彈性力學(xué)大作業(yè)計算報告

1、*iijAhjnnwntinivrpitv彈性力學(xué)大作業(yè)學(xué)生姓名:指導(dǎo)老師:所屬單位:專題調(diào)研或社會調(diào)查課題名稱：求固支無肋板與加肋板最低階自然頻率山東大學(xué)二O二年五月求夾支圓板最低自然頻率分析報告摘要：通過能量法和Ansys軟件來求一周邊夾支圓板的最小自然頻率，將這兩種方法所得結(jié)果與精確解對比，觀察誤差情況。隨后對圓板加肋，同樣用能量法和Ansys軟件分析此種情況下的最小自然頻率。通過這種計算，熟悉彈性力學(xué)的解題步驟，熟悉matlab和Ansys的功能。關(guān)鍵詞：能量法，Ansys1問題描述設(shè)有圓形薄板，半徑為a,邊界夾支，如圖1所示，作軸對稱自由振動。求最低階自然頻率。沿直徑方向加筋，求最低

2、階自然頻率。圖1：半徑為a的夾支圓形薄板2.能量法求圓板的近似解l=J|=|21求解無肋板的最低階自然頻率211建立坐標(biāo)系與模型該問題為軸對稱問題，如果選取極坐標(biāo)p,屮，因軸對稱則振形函數(shù)及其他各項表達(dá)式將只與r有關(guān)?？梢院喕嬎?。所以建立模型如下：圖2：半徑為a的夾支無肋板模型2.1.2邊界條件數(shù),(w)=0,(dW)=0r=adrr=a軸對稱條件：(型)=0位移邊界條件:drr=0力邊界條件沒有2.1.3振形函數(shù)設(shè)振型型函數(shù)為W=(1-f)2C+C(1-r)+C(1-f)+.a212a23a2顯然滿足邊界條件。214代入方程求解由里茨的理論取W=xCW其中W是滿足邊界條件的設(shè)定函mmmmC

3、是互不依賴的待定系數(shù)。mN=(1-工)2,N=(1-忙)3,N1-r2r2=(1-)n+1=N*(1-)a2n-1a2W=CN+CN+CN112233V=kDJar(，max0dr2)2+()2dr;E=Kw2rdrk，maxmJaW2rdr0要想求得最低階自然頻率,需要滿足方程丄(VQC,maxm-E)=0k,max那么需要求求最大勢能與動能的偏微分QV&maxQCmQEk,maxQCmad2Wd2aw1dWd/QW、_=2兀DJar()+()dr0dr2dr2QCrdrdrQCmmQW=2兀w2mJaWrdroQCm先對C求偏導(dǎo)1avf8,max=2兀DJaac01av8,maxac1d2

4、(Nc+Nc+.Nc)d2N1d(Nc+Nc+.Nc)dNr1_1222dr2竺c+dr21-nn1+11dr2rd2Nd2Nd2N2c+nc)dr22dr2ndr222dr-nn1IdrdrI8,maxac1d2Nd2Nriidr2dr2c+1他線cdrirdrdri1+1(線c+rdr1dN廠dN廠、dN2c+nc)1dr2drndrav8,maxacn由此可以得到一般性公式:av8,maxacjjc+-dNidNjcdr2dr2irdrdridr可得其中代入a(V-E)=0式:,maxk,maxacm(DK-W2mM以Cc12丄0a(r0d2Nd2Nidr2.1dNj+idr2rdrdN

5、d/Wm=JaNNrdri,j0ij_Im假設(shè)飛D，解得即可得到2.1.5Matlab編程及求解用MATlab進(jìn)行編程。然后從對n從1開始取數(shù)，運(yùn)行程序，得出結(jié)果如下:表一無肋板陣型函數(shù)n取不同值時的(rad/s)n的取值最低階的頻率精確解誤差110.328010.221.056%210.217010.220.029%310.215810.220.041%410.215810.220.041%510.215810.220.041%2.2求解加肋板的最低階自然頻率221建立坐標(biāo)系沿直徑方向加筋，該問題仍然為為軸對稱問題，取極坐標(biāo)p，屮，振形函數(shù)及各表達(dá)式將只與r有關(guān)?？梢院喕嬎恪＝⒛Ｐ腿缦拢?/p>

