=|gradw”gradvgradw=e1dw_1dwdeHdq111dv1dve3deH33N=JJ1dWHdqAS311dWdV=.JJdqdqAS313故有1dqdq13dvdq3dV一HHdqdqHdq131333；ds=HHdqdq31313dwdv_-AwAv_(w一w

29、)(v一v)121wv定理的另兩個(gè)結(jié)論同樣可證。證明2：現(xiàn)計(jì)算(gradwxgradv)xdS對(duì)照(17)式gradw1dw1dw1dwe+e+eHdq1Hdq2Hdq3112233gradv_1dv1dv1dve+e+eH1dq11H2dq22H3dq33又,dS_eds231dw1dvgradwxgradv=(-HdqH223dq31dw1dve+(HdqHdq1H332231dw1dvdqHdq3111dwHdq111dv1dw1dve+(Hdq2Hdq3311所以Hdq22dwds21dvHdq)11(gradwxgradv)xdS3dv1dwdqHdq3111dwHdq11dvdS3

30、3Hds3于是q(As)dvAS1dw1HdqHdq33111dwHdq111dvHdq)33HH13dqdq13dwdvdqdq31對(duì)(18)式的往下的計(jì)算使用了二重積分換元法設(shè)兩個(gè)函數(shù)所從，N=ASdwdv)dqdqdqdq131318)讓我，們回憶一下：x二x(u,v),y二y(u,v)在區(qū)城D上有到區(qū)域D的換元積分公式JJf(x,y)dxdy=JJf(x(u,v),y(u,v)D其中，現(xiàn)在,且若故,D，雅可比式J(u,v)黎Tdxdudvdvdq1dq3dwdwdq1dq3Ddwdvdwdv-=dqdqdqdq3113(19)中右端的函數(shù)恒為1.則知,ASdwdvdqdqdqdq31d

31、xdvdydvdudv19)=J(q1,q)d(v,w)d(l,q)13上被積函數(shù)(即左端的函數(shù))也為1dwdv)dqdq=JJdvdw1313Dv申vw申w故N=丁丁dvdw=AVAW=(V-V)(W-W)(20)2121vw(20)式告知，通過“屋式網(wǎng)格”每一格的流量等于兩流面的值差與兩副沖量面的值差之積。同樣方法可以計(jì)算通過副沖量管(由一對(duì)勢(shì)面ABCD及EFGH及一對(duì)流面ADHE、BCGF圍成)中橫截面的沖量：K=一TdS；dS=HHdqdq；222323AS2其中，比沖量T=-graduxgradv沖量AS2K=ddvduwu=AvAu=(V-V)(U-U)(21)2121式中dS=e

32、ds；而e方向垂直于副沖量面；As表積分曲面為ABFE面.21212(21)告知，通過“屋式網(wǎng)格”每一格的副沖量等于兩流面的值差與兩勢(shì)面的值差之積.同樣方法可以計(jì)算，通過“屋式網(wǎng)格”每一格的勢(shì)量等于兩等勢(shì)面的值差與兩副沖量面的值差之積通過勢(shì)量管的勢(shì)量等于構(gòu)成該管的兩等勢(shì)面的值差與副沖量面的值差之積。q=UpdSTdS=(U-U)(W-W)(22)132121AS1式中，p=-gradvxgradwdSdS=eds，而dSe的方向垂直于勢(shì)面；As表積分曲面為EFGH面.1331331以上所述，也就是我們?cè)谒^的“屋式網(wǎng)格”上可以進(jìn)行的全部工作。退化到平面，因勢(shì)量Q、流量N與副沖量函數(shù)無關(guān)，所以可

33、以在(22)式及(20)式中取第二個(gè)因子(W-W)=1。這就與上述的二維向量場的(13)式的計(jì)算結(jié)果一致。這就說21明，上述理論是合理的。例題1：對(duì)給定的向量場如何計(jì)算三個(gè)函數(shù)。設(shè)有向量場A=i+2f+3k,可以檢驗(yàn)該向量場為調(diào)和場。即divA=生+dx絲+=0dydzrotA=iddxAXddyAYkddzAZvdbiA=IddxA-AZYddyA一AXZkddzA一AYX=0于是，u=JMAdx+Ady+Adz=JM6xy6 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document dududxdyw(x,y,z)JM(AM0zmdx+2dy+3dz二x+2y+

34、3zzM6譽(yù)=3；又dz一A)dx+(A一A)dy+(A一A)dz=yxzyxJMdx2dy+dzx2y+z+d，其中M6dwdwdw1-21。從而dxdydzv(x,y,z)JM(M0dwdudydzdudwdwdu)dx+(dydzdzdx+c,其中dudwdwdu石忘)dy+(瓦石dudw凍石)dz=JM(-6-2)dx+(1-3)dy+(2+2)dz-8x-2y+4z+eM6上面三式中的c、d、e為任意常數(shù)。如此，該調(diào)和場的勢(shì)函數(shù)、副沖量函數(shù)、流函數(shù)就求出來了。下面可以知道，這三個(gè)面是正交的。亊實(shí)上，勢(shì)面u、副沖量面及流面的的法向量分別為n=1,2,3、n=1,-2,1n=-8，-2,4，容易驗(yàn)證它們相互正交。