勾股定理知識(shí)講解

1、勾股定理知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)重點(diǎn)是利用計(jì)算面積和拼圖的方法探究并驗(yàn)證勾股定理借助三角形三邊關(guān)系來(lái)推斷一個(gè)三角 形是否是直角三角形。難點(diǎn)是各種拼圖的理解和勾股定理的應(yīng)用。中考執(zhí)占.I 口 J、八、主要考察勾股定理及直角三角形判定條件的應(yīng)用和勾股數(shù)常及三角形其他知識(shí)結(jié)合考察。一，探究勾股定理：1.勾股定理（重點(diǎn)）內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：假如直角三角形的兩直角邊分別為,1 ,斜邊為c ,那么書W即：直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方注：勾股定理提示的是直角三角形三邊關(guān)系的定理，只運(yùn)用及直角三角形。運(yùn)用勾股定理時(shí)首先確定最長(zhǎng) 邊即斜邊。（難點(diǎn)）勾質(zhì)

2、定理的證明方法許多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變依據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一:6Z)2 =（）和鈍角三角形+C的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必需明白所考察的對(duì)象是直角三角形 （重點(diǎn)）直角三角形的隨意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在 zMfiC中，那么c=433知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系?？蛇\(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題不能直接用勾股定理解決問(wèn)題可通過(guò)添加協(xié)助線轉(zhuǎn)化為直角三角形在用勾股定理，勾股定理的應(yīng)用題型：折疊問(wèn)題中的應(yīng)用；測(cè)量問(wèn)題中的應(yīng)用；實(shí)

3、際生活中的應(yīng)用；方案問(wèn)題中的 應(yīng)用。注：勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn) 題.在運(yùn)用勾股定理時(shí)，必需把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么， 以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)展計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加協(xié)助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定 理進(jìn)展求解.5,例1,如圖1是邊長(zhǎng)分別為a , b的兩個(gè)正方形，經(jīng)如圖2所示的割補(bǔ)可以 得到邊長(zhǎng)為c的正方形，且面積等于割補(bǔ)前的兩正方形的面積之和.利用這個(gè)方法可以推得 或驗(yàn)證勾股定理.現(xiàn)請(qǐng)你通過(guò)對(duì)圖2的視察指出下面對(duì)割補(bǔ)過(guò)程的理解不正確的選項(xiàng)是解答：BD.割補(bǔ)2,（2021資陽(yáng)）如圖

4、1,點(diǎn)后在正方形業(yè)以內(nèi)，滿意，必6,法8,那么陰影局部的面積是60c. 16D. 80顆樹(shù)，米，兩吟7卜樹(shù)的樹(shù) lu4小鳥(niǎo)至扁M工”A. 8 米 B. 10 米 C. 12 米 D. 14 米（2021安順）如圖，有兩 一顆高10米，另一顆高4 樹(shù)相距8米.一只鳥(niǎo)從一顆 梢飛到另一顆樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn) 少飛行（）4,如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（1, 4）和（3, 0）,點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A, B, C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)aABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是A. （0, 0） B. （0, 1）C. (0, 2) D. (0, 3)5,如圖是一段樓梯，高BC是3米，斜邊AC

5、是5米，假設(shè)在樓梯上鋪地毯，那么至少須要地毯的長(zhǎng)是（ ）A, 5m B, 6m C , 7m D, 8m6,（2021宜賓）如圖，矩形紙片48中，AD =8,折疊紙片使力8邊及對(duì)角線4。重合，點(diǎn)夕落在點(diǎn)尸處，折痕為力反且小3,那么力夕的長(zhǎng)為（）A. 3 B. 4 C. 5（2021宿遷）如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后綻開(kāi)，折痕為MN,再過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE.假設(shè)AB的長(zhǎng)為2,那么FM的長(zhǎng)為A. 2B. gC. &D. 18,圖甲是我國(guó)古代聞名的“趙爽弦圖 aABC中，假設(shè)直角邊AC=6, BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為 6的直角邊分別向

