圓錐曲線的綜合問(wèn)題(一)詳細(xì)解析版

1、圓錐曲線的綜合問(wèn)題 （ 一） 詳細(xì)解析版圓錐曲線的綜合問(wèn)題（一）最新考綱 1. 掌握解決直線與橢圓、 拋物線的位 置關(guān)系的思想方法； 2. 了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng) 用；3. 理解數(shù)形結(jié)合的思想1. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線 l 與圓錐曲線 C的位置關(guān)系時(shí)， 通常將 直線 l 的方程 AxByC0（A，B 不同時(shí)為 0） 代入圓錐曲線 C的方程 F（x，y）0，消去 y（ 也 可以消去 x）得到一個(gè)關(guān)于變量 x（或變量 y） 的一 元方程，AxByC 0，F(xiàn)（x，y）0消去 y，得 ax1 2 bxc0.（2） 當(dāng) a 0，b0 時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則 直線 l 與圓錐曲線 C 相交，

2、且只有一個(gè)交點(diǎn)， 此 時(shí)，若 C為雙曲線， 則直線 l 與雙曲線的漸近線 的位置關(guān)系是平行； 若 C為拋物線， 則直線 l 與 拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合 .2. 圓錐曲線的弦長(zhǎng) 設(shè)斜率為 k（k0） 的直線 l 與圓錐曲線 C相交于 A，B兩點(diǎn)， A（x1，y1） ，B（x2，y2），則| AB| 1k2| x1 x2| 1k2 （x1x2）2 4x1x21 k12 | y1 y2| 題精講（考點(diǎn)分析）考點(diǎn)一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【例 1】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓22C1：a2b21（ab0） 的左焦點(diǎn)為 F1（ 1，0） ， 且點(diǎn) P（0 ，1）在 C1上.

3、（1） 求橢圓 C1 的方程；（2） 設(shè)直線 l 同時(shí)與橢圓 C1 和拋物線 C2：yx所以橢圓 C1 的方程為 2y21.（2） 由題意可知，直線 l 的斜率顯然存在且不等 于 0，設(shè)直線 l 的方程為 y kx m，4x 相切，求直線 l 的方程 .解 （1） 橢圓 C1的左焦點(diǎn)為 F1（ 1，0），c1， 又點(diǎn) P（0 ，1）在曲線 C1上，01a2b21，得 b 1，則 a b c 2，2 x2 2 由 2 y2 ykxm1，2 2 2消去 y，得（12k2）x24kmx2m220.因?yàn)橹本€ l 與橢圓 C1 相切，所以1 16k2m24（1 2k2）（2 m22） 0. 整理得 2k

4、2m210. y 4x ，由 yyk4xx，m消去 y，得 k2x2（2km4）xm20.因?yàn)橹本€ l 與拋物線 C2 相切， 所以2（2km4） 24k2m20，整理得 km1. 22 k ， k 綜合，解得 2 或 m 2m 2.所以直線 l 的方程為 y 22x 2或 y 22xx），規(guī)律方法 研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組 成的方程組解的個(gè)數(shù)，消元后，應(yīng)注意討論含x2 項(xiàng)的系數(shù)是否為零的情況， 以及判別式的應(yīng)用 但對(duì)于選擇、 填空題要充分利用幾何條件， 用數(shù) 形結(jié)合的方法求解 .【訓(xùn)練 1】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) M到 點(diǎn) F（1

5、，0） 的距離比它到 y 軸的距離多 1. 記點(diǎn) M的軌跡為 C.（1） 求軌跡 C的方程；（2） 設(shè)斜率為 k 的直線 l 過(guò)定點(diǎn) P（ 2，1），若 直線 l 與軌跡 C 恰好有一個(gè)公共點(diǎn)， 求實(shí)數(shù) k 的 取值范圍.解 （1） 設(shè)點(diǎn) M（x，y） ，依題意 |MF| |x| 1， （x1）2y2|x| 1，化簡(jiǎn)得 y22（| x|故軌跡 C的方程為 y2 04x（xx00）.，（2） 在點(diǎn) M的軌跡 C中，記 C1：y24x（x0） ； C2：y 0（ x0）.依題意，可設(shè)直線 l 的方程為 y1k（x2）.由方程組 yy214x，k（x2），y24x，可得 ky24y4（2k1） 0.