6、圖3：半徑為a的夾支加肋板模型2.2.2邊界條件梁和板具有相同的邊界條件，所以有n位移邊界條件：（w）二0,（dw）二0r=adrr=a軸對稱條件：（型）二0drr=0力邊界條件沒有22.3振形函數(shù)設(shè)梁和板的振型函數(shù)都為W=(1-r)2C+C(1-工)+C(1-匚+a212a23a2顯然滿足邊界條件。2.2.4代入方程同無肋板要求一樣，按無肋板的步驟，我們可以得到最大動能和最大勢能變?yōu)?&maxdr+E1J：(船2dr,Ek,maxW2rdr+22最終推出一般形式dV,maxdC(r+E)dN也C+1虬也Cdr兀Ddr2dr2irdrdridEk,maxdC二2兀2mJaNNC(r+0ijiP

7、A)dr兀m由(V-E)=0得:dCE,maxk,maxmCK=Jaij0M=aNNCrdr（/0iji又因為:D，只需求出o即可:m（r+豈）dNdNC+1虬虬Cdr兀Ddr2dr2irdrdr122.5Matlab編程及求解求解：對n從1開始取數(shù)，運(yùn)行該程序，得出結(jié)果如下:表二加肋板陣型函數(shù)n取不同值時的o(rad/s)n的取值最低階的o19.520329.398439.395349.395159.395069.3950至此，用能量法求解就結(jié)束了3Ansys建模求解3.1求解無肋板最低階自然頻率311建模利用shell63號單元建模，將圓的周邊全部約束住，模擬出固支的情景，隨后用模態(tài)處理得

8、到其最低自然頻率，我們給出參數(shù)如下：a=1m;8=0.1m;E=2x10ii;p=7800kg/m3；卩二0.3D=121肘m=p8模型如下：圖4無肋板Ansys模型312計算結(jié)果表三Ansys求解結(jié)果第一次劃分網(wǎng)格第一次細(xì)化網(wǎng)格第二次細(xì)化網(wǎng)格第三次細(xì)化網(wǎng)格最低階自然頻率248.91249.08249.13249.14隨著網(wǎng)格的細(xì)化，最低階自然頻率趨向于一個定值。大約為249.1432加肋板的最低階自然頻率3.21建模利用shell63號單元建板模型，將圓的周邊全部約束住，模擬出固最低階自然頻率228.69228.84228.88228.89第一次劃分網(wǎng)格第一次細(xì)化網(wǎng)格第二次細(xì)化網(wǎng)格第三次細(xì)化

9、網(wǎng)格支的情景，用Beam3建梁模型，在求解過程中，我們發(fā)現(xiàn)，如果不將線和面進(jìn)行處理的話，得到的最低階自然頻率是不準(zhǔn)備的，因為梁和板之間相當(dāng)于沒有影響。為了模擬真實(shí)場景，我們需要用到NumberiingCtrlsMergeItems命令，將線和面進(jìn)行耦合。隨后用模態(tài)處理即可得到其最低自然頻率。我們給出參數(shù)如下：a=1m;5=0.1m;E=2x10n;p=7800kg/m3；y=0.3;b二0.2;h二0.1;模型如下:圖5加肋板Ansys模型322計算結(jié)果表四Ansys求解結(jié)果同樣，隨著網(wǎng)格的細(xì)化，最低階自然頻率趨向于一個定值228.894.結(jié)果分析41無肋板結(jié)果分析表五無肋板求解結(jié)果分析精確解

10、能量法近似解Ansys解最低階自然頻率249.246249.148249.14與精確解誤差00.039%0.043%由以上求解可知，能量法得到最低階自然頻率為10.2158a210.22D，而精確解答為卡需，所求解非常接近精確解，其誤差僅有0.04%左右。因此所取振型函數(shù)求解四邊夾支的圓板最低階自然頻率非常理想，可以得到滿意的解答。而Ansys的結(jié)果同樣很令人滿意，隨著網(wǎng)格的細(xì)分，Ansys的解逐步趨近于精確解，雖然最后并沒有收斂于精確解，但是其誤差也是很小的，能夠在工程實(shí)際上運(yùn)用。42加肋板結(jié)果分析表六加肋板求解結(jié)果分析能量法近似解Ansys解誤差最低階自然頻率229.126228.890.103%由于沒有精確解，所以只能將能量法近似解和Ansys解進(jìn)行橫向比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，這兩個解是趨于一