6、外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車，那么這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí) 線）是（ ）A. 52 B. 48 C. 72 D. 769,.如圖反乂吐，WMO EMBED Equation.DSMT4分別以各邊為直徑作半圓，求陰影局部面積10,如圖中，求AC的長(zhǎng)分析：此題將勾股定理及全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)11,（2021臨沂）如圖，將一張矩形紙片ABCD折疊，使兩個(gè)頂點(diǎn)A, C重合，折痕為FG,假設(shè)AB=4,BO8,那么AABF的面積為.二，肯定是直角三角形嗎？1,直角三角形的判定條件（重點(diǎn)）假如三角形三邊長(zhǎng)”,卜，。滿意那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中,為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形

7、是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形來(lái)確 定三角形的可能形態(tài)，在運(yùn)用這肯定理時(shí)，可用兩小邊的平方和片+及較長(zhǎng)邊的平方作比較，假設(shè)它們相等時(shí)，以口， , c為三邊的三角形是直角三角形；假設(shè)時(shí)，以“，：，,為三邊 的三角形是鈍角三角形；假設(shè)時(shí)，以a , I , c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中0 , , 及Ln?只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如假設(shè)三角形三邊長(zhǎng)口 ， , c滿意,那么以“，, C為三邊的三角形是直角三角形，但是卜為斜邊勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角 形是直角三角形C為正整數(shù)C為正整數(shù)2,勾股數(shù)（難點(diǎn)）

8、能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中,時(shí)，稱。, c為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5； 6,8,10. 5J2J3； 7,*25等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：EMBED Equation.DSMT411為正整數(shù)）;為正整數(shù)）修2號(hào)（NE EMBED Equation.DSMT4 m , n 為正整數(shù)）注：推斷勾股數(shù)的方法：必需滿意占-N?,必需是正整數(shù)，兩者缺一不可。，勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系推斷一個(gè)三角形是否是直角三角形， 在詳細(xì)推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和及最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)展比較，切不可不加思索的用兩邊的平方和及

9、第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.3,例 1,：如圖，ZB=ZD=90 , ZA=60 , AB=4, CI）=2。求：四邊形 ABCD 的面積。2,如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了 一下，覺(jué)察 力廬麻8加，/次除6勿，心9勿，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格考點(diǎn)：矩形的判定分析：此題是數(shù)學(xué)問(wèn)題在生活中的實(shí)際應(yīng)用，所以要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，運(yùn)用直 角三角形的判別條件，驗(yàn)證它是否為直角三角形.4,方案設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用如圖，鐵路A, B兩站相距25km, C, D是兩個(gè)工廠位于鐵路的同側(cè)，其中CA_LAB, DB1AB,且AC=15km,BD

10、=10km1）尺規(guī)作圖，在鐵路AB上找一個(gè)點(diǎn)E建中轉(zhuǎn)站，使得CE二DE,請(qǐng)作這個(gè)點(diǎn)。（作CD的中垂線及AB的交點(diǎn)即為E點(diǎn)）2）此時(shí)中轉(zhuǎn)站E距A站多遠(yuǎn)，懇求出來(lái)。三，勾股定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或詳細(xì)的幾何問(wèn)題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過(guò)逆 定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決.1,確定幾何體上的最短路線1重點(diǎn)）在平面上解決最短路線的依據(jù)是線段的性質(zhì)：在平面上，兩點(diǎn)之間，線段最短，在立體圖形中， 由于有一些面是曲面，兩點(diǎn)間的最短路線就不肯定是兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，故應(yīng)將其綻開(kāi)成平面圖 形，利用平面圖形中線段的性質(zhì)確定

11、最短路線.例，（2021山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm,底面周長(zhǎng)為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm及蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，那么螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為（）cm.【考點(diǎn)】圓柱的綻開(kāi)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形 三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯綻開(kāi)（沿點(diǎn)A豎直剖開(kāi)）后側(cè) 面是一個(gè)長(zhǎng)18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱點(diǎn) B,連接BC交MN于點(diǎn)P,連接BM,過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交剖 開(kāi)線MA于點(diǎn)Do由軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP+PC為螞蟻 到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP二BP。在 RtZkBCD 中,由勾

