數(shù)量積向量積混合積課件

1、*三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積 數(shù)量積 向量積 *混合積 第八章 一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1. 定義設向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積(點積) .引例. 設一物體在常力 F 作用下, 位移為 s ,則力F 所做的功為記作故2. 性質為兩個非零向量,則有3. 運算律(1) 交換律(2) 結合律(3) 分配律事實上, 當時, 顯然成立 ;例1. 證明三角形余弦定理證: 如圖 . 則設4. 數(shù)量積的坐標表示設則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式 , 得例2. 已知三點 AMB . 解:則求故為 ) .求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度

2、例3. 設均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內流過的體積:的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例. 設O 為杠桿L 的支點 ,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力1. 定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,稱引例中的力矩思考: 右圖三角形面積S2. 性質為非零向量, 則3. 運算律(2) 分配律(3) 結合律(證明略)證明:4. 向量積的坐標表示式設則向量積的行列式計算法( 行列式計算見上冊附錄I: P355P358 ) 例4. 已知三點角形

3、ABC 的面積 . 解: 如圖所示,求三一點 M 的線速度例5. 設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉, 導出剛體上 的表示式 . 解: 在軸 l 上引進一個角速度向量使其在 l 上任取一點 O,作它與則點 M離開轉軸的距離且符合右手法則的夾角為 , 方向與旋轉方向符合右手法則 ,向徑*三、向量的混合積1. 定義已知三向量稱數(shù)量混合積 .記作幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2. 混合積的坐標表示設3. 性質(1) 三個非零向量共面的充要條件是(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)例6. 已知一四面體的頂點4 ) , 求該四面體體積 . 解: 已知四面體的體積等于以向

4、量為棱的平行六面體體積的故例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、四點共面, 求點 M 的坐標 x、y、z 所滿足的方程.解: A、B、 C、M 四點共面展開行列式即得點 M 的坐標所滿足的方程AM、AB、AC 三向量共面即內容小結設1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積:叉積:混合積:2. 向量關系:思考與練習1. 設計算并求夾角 的正弦與余弦 .答案:2. 用向量方法證明正弦定理:證: 由三角形面積公式所以因P23 2, 3 , 4 , 8, 9 , 10 , 12第三節(jié) 作業(yè)(3-6)備用題1. 已知向量的夾角且解：在頂點為三角形中, 求 AC 邊上的高 BD

5、.解：三角形 ABC 的面積為 2.而故有 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即附錄：二階與三階行列式主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算11a三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.三階行列式的計算.列標行標對角線法則注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式例如余子式與代數(shù)余子式在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法則例如行列式的性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等.行列式 稱為行列式 的轉置行列式. 記性質2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有 性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.推論行列式的某一行（列）中所有元素的