6、 當(dāng) k0 時(shí)，此時(shí) y1. 把 y1 代入軌跡 C的1 方程，得 x 4.故此時(shí)直線 l ：y1 與軌跡 C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)14，1.當(dāng) k0 時(shí)，方程的 16（2k2k1） 16（2k1）（ k1） ，設(shè)直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 （x0，0） ，則由 y1k（x2），令 y0，得 x02k1( ) 若 0，由解得 k1.x00，21所以當(dāng) k2時(shí)，直線 l 與曲線 C1沒(méi)有 公共點(diǎn)，與曲線 C2 有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線 l 與軌跡 C 恰好有一個(gè)公共點(diǎn) .2k2k10，0，()若即 2k1解集為 ?.x00，k 0，1綜上可知，當(dāng) k2或 k0 時(shí)，直線 l 與軌跡 C 恰好有一個(gè)公

7、共點(diǎn) .考點(diǎn)二 弦長(zhǎng)問(wèn)題22xy【例 2】 (2016 四川卷 ) 已知橢圓 E：a2b2 1( ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線 l ：y x3 與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T.(1) 求橢圓 E的方程及點(diǎn) T 的坐標(biāo)；（2） 設(shè) O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l 平行于 OT，與橢 圓 E 交于不同的兩點(diǎn) A， B，且與直線 l 交于點(diǎn) P. 證明：存在常數(shù) ，使得| PT| 2| PA| | PB| ， 并求的值.2x 2b，則橢圓 E的方程為 2b22y221.b222xy2 2 1，由方程組 2b2 b2得 3x212x（18 2b2）yx3，0.方程的判別

8、式為 24（b 3） ，由 0，得 b 3，2x 此時(shí)方程的解為 x 2，所以橢圓 E的方程為 62y31. 點(diǎn) T的坐標(biāo)為 （2 ，1）.所以| PA| 2 23mx1 2 123my1 2所以| PA| 2 23mx1 2 123my1 22mx2 3 ， m( m0) ，1由方程組 y 2xm， 可得2m2m yx3，y1 3.2m2m2 8 2所以 P點(diǎn)坐標(biāo)為 2 3 ，1 3 .| PT| 4m4m 12 3 ，x1x2 39m2.設(shè)點(diǎn) A，B的坐標(biāo)分別為 A（x1，y1） ，B（x2，y2）.22 xy 1，22 可得 3x24mx(4 m2 12)6 3 ， 由方程組1y2xm，

9、 0. 方程的判別式為 16（92m2） ，由0，解得 22322.由得 x1x222m2 3 x1，同理| PB| 25 223mx252m2m所以 | PA| | PB| 4 2 3 x1 2 3 x252m22m4223m2223m（x1x2）x1x252m22m24m 4m2 1222433331094 故存在常數(shù) 5，使得 | PT| 2| PA| | PB|. 規(guī)律方法 有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解方法： 涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)關(guān) 系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)； 涉及垂直關(guān)系時(shí)也往 往利用根與系數(shù)關(guān)系、 設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算； 涉 及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題， 可考慮用圓錐曲線的定義

10、 求解.22訓(xùn)練 2】 已知橢圓 xa2yb21（ab0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)1(0 ， 3) ，離心率為 2，左、右焦點(diǎn)分別為 F1( c，0)，F(xiàn)2(c，0).(1) 求橢圓的方程；1(2) 若直線 l ：y 2xm與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以 F1F2 為直徑的圓交于 C，D兩點(diǎn)， 且滿足 | ACBD| 5 4 3，求直線 l 的方程 .b 3，c1解 (1) 由題設(shè)知 ， 解得 a 2，b a2222b a c ，3，c1，22橢圓的方程為 x4 y3 1.(2) 由(1) 知，以 F1F2 為直徑的圓的方程為 x2y2 1，圓心到直線 l 的距離 d2| m| ，由 d1，得| m|1），1），直

11、線 l的方程為y 21x 33或 y 12x b0）ab的右焦點(diǎn)為 F（3 ，0） ，過(guò)點(diǎn) F的直線交 E于 A，B兩點(diǎn). 若 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 （1 ，1） ，則 E的方程 為（）22xyB.3627122 xy A. 4536 122 xy D.1x8y9122 xy C.27181（2） 已知雙曲線2x2y31 上存在兩點(diǎn) M，N關(guān)于直線 y xm對(duì)稱，且 MN的中點(diǎn)在拋物線 y 18x 上，則實(shí)數(shù) m的值為 .解析 （1） 因?yàn)橹本€ AB過(guò)點(diǎn) F（3 ，0）和點(diǎn)（1 ，3，1所以直線 AB的方程為 y2（x3） ，代入橢圓方 程xa2yb21 消去 y，得 a4b x223a2x49a

12、2322a所以 AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a2b20， 1，即 a a22 b242b2，又 a b c ，所以 bc3，a 3 2，選 D.（2） 設(shè) M（ x1，y1） ，N（ x2，y2） ，MN的中點(diǎn) P（ x0，y0） ，2x12y3 1，2則 x22y3 1， x1 x22x0， y1 y22y0， 1由得 （x2x1）（ x2x1） 3（y2y1）（ y2 y1），顯然 x1x2. yx22yx11y2y1x2x13，即 kMNy0 x0 M， N關(guān)于直線 yxm對(duì)稱， kMN 1， m 3my03x0. 又y0 x0m，P 4， 4 ，9m 代入拋物線方程得 196m218 4 ，

13、解得 m0 或 8，經(jīng)檢驗(yàn)都符合 . 答案 (1)D (2)0 或 8 規(guī)律方法 處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法 (1) 點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓 錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有 x1x2， y1 y2，y y 三個(gè)未知量， 這樣就直接聯(lián)系了中 x1x2點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率 . (2) 根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的 方程得到方程組， 化為一元二次方程后， 由根與 系數(shù)的關(guān)系求解 .【訓(xùn)練 3】 設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn) A( 1，0) ，且以直線 x 1 為準(zhǔn)線 .（1） 求拋物線頂點(diǎn)的軌跡 C 的方程； （2） 若直線 l 與軌跡 C交于不同的兩點(diǎn) M，N

14、，且1線段 MN恰被直線 x 2平分，設(shè)弦 MN的垂直 平分線的方程為 ykx m，試求 m的取值范圍 . 解 （1） 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 P（x，y） ，則焦點(diǎn) F（2x 1，y）.再根據(jù)拋物線的定義得 | AF| 2，即（2 x） y 4，2所以軌跡 C的方程為 x2y 1.41（2） 設(shè)弦 MN的中點(diǎn)為 P2，y0 ，M（xM，yM） ，N（ xN， yN） ，則由點(diǎn) M，N為橢圓 C上的點(diǎn)，22可知4xM yM4，224xNyN4.兩式相減，得4（xM xN）（ xMxN） （yMyN）（ yM yN） 0，1將 xMxN2 2 1， yM yN 2y0， xyMxyNk1代入上式得 ky

15、20.xM xNk 2又點(diǎn) P 21，y0 在弦 MN的垂直平分線上，13 所以 m y02k4y0.1 所以 y0 2k m.1由點(diǎn) P 2，y0 在線段 BB上(B，B 為直線 x1 2與橢圓的交點(diǎn)，如圖所示 ) ，所以 yBy0 yB，也即 3 y0 3.3 3 3 所以 m2p，故這樣的直線有且只有兩條 .答案 Bbx2 y2直線 ybax3 與雙曲線 xa2yb21(a0，b0) 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )A.1 B.2 C.1 或 2 D.0解析 因?yàn)橹本€ ybx 3 與雙曲線的漸近線 yabax 平行，所以它與雙曲線只有 1 個(gè)交點(diǎn).答案 A2x2經(jīng)過(guò)橢圓 2 y21 的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜

16、角為A.345的直線 l ，交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，設(shè) O為坐 標(biāo)原點(diǎn)，則 OA OB等于 （）3113或 3D.3解析 依題意，當(dāng)直線 l 經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) （1 ，0） 時(shí)，其方程為 y0tan 45 （x1） ，即 y2x x 1，代入橢圓方程 2y 1 并整理得 3x 44x0，解得 x 0 或 x 3，所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為( )B.782C.2 2562解析 設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y） ，則 d1 2 7x2 242，1x222時(shí)， dmin782.2|xy2| | x2 x2|2答案 B（2017 石家莊調(diào)研 ）橢圓 ax2by21 與直線 y 1x 交于 A，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與

17、線段 AB中點(diǎn)的直線的斜率為 23，則 ba的值為 ()2 3 9 3 2 3A. 2B.233C.923D.2273解析 設(shè) A（ x1，y1） ，B（ x2，y2） ，線段 AB中點(diǎn) M（x0， y0），由題設(shè) kOM .x0 2y2y1）（y2y1）由 ax1by11， 得由 ax22by221，得（x2x1）（ x2x1）y2 y1 2y03x2x1 2x0 2a b.又y2y1x2x11，所以ab 23.答案 A6. 已知橢圓C：22xa2yb21（ab0） ，F(xiàn)（ 2，0）為其右焦點(diǎn)，過(guò) F且垂直于 x 軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為 2. 則橢圓 C的方程為c 2，b2解析 由題

18、意得 b 1，aa2b2c2，a2，解得 ba2，2，22橢圓 C的方程為 x4y21.22答案 x42y221已知拋物線 yax2（ a 0） 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距 離為 2，則直線 yx 1 截拋物線所得的弦長(zhǎng)等 于.11解析 由題設(shè)知 p 2， a .2a412拋物線方程為 y4x2，焦點(diǎn)為 F（0 ，1） ，準(zhǔn)線為 y1.12 y x ， 聯(lián)立 4消去 x，yx1，整理得 y 6y 10，y1y26，直線過(guò)焦 點(diǎn) F，所得弦 |AB| | AF| | BF| y1 1 y218. 答案 822過(guò)橢圓 1x6 y4 1 內(nèi)一點(diǎn) P（3 ， 1） ，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是 解析 設(shè)直

19、線與橢圓交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 兩點(diǎn)，22x2 y216 4由于 A， B兩點(diǎn)均在橢圓上，22x1 y1 故 1， 故16 41，兩式相減得x1 x2)x1x2）16y1y2）（y1y2）40.又 P是 A，B 的中點(diǎn)， x1x26，y1y22，kABy1y2x1x234.3直線 AB的方程為 y14（x3）.即 3x 4y 13 0. 答案 3x4y 130三、解答題22xy設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 E：a2b21（ab0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F1 且斜率為 1 的直線 l 與 E 相交于 A，B兩點(diǎn)，且 | AF2| ，| AB| ，| BF2| 成等差 數(shù)列.（1）

20、求 E 的離心率；（2） 設(shè)點(diǎn) P（0 ， 1） 滿足| PA| | PB| ，求 E 的方 程.解 （1） 由橢圓定義知 | AF2| | BF2| | AB| 4a，4又 2|AB| | AF2| | BF2| ，得 | AB| 3a，l 的方程為 y xc，其中 c a2b2.設(shè) A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，則 A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿yxc，消去 y，化簡(jiǎn)得 （a2b2）x2足方程組 x2 y22 2 1，ab2a2c2 2 2 22a2cxa2（ c2b2） 0，則 x1x2 a2b2 ，x1x2222 a（c b ）22 a b因?yàn)橹本€ AB的斜率為 1，所以| AB| 2|