12、股定理得由和矩形的性質(zhì)，得DC=9, BD=12o.AP+POBP+PC=BC=15,即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15ciiio2,（2009恩施州）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5, 一 /： 九57只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的外表從點(diǎn)A爬到點(diǎn)需要爬行的最短距離是（）： |C!一/ 15%2510p+5D. 352,直角三角形的判別法的應(yīng)用直角三角形的判別法常用于推斷一個(gè)角是否是直角或推斷三邊關(guān)系，解題時(shí)一般需構(gòu)造三角形，再依據(jù)三邊關(guān)系判別該三角形是否為為一邊的平方是否等于其它兩邊的平方和即可.解答：直角三角形的判別法常用于推斷一個(gè)角是否是直角或推斷三邊關(guān)系，解題時(shí)

13、一般需構(gòu) 造三角形，再依據(jù)三邊關(guān)系判別該三角形 是否為一邊的平方是否等于其它兩邊的平方和即可-A B例，如圖正方形ABCD, E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=4BBECA,請(qǐng)問(wèn)FE及DE是否垂直請(qǐng)說(shuō)明。常見(jiàn)圖形：專題訓(xùn)練：選擇題1,以以下各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是） 8, 15, 17 B, 4, 5, 6 C, 5, 8, 10 D, 8, 39, 402,如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1, A, B, C是小正方形的頂點(diǎn)，那么NABC A的度數(shù)是 （）一夕方A, 90 B, 60C, 45D, 30 TOC o 1-5 h z 3,2021泰安）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,

14、 BO4,對(duì)角線AC的垂直平分線分C8別交AD, AC于點(diǎn)E, 0,連接CE,那么CE的長(zhǎng)為（）考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理二矩形的性質(zhì)。4,假設(shè)AABC的三邊長(zhǎng)a, b, c滿意那么AABC是1）A,銳角三角形，B,直角三角形，C,鈍角三角形，D,無(wú)法確定/及7中，/廬15, J13,高4M2,那么4%的周長(zhǎng)為（）A. 42 B. 32 C. 42 或 32 D. 37 或 33考點(diǎn)：勾股定理分析：此題應(yīng)分兩種狀況進(jìn)展探討:（1）當(dāng)AABC為銳角三角形時(shí)，在RtAABD和RtAACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相加即為BC的長(zhǎng)，從而可將AABC的周長(zhǎng)求出；（2）當(dāng)4A

15、BC為鈍角三角形時(shí)，在RtAABD和RtAACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相減即為B二，填空題1,直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,那么直角三角形的面積為2,矩形紙片ABCD中，AB = 3cm, BC=4cm,現(xiàn)將紙片折疊壓平，使A及C重合， 設(shè)折痕為EF,那么重疊局部4AEF的面積等于.12021青島）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF.假設(shè)AB=3cm, BC=5cm,那么重疊局部ADEF的面積是 cm2.（2021宜賓）如圖，在RtABC中，ZB=90b , AB=3, BC=4,將AABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上

16、，及點(diǎn)B重合，AE為折痕，那么EB二.6,如圖，AABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng).假設(shè)AB=AC=5, BO6,那么AP+BP+CP的最小值為1）A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.三,1,解答題四邊形 ABCD 中,ZB=90 , AB=3, BC=4,CD=12, AD=13,求四邊形ABCD的面積。2,如下列圖，折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)【）落在BC邊的點(diǎn)F處， AB=8cm, BC=10cm,求 EF 的長(zhǎng)。3,如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（及墻面和地面均沒(méi)有 縫隙），有一只螞蟻從柜角力處沿著木柜外表爬到柜角a處。（1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路

17、徑；當(dāng)力廬4,小4, ca=5時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng);（3）求點(diǎn)以到最短路徑的距離。4,（2021湘西州）如圖,RtZABC 中,ZC=90 , AD 平分NCAB, DE_LAB 于 E,假設(shè) AC=6, BC=8,CD=3.11）求DE的長(zhǎng);（2）求AADB的面積.5,如下列圖，AABC是等腰直角三角形，AB-AC, D是斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別是AB, AC邊上的點(diǎn), 且DELDF,假設(shè)BE=12, CF=5.求線段EF的長(zhǎng)。6,如圖，馬路MN和馬路PQ在點(diǎn)P處交匯，且NQPN=30。，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉 機(jī)行駛時(shí)，四周100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在馬路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受 到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，假如受影響，拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？7,（2021 威海）（1）如圖 1,ZACB=ZDCE=90 , AC=BC=6, CD=CE, AE=3, ZC