專題二-復數(shù)與幾何

1、專題二復數(shù)與幾何一有關(guān)軌跡問題:例1一圓B及圓外一點A,在圓上任取一點Q,以AQ為邊按逆時針作正三角 形AQP,求點P的軌跡.解：如圖:建立復平面，設(shè)圓B半徑為LP、Q分別對應(yīng)復數(shù)為那么均一“冗 = cosF ism 令 33,兀ZQAP =-故點P的軌跡是圓，圓心對應(yīng)的復數(shù)為以。，即22,半徑為L例2復數(shù)編*2*1+2在復平面上分別對應(yīng)點a、B、C,。為復平面的原點.假設(shè)i 22 ,向量。4逆時針旋轉(zhuǎn)90,模變?yōu)樵瓉淼?倍后與向量 重合，求？2；(2)假設(shè)Zi-Z2=2(Zi+q),試判斷四邊形0ACB的形狀.解：向量04逆時針旋轉(zhuǎn)90,模變?yōu)樵瓉淼?倍所得的向量對應(yīng)的復數(shù)為”2i,而OC對

2、應(yīng)的復數(shù)為號+G ,故句+ q = ZiV3 1,1( + -0(-1+ 2i) TOC o 1-5 h z 故2 =曷(-1 +2) = 222 + V3 2V3-1. z2 =+1整理可得：22.(2)v Zi-Z2 = 2(zi + Z2) BA1OC又四邊形0ACB為平行四邊形，四邊形0ACB為菱形.2.復數(shù)的模與輻角求復數(shù)的輻角主值常有兩種方法：利用復數(shù)的三角式，應(yīng)用三角函數(shù)的知識求解.根據(jù)復數(shù)的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解.例3.設(shè)復數(shù)z滿足同=1,求復數(shù)z-2的輻角主值的最大值與最小值。分析：z =1.,.可設(shè)=以)56 + 詬1116(0624) z 2 = cos。2+

3、isinB .設(shè)arg(z - 2) = a,由于cos。 20,-1 sin。 1,“冗3萬故v a 22令y =電 =10 ,那么可先求出J的最值。 cos6-2由 ycos6 - 2y = sine,sine-ycose = -2y,得y/l + y2 sin(0-(p) = -2y(其中織q = y)卜 in(6一夕)| 4 1,| 一 2y 1 +y2 TOC o 1-5 h z 即 4y之 1+y 二 一- tga J。if/7%、/a、7故 arg(z-2)1nhi = ,arg(z-2)max =.oo分析2：由z=L知Z對應(yīng)的點Z在單位圓，+ /=1上，設(shè)A (2, 0),根

4、據(jù)復數(shù)減法的幾何意義，復數(shù)Z 2對應(yīng)的向量是AZ .（如圖）,當射線AZ是圓。的切線時，z-2對應(yīng)的向量分別為A4和AZ2,其中辦, Z.2為切占 八、連接OZi,那么OZ_LAZ,可知AQ4Z1為直角三角形.由岡=1,網(wǎng)=2,/ 一、5/r/ 一、7故 arg（z-2）1nhi =-,arg（z-2）max =- oo例 4 .設(shè) A = |z| |z + Vl| ijn z| |z| l,z e C,求A中輻角主值最大的復數(shù)z.解：.滿足|z + Jit1的點在以（一痣,0）為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)（包括圓周），滿足1的點在單位圓內(nèi)，（包括圓周），.A對應(yīng)如圖兩圓共同局部.5%5%V2 V

5、2 . 1 22V2 V2 . 1 22例 3 假設(shè) Z1*2 EC，求證：曷-Z2 = 1-Zi -Z2成立的充分必要條件是，卜中至少有一個是I.證明：必要性： Z2Q -JQ )=(1 乜2)(1-號 Z2)根據(jù)互為共朝的復數(shù)間關(guān)系有：Q1 一 2 kl _ 2 )= (1 _ 芍2 )(1 _ Z1 2 )化簡整理得：Zi - Z1 + z2 z2 =l + z1z2-z1 -z2A中輻角主值最大的復數(shù)P點對應(yīng)的復數(shù)z = cos + isin 44/.曷、z2至少有一個為1。充分性：以上過程均可逆。 結(jié)論成立。常用到的與復數(shù)的模相關(guān)的結(jié)論：(1) Z Z =| Z I =1 Z I(2

6、)zrz2 H zj-lzj n|z|二|z|(wN)|為二國0 wO)Z2 匕 III Zi |-匕 | Zj +Z2 1szi l + 匕 |I z |=|, - za z- zbi z(z = a + bi)| z( + z2 |2 + | z, - z2 |2= 21|2 +2 | z2 |2 .例5 某草場上有寶.取寶法如下：該草場上原有一株橡樹、一株松樹、一個 絞架.從絞架走到橡樹，記住步數(shù)，向右拐90走同樣多步打個樁.然后回到絞架那里, 再走到松樹，記住步數(shù)，向左拐90走同樣多步，又打一個樁.在這兩個樁正中挖掘， 可以得寶。年久日長，草場上絞架已經(jīng)風化，渺無蹤跡，但是橡、松二樹猶

7、存.問應(yīng) 如何取寶.解：取草場為復平面，以兩棵樹所在的直線為實軸，以兩棵樹連線的中點為原點。， 建立如下圖的坐標系，設(shè)A、B為橡、松二樹，其坐標分別為(-1, 0), (1, 0).令點Z表示絞架，Zi、Z2、Z。分別表示第一個樁、第二個樁以及兩樁的中點他們對應(yīng)的復數(shù)分別表示為Z, Z1, Z2, Zo.他們對應(yīng)的復數(shù)分別表示為Z, Z1, Z2, Zo.由復數(shù)減法的幾何意義，知AZj對應(yīng)的復數(shù)為Z1+1 ; 5Z1對應(yīng)的復數(shù)為依照乘法的幾何幾何意義，知AZ1可由AZ逆時針旋轉(zhuǎn) 90得到.Z1+l = (z + l)i,即 Z1=-1+(Z+I)i同理，Z2 =l-(z-l)l其中點Zo對應(yīng)的

8、復數(shù)為zt + z2 .即Zo為虛軸上的點i.所以，不管絞架位置在哪兒，寶的位置總對應(yīng)虛軸上相應(yīng)于復數(shù)為 的那一點, 故寶可取.例6某人在寬大的大草原上自由漫步，突發(fā)如下想法：向某一方向走1km后向左轉(zhuǎn)30,后向前走1km后向左轉(zhuǎn)30,如此下去，能回到出發(fā)點嗎？解：以出發(fā)點作為坐標原點0,走第一個1km時所沿的直線作為Ox軸，建立如圖所 示的復平面.那么，第一個1km的終點A對應(yīng)的復數(shù)是1,第二個1km的終點B對應(yīng)的復數(shù)是1+( cos30+isin30 ),第三個1km的終點C對應(yīng)的復數(shù)是 l+(cos30 + z sin 30) +(cos 60 + isin60).如此下去，走第個1km時所到達的點對應(yīng)的復數(shù)是1+(cos30 + isin30 ) + (cos60 + zsin60) + + cos(- 1)30 + zsin(n-l)30,即 l+(cos30 +zsin30) +(c