21、x2x1|，故 a2 2 （x1x2） 的一個(gè)頂點(diǎn)為 A(2 ，0) ，離心率為 2 .1k2） （x1x2）24x1x24x1x2 ，即43aa42abb2 2b2，ca b2所以 E的離心率 eca aab 22.(2) 設(shè) AB的中點(diǎn)為 x1 x2 acx0N（ x0，y0） ，由（1） 知2cc2 a2b2 3 ，y0 x0c3.由|PA| |PB| ，得 kPN1，即y01x01，得 c 3，從而 a3 2，b3.22故橢圓 E 的方程為 1x8y91.22xy已知橢圓 C：a2b21（ab0）直線 yk（x1）與橢圓 C交于不同的兩點(diǎn) M，N.（1） 求橢圓 C的方程；（2） 當(dāng)

22、AMN的面積為3 時(shí)，求 k 的值 .a2，解 （1） 由題意得 c 2，a2222a b c .22解得 b 2，所以橢圓 C的方程為 4 2 1.yk（x1），（2） 由 x2 y2得（12k2）x24k2x2k2 1，4 2 ，40.設(shè)點(diǎn) M，N的坐標(biāo)分別為 （x1，y1） ，（x2，y2）， 則 y1k（x11），y2k（x21） ，4k22k2 4x1x212k2，x1x212k2，所以 | MN| （x2x1） （ y2 y1）2 （1k2）（ 46k2）12k2又因?yàn)辄c(diǎn) A（2 ，0） 到直線 yk（x1）的距離 d|k| ，1k2，所以 AMN的面積為 S21| MN| d|k

23、|142k26k ，|k| 4 6k210由 1 2k23 ，解得 k 1.能力提高x2已知橢圓 4 別為 F1，F(xiàn)2，過(guò) F1 的直線 l 交橢圓于 A，B兩點(diǎn)，若|BF2| |AF2| 的最大值為 5，則 b 的值是（）A.1B. 2C. 32D. 3解析 由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a2，由橢圓的定義，可知 | AF2| | BF2| |AB| 4a 8， 所以| AB| 8(| AF2| | BF2|) 3. 由橢圓的性質(zhì)， 可知過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中， 通徑最 2b2短，即 a 3，可求得 b 3，即 b 3.a答案 D(2016 四川卷 )設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P 是以 F 為焦點(diǎn)的拋物

24、線 y22px( p0)上任意一點(diǎn)， M是線段 PF上的點(diǎn)，且 |PM| 2| MF| ，則直線 OM的斜率的最大值是 (A.3B.3C.D.1即 x0解析 如圖所示，設(shè) P( x0，y0)( y00) ， 則 y02 2px0，2 y20. 2p.設(shè) M(x，y) ，由PM2MF，得 xx02 2px ，yy02（0y），px0解之得 x 3，且 y y3.y02p直線 OM的斜率kxpy02p2yp2p y0 y0又 y02p 2 2p，當(dāng)且僅當(dāng) y0 2p 時(shí)取等號(hào) . y0k22p2p 22，則 k 的最大值為 22. 答案 C設(shè)拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l ，P 為 拋物線上一點(diǎn)， PAl ，A 為垂足 . 如果直線 AF 的斜率為 3，那么 |PF| .解析 直線 AF的方程為 y 3（ x2） ，聯(lián)立xy2，3x2 3，得 y4 3，所以 P（6 ，4 3）.由拋物線的性質(zhì)可知 |PF| 628.答案 8已知拋物線 C：y22px( p0) 的焦點(diǎn)為 F，直線 y 4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P，與 C的交點(diǎn)為 Q， 5| QF| 4| PQ|.(1) 求 C的方程；(2) 過(guò) F 的直線 l 與 C相交于 A，B兩點(diǎn)，若 AB 的垂直平分線 l 與 C相交于 M，N兩點(diǎn